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沪科版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.19.2.2.3三角形的中位线第19章四边形沪科版数学八下19.2.2.3三角形的中位线本套内容围绕沪科版八年级下册19.2.2.3“三角形的中位线”核心知识点设计，衔接上一课时平行四边形的四种判定方法，重点讲解三角形中位线的定义、核心性质、推导过程，以及中位线性质在几何证明、线段长度计算、图形平行关系判定中的应用，兼顾知识点梳理、例题解析、分层练习题和易错辨析，帮助同学们熟练掌握三角形中位线的本质特征，能灵活运用中位线性质解决相关几何问题，规范推理步骤，培养几何推理和综合应用能力，贴合课堂教学重点，适配课后巩固练习。一、核心知识点梳理（1）复习回顾（衔接上一课时）上一课时我们学行四边形的4种判定方法，灵活运用这些方法可证明四边形是平行四边形，为三角形中位线性质的推导奠定基础：-判定方法1（定义）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；-判定方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；-判定方法3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；-判定方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。本节课我们将学习三角形中位线，其性质的推导核心的是利用平行四边形的判定方法，实现三角形与平行四边形的转化。（2）三角形中位线的定义1.定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线；2.关键说明：-①前提：线段的两个端点必须是三角形两边的中点，缺一不可（若端点不是两边中点，不是中位线）；-②数量：一个三角形有3条中位线（三角形有3组对边，每组对边可确定一条中位线）；-③区别：三角形的中位线≠三角形的中线——中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段，而中位线是连接两边中点的线段（无顶点参与）。补充：几何表示（以△ABC为例）：点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，则DE是△ABC的中位线。（3）三角形中位线的核心性质（重点）1.性质内容：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；2.几何语言表示（以△ABC为例，DE是中位线，D、E分别是AB、AC中点）：∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴ DE∥BC，DE= BC；3.推导过程（结合平行四边形判定方法3，核心：构造平行四边形）：延长DE至点F，使EF=DE，连接CF；∵点E是AC的中点，∴ AE=CE；在△ADE和△CFE中，DE=EF，∠AED=∠CEF（对顶角相等），AE=CE；∴△ADE≌△CFE（SAS）；∴ AD=CF，∠DAE=∠FCE（全等三角形对应边、对应角相等）；∴ AD∥CF（内错角相等，两直线平行）；又∵点D是AB的中点，∴ AD=BD；∴ BD=CF，且BD∥CF；∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；∴ DF∥BC，DF=BC（平行四边形的性质）；又∵ DE=EF= DF，∴ DE∥BC，DE= BC（三角形中位线性质）。（4）三角形中位线性质的应用场景- 1.判定两条线段平行：利用中位线“平行于第三边”的性质，证明两条线段平行；- 2.计算线段长度：利用中位线“等于第三边的一半”的性质，求未知线段的长度（已知第三边求中位线，或已知中位线求第三边）；- 3.构造平行四边形：通过中位线构造平行四边形，结合平行四边形的性质解决复杂几何问题；- 4.三角形的周长与中位线关系：三角形的三条中位线围成的三角形（中位线三角形），周长是原三角形周长的一半。（5）易错辨析（重点区分）-误区1：混淆“三角形中位线”与“三角形中线”——中线连接“顶点和对边中点”，中位线连接“两边中点”，二者端点不同，性质不同；-误区2：误用中位线性质——未确认线段是三角形的中位线（即未证明两个端点是两边中点），就直接套用“平行且等于第三边一半”；-误区3：计算错误——忽略中位线是第三边的“一半”，误将中位线长度当作第三边长度，或反之。二、重点例题解析（分题型）题型1：三角形中位线的定义辨析例题1：判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）连接三角形一个顶点和对边中点的线段是三角形的中位线；（2）连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线；（3）三角形的中位线一定平行于三角形的一边。解析：（1）不正确，理由：连接三角形一个顶点和对边中点的线段是三角形的中线，不是中位线；（2）正确，理由：符合三角形中位线的定义；（3）正确，理由：三角形的中位线平行于三角形的第三边，一定平行于三角形的一边。题型2：三角形中位线性质的基础应用（求线段长度）例题2：在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，已知DE=5cm，求BC的长度；若BC=12cm，求DE的长度。解析：由三角形中位线性质，DE是△ABC的中位线，∴ DE= BC；（1）BC=2×DE=2×5=10cm；（2）DE= BC= ×12=6cm。题型3：三角形中位线性质的应用（判定平行+求长度）例题3：在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，求证：DE∥BF，且DE=BF；若AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，求△DEF的周长。解析：（1）证明：∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴ DE是△ABC的中位线；∴ DE∥BC，DE= BC；又∵点F是BC的中点，∴ BF= BC；∴ DE∥BF，且DE=BF；（2）∵ D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴ DE= BC=5cm，DF= AC=3cm，EF= AB=4cm；∴△DEF的周长=DE+DF+EF=5+3+4=12cm。题型4：中位线与平行四边形的综合应用例题4：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：连接AC，利用三角形中位线性质）。