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沪科版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.19.1.2多边形的外角和第19章四边形沪科版数学八下19.1.2多边形的外角和本套内容围绕沪科版八年级下册19.1.2“多边形的外角和”核心知识点设计，衔接上一课时多边形的定义、内角和等内容，重点讲解多边形外角的定义、外角和公式的推导与应用，兼顾知识点梳理、例题解析、分层练习题和易错辨析，帮助同学们熟练掌握多边形外角和的核心性质，能区分内角和与外角和的区别，熟练运用外角和公式解决边数、外角度数相关计算问题，培养几何推理和综合应用能力，贴合课堂教学重点，适配课后巩固练习。一、核心知识点梳理（1）多边形外角的定义多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角。关键说明：①多边形的每个顶点处有2个外角，这两个外角互为对顶角，大小相等；②初中阶段研究多边形外角和时，通常取每个顶点处的1个外角，即n边形有n个外角（每个顶点1个）；③外角与相邻内角互为邻补角，即一个顶点处的内角+对应的外角= 180°。（2）多边形外角和公式1.核心结论：任意多边形（无论是凸多边形还是凹多边形）的外角和都等于360°，与多边形的边数n无关（n≥3，n为正整数）。2.推导思路（以凸n边形为例）：-第一步：n边形有n个内角，每个内角与其相邻的外角互为邻补角，因此n个内角与n个外角的和为n×180°；-第二步：由n边形内角和公式可知，n边形内角和为（n-2）×180°；-第三步：多边形外角和= n个内角与外角的总和-内角和= n×180°-（n-2）×180°= 360°。推导验证：三角形外角和=360°，四边形外角和=360°，五边形外角和=360°，可见无论边数多少，外角和恒为360°。（3）正多边形的外角相关计算正n边形的各个内角相等，因此各个外角也相等（邻补角性质），结合外角和公式，可推出：-正n边形的每个外角的度数= 360°÷n；-已知正n边形的一个外角度数，求边数n：n = 360°÷一个外角度数；-正n边形的一个内角+一个外角= 180°，可通过外角求内角，或通过内角求外角。（4）内角和与外角和的区别与联系对比维度多边形内角和多边形外角和与边数的关系与边数n有关，公式为（n-2）×180°与边数n无关，恒为360°取值范围n≥3，内角和随n增大而增大（三角形180°，四边形360°等）固定为360°，不随n变化联系每个顶点处，内角与外角互为邻补角；外角和可通过内角和推导得出二、重点例题解析（分题型）题型1：多边形外角和的基础应用例题1：（1）求七边形的外角和；（2）一个多边形的外角和是内角和的一半，求这个多边形的边数。解析：（1）任意多边形外角和恒为360°，因此七边形的外角和为360°；（2）设多边形边数为n，内角和为（n-2）×180°，由题意得：360°= ×（n-2）×180°，解得（n-2）×180°=720°，n-2=4，n=6，即这个多边形是6边形。题型2：正多边形的外角计算例题2：（1）求正六边形的每个外角度数；（2）一个正多边形的每个外角为45°，求这个多边形的边数和内角和；（3）正八边形的一个内角比一个外角大多少度？解析：（1）正六边形n=6，每个外角度数=360°÷6=60°；（2）边数n=360°÷45°=8，内角和=（8-2）×180°=1080°；（3）正八边形每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°，内角比外角大135°-45°=90°。题型3：综合应用（内角与外角结合）例题3：已知一个凸多边形的每个内角都为108°，求这个多边形的边数，并求它的外角和与对角线总数量。解析：第一步，求每个外角的度数：内角与外角互为邻补角，每个外角=180°-108°=72°；第二步，求边数n：n=360°÷72°=5，即这个多边形是五边形；第三步，外角和恒为360°；第四步，对角线总数量= ×5×（5-3）=5条。题型4：外角和的实际应用例题4：一个多边形的每个外角都相等，且外角和比内角和小1080°，求这个多边形的边数和每个外角的度数。解析：设多边形边数为n，内角和=（n-2）×180°，外角和=360°，由题意得：（n-2）×180°- 360°=1080°，解得（n-2）×180°=1440°，n-2=8，n=10；每个外角度数=360°÷10=36°。三、分层练习题（一）基础题（每题4分，共20分）1.下列说法正确的是（）A.多边形的外角和随边数增多而增大B.正多边形的每个外角都相等C.三角形的外角和为180°D.多边形的外角和与内角和相等2.正五边形的每个外角度数为（）A. 72°B. 60°C. 108°D. 120°3.一个多边形的外角和为______°；一个正多边形的每个外角为30°，则这个多边形的边数为______。4.正十边形的一个内角与一个外角的和为______°，一个内角比一个外角大______°。5.一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形的边数为______。（二）提升题（每题6分，共30分）1.已知一个正多边形的每个内角为144°，求这个多边形的边数、每个外角度数及外角和。2.一个多边形的每个外角都相等，且边数比内角和的边数少4，求这个多边形的边数和每个外角的度数。3.求证：任意n边形（n≥3）的外角和都为360°（结合内角和公式推导）。4.一个凸多边形，去掉一个内角后，内角和为1500°，求这个多边形的边数及去掉的内角的度数，并求它的外角和。5.正多边形的一个外角是一个内角的 ，求这个正多边形的边数和内角和。（三）拓展题（每题10分，共20分）1.如图，在正六边形ABCDEF中，求每个内角的度数，以及相邻两个外角的和，并说明理由。2.已知一个多边形的对角线总数量为20条，求这个多边形的边数、内角和及外角和，若它是正多边形，求每个内角和每个外角的度数。四、易错点提醒1.混淆内角和与外角和：误认为多边形外角和与边数有关，随边数增多而增大，忽略外角和恒为360°的核心结论。2.正多边形外角计算错误：忘记正多边形每个外角相等，或误用公式（如用内角和公式求外角度数）。3.忽略邻补角关系：无法通过内角求外角，或通过外角求内角，忘记“内角+相邻外角=180°”。4.推导外角和时出错：混淆“n个内角与外角的总和”与“内角和”的关系，导致推导过程错误。5.实际应用中漏解：已知多边形内角和与外角和的关系求边数时，忽略边数n≥3的前提，或计算时出错。五、参考答案与解析（一）基础题：1.B 2.A 3.360，12 4.180，108 5.8（二）提升题：64.每个外角=180°-144°=36°，边数n=360°÷36°=10，外角和=360°；65.设边数为n，内角和对应的边数为n+4，由外角和=360°，每个外角=360°÷n，结合题意得n =（n+4-2）×180°÷180°-2？修正：设边数为n，内角和=（n-2）×180°，由题意n =（n+4）-4，解得n=8，每个外角=360°÷8=45°；66.证明：n边形每个内角与相邻外角和为180°，n个总和为n×180°；n边形内角和为（n-2）×180°，故外角和= n×180°-（n-2）×180°=360°；67.设原多边形边数为n，去掉的内角为x（0°<x<180°），则（n-2）×180°-x=1500°，1500°÷180°≈8.33，故n-2=9，n=11，去掉的内角=（11-2）×180°-1500°=120°，外角和=360°；68.设正多边形一个外角为x，则内角为3x，x+3x=180°，x=45°，边数n=360°÷45°=8，内角和=（8-2）×180°=1080°。（三）拓展题：71.正六边形n=6，每个内角=（6-2）×180°÷6=120°，每个外角=360°÷6=60°，相邻两个外角和=60°+60°=120°（理由：正六边形每个外角相等，相邻外角直接相加即可）；72.设边数为n，由 ×n×（n-3）=20，解得n=8（n=-5舍去），内角和=（8-2）×180°=1080°，外角和=360°；正八边形每个内角=1080°÷8=135°，每个外角=360°÷8=45°。
学习目标
了解多边形的外角定义,并能准确找出多边形的外角.
掌握多边形的外角和公式,利用内角和与外角和公式解决问题.
1.从n边形的一个顶点出发可以引 条对角线，
它们把n边形分成 个三角形.
2.从一个n边形的一个顶点出发可以引5条对角线，则n= . =
3.多边形的内角和公式： .
4.正八边形的每一个内角为： .
（n-3）
（n-2）
8
（n-2）×180°
135°
导入新知
复习回顾：
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知识点一 多边形的外角和
外角：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6
在多边形的每个顶点处取多边形的一个外角，把它们的和叫作多边形的_______.
外角和
A
B
C
D
E
F
1
6
5
4
2
3
多边形的外角和有怎样的规律？
活动一：探究四边形的外角和
A
B
C
D
1. 如图，画出四边形 ABCD 的外角，测量并计算四边形 ABCD 的外角和.
根据测量的结果，你有什么猜想？请证明你的猜想是否正确.
活动一：探究四边形的外角和
A
B
C
D
2. 利用四边形 ABCD 的内角和来求四边形 ABCD 的外角和.
分析：四边形 ABCD 的每一个外角都与同它相邻的内角互补，所以四边形 ABCD 的外角和与内角和的总和为 4×180°. 可以利用这个关系求出其外角和.
解：∵∠DAB 与∠1 是邻补角，
∴∠DAB + ∠1 = 180°.
同理∠ABC + ∠2 = 180°，
∠BCD + ∠3 = 180°，
∠CDA + ∠4 = 180°.
∴∠DAB + ∠1 + ∠ABC + ∠2 + ∠BCD + ∠3 + ∠CDA + ∠4 = 720°.
而∠DAB + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA = 360°，
∴∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°.
A
B
C
D
1
3
4
2
四边形的外角和等于 360°
活动一：探究四边形的外角和
活动二：探究五边形的外角和
按同样的方法分析，五边形的外角和等于______.
1
2
3
4
5
5 个外角与跟它相邻的内角之和加起来是__________.
5×180°
五边形的内角和是____________.
(5 – 2)×180°
五边形的外角和是
___________________________.
5×180°– (5 – 2)×180°
360°
活动三：探究 n 边形的外角和
n 边形(n 为不小于 3 的整数)的外角和等于______.
n 个外角与跟它相邻的内角之和加起来是__________.
n·180°
n 边形的内角和是____________.
(n – 2)·180°
n 边形的外角和是
________________________.
n·180°– (n – 2)·180°
360°
1
2
3
4
5
n
外角和为定值，与边数n没有关系
n 边形（n 为不小于 3 的整数）的外角和等于 360 °
定理
你还有其他方法帮助理解为什么多边形的外角和等于 360°吗？
从多边形的一个顶点 A 出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点 A，然后转向出发时的方向.
在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和.
由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于 360°.
练一练
已知一个多边形的内角和比它的外角和大 540°，求这个多边形的边数.
【教材P77练习 T2】
解：设这个多边形的边数为 n.
根据题意，得 (n – 2)·180°– 360°= 540°.
解得 n = 7.
因此这个多边形的边数为 7.
知识点二 正多边形
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫作正多边形.
它们的每个内角、外角分别是多少度，你会求吗？
这些图形有什么特点？
各条边都相等，各个内角都相等
正 n 边形的每一个内角：
正 n 边形的每一个外角：
多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫作正多边形.
例 2
求正六边形每个内角的度数.
解 正六边形的内角和为
所以每个内角的度数为
(6 – 2)×180°= 720°.
720°÷6 = 120°.
你能借助多边形的外角和解决这个问题吗？
正六边形的外角和为 360°.
所以每个外角的度数为
360°÷6 = 60°.
所以每个内角的度数为
180°– 60°= 120°.
练一练
1. 已知正多边形的一个外角是 45°，则这个正多边形是 ____ 边形.
【教材P77练习 T1】
360°÷n = 45°
解得 n = 8.
正八
练一练
2. 正多边形的每个内角可能是：（1）75°；（2）90°；（3）120°吗？说明理由.
【教材P77练习 T3】
解：设这个正多边形的边数为 n.
（1）根据题意，得 (n – 2)·180°= 75°·n.
即正多边形的每个内角不可能是 75°.
解得 ，不符合题意，舍去.
练一练
2. 正多边形的每个内角可能是：（1）75°；（2）90°；（3）120°吗？说明理由.
【教材P77练习 T3】
（2）根据题意，得 (n – 2)·180°= 90°·n.
即正多边形的每个内角可能是 90°，且这个正多边形为正方形.
解得 n = 4，符合题意.
练一练
2. 正多边形的每个内角可能是：（1）75°；（2）90°；（3）120°吗？说明理由.
【教材P77练习 T3】
（3）根据题意，得 (n – 2)·180°= 120°·n.
即正多边形的每个内角可能是 120°，且这个正多边形为正六边形.
解得 n = 6，符合题意.
知识点三 四边形的不稳定性
活动：探究四边形的不稳定性
如图①，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
如图②，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？
点击打开
形状不变
现象
原理
三角形具有稳定性
形成两个三角形
形状会发生改变
四条边确定后，四个角并不确定
四边形具有不稳定性
你能说一说它们的原理吗？
利用四边形的不稳定性：伸缩门、升降机.
克服四边形的不稳定性：在窗框上钉一根木条，
以防窗框变形.
练一练
下列图形中哪些具有稳定性？
√
√
1. 如图，在四边形 ABCD 中，∠1 + ∠2 + ∠3 = 320°，则∠D 的度数为（ ）
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
4
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°
320°
∠4 = 360°– 320°= 40°
∠D = 180°– ∠4 = 180°– 40°= 140°
C
随堂练习
2. 如图，工人师傅做了一个长方形窗框 ABCD，E，F，G，H 分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）
A. A，C 两点之间
B. E，G 两点之间
C. B，F 两点之间
D. G，H 两点之间
B
1.［知识初练］十二边形的外角和等于( )
B
A. B. C. D.
2．[淮南月考]如果一个多边形每一个外角都是60°，那么
这个多边形的边数为________．
6
3.若一个九边形8个外角的和为 ，则它的第9个外角为
_____ .
160
【变式题】如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，
则∠1＋∠2＋∠3等于________.
4．[知识初练]下列图形中属于正多边形的是(　　)
A．三角形 B．长方形
C．正方形 D．五边形
C
5．[盐城一模]正八边形的一个外角度数是(　　)
A．40° B．45° C．90° D．180°
B
6. “香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂.”图①窗
棂的外边框为正六边形(如图②)，则该正六边形的每个内角
为_____ .
120
7. (创新题·新题型 滁州期末)如图，一个正n边形被树叶遮掩了一部分，若直线a，b所夹锐角的度数为36°，则n的值是________.
5
解：设外角为x°，则内角为4x°，由题意得
x°＋4x°＝180°，解得x＝36，360°÷36°＝10，
所以这个正多边形的边数为10.
课堂小结
n 边形（n 为不小于 3 的整数）的外角和等于 360 °
定理

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