解析：连接AC；∵ E、F分别是AB、BC的中点，∴ EF是△ABC的中位线；∴ EF∥AC，EF= AC；∵ G、H分别是CD、DA的中点，∴ GH是△ACD的中位线；∴ GH∥AC，GH= AC；∴ EF∥GH，且EF=GH；∴四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。三、分层练习题（一）基础题（每题4分，共20分）1.下列说法正确的是（）A.三角形的中线就是三角形的中位线B.连接三角形两边中点的线段是中位线C.三角形的中位线平行于任意一边D.三角形的中位线等于第三边的长度2.在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，DE=4cm，则BC的长度为（）A. 2cm B. 4cm C. 8cm D. 16cm3.三角形的中位线的性质是：平行于三角形的______，且等于______的一半。4.在△ABC中，BC=14cm，点D、E分别是AB、AC的中点，则DE=______cm。5.一个三角形有______条中位线，这些中位线围成的三角形的周长是原三角形周长的______。（二）提升题（每题6分，共30分）1.在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE∥BC，且DE= BC（结合平行四边形判定推导）。2.在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，已知AB=10cm，BC=12cm，AC=14cm，求△DEF的周长。3.如图，在△ABC中，DE是中位线，EF∥AB，交BC于点F，求证：四边形ADEF是平行四边形。4.已知△ABC的周长为36cm，求它的三条中位线围成的三角形的周长。5.如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求证：BF=FC（提示：过点D作DG∥AF，交BC于点G）。（三）拓展题（每题10分，共20分）1.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形，且EF= AB。2.已知△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，求DE的长度及四边形ADEB的面积。四、易错点提醒1.定义混淆：将三角形的中位线与中线混淆，误把“顶点和对边中点的连线”当作中位线。2.性质误用：未证明线段是中位线（即未确认两个端点是两边中点），就直接套用“平行且等于第三边一半”的性质。3.计算错误：求线段长度时，颠倒中位线与第三边的关系，误将中位线长度当作第三边，或忘记除以2、乘以2。4.综合应用薄弱：在复杂图形中，不会通过连接对角线构造三角形，进而利用中位线性质解决问题。5.推理不规范：推导中位线性质或运用性质证明时，步骤不完整，未说明“中点”“平行四边形判定”等关键条件。五、参考答案与解析（一）基础题：1.B 2.C 3.第三边，第三边4.7 5.3，一半（二）提升题：83.证明：延长DE至F，使EF=DE，连接CF，∵ E是AC中点，∴ AE=CE，△ADE≌△CFE（SAS），∴ AD=CF，AD∥CF，又∵ D是AB中点，∴ AD=BD，∴ BD=CF，BD∥CF，四边形BCFD是平行四边形，∴ DF∥BC，DF=BC，∴ DE∥BC，DE= BC；84. ∵ D、E、F是中点，∴ DE= BC=6cm，DF= AC=7cm，EF= AB=5cm，周长=6+7+5=18cm；85.证明：∵ DE是△ABC中位线，∴ DE∥BC，又∵ EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形（两组对边分别平行）；86.三条中位线围成的三角形周长= ×原三角形周长= ×36=18cm；87.证明：过D作DG∥AF交BC于G，∵ D是AB中点，DG∥AF，∴ G是BF中点（中位线逆用），∵ E是CD中点，AE∥DG，∴ F是GC中点，∴ BF=FG=FC，即BF=FC。（三）拓展题：90.证明：∵ E、F是OA、OB中点，∴ EF是△AOB中位线，∴ EF∥AB，EF= AB；同理，GH是△COD中位线，∴ GH∥CD，GH= CD；又∵四边形ABCD中，若AC、BD相交，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD中点，∴ EF∥GH，EF=GH，∴四边形EFGH是平行四边形；91. ∵ D、E是AC、BC中点，∴ DE是△ABC中位线，∴ DE= AB；Rt△ABC中，AB=√(AC +BC )=√(6 +8 )=10cm，∴ DE=5cm；△ABC面积= ×6×8=24cm ，△CDE面积= ×△ABC面积=6cm ，∴四边形ADEB面积=24-6=18cm 。
学习目标
1.理解并掌握平行四边形的概念．
2.探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质．
新课导入
在三角形中，连接一个____和它的________的____叫作三角形的中线。
A
B
C
顶点
对边中点
线段
中点D
中点E
线段DE叫作什么？
已知，直线 l1，l2，l3 互相平行，直线 l4和l5分别交直线 l1，l2，l3 于点A，B，C 和点A1，B1，C1，且 AB = BC.
求证：A1B1 = B1C1.
l1
l2
l3
A
B
C
A1
B1
C1
l4
l5
例 6
新课推进
l1
l2
l3
A
B
C
A1
B1
C1
l4
l5
l6
证明 过点B1作l6// l4 ，分别交直线l1，l3于点E，F.
E
F
∴ 四边形ABB1E和四边形BCFB1都是平行四边形.
∴EB1=AB ，B1F=BC
∵ AB = BC，
∴ EB1 = B1F.
又∵ l6// l4，∴ ∠A1EB1 = ∠B1FC1，∠A1B1E =∠C1B1F，
∴ △A1B1E ≌ △C1B1F.
∴ A1B1=B1C1.
小 结
平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也_____.
相等
l1
l2
l3
A
B
C
A1
B1
C1
平行线等分线段定理的推论：
经过三角形一边中点与另一边平行的直线必_____第三边.
A
B
C
平分
□ ABCD的对角线交于点О，过点О的直线交BC于点E，交AD于点F.
(1)如图，点O是线段EF的中点吗 说出你的理由；
点O是线段EF的中点.
可证△DOF≌△BOE
得OF=OE
□ ABCD的对角线交于点О，过点О的直线交BC于点E，交AD于点F.
(2)如图，若点E为边BC的中点，则线段EF与边AB有什么关系 说出你的理由.
EF=AB
已知：如图，点 D，E 分别为△ABC 的边 AB，AC 的中点.
求证：DE // BC，且 DE = BC.
A
B
C
D
E
例 7
A
B
C
D
E
证明 延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF.
在△ADE和△CFE中，AE=CE，∠AED=∠CEF，
DE=FE，∴△ADE≌△CFE
∴∠A=∠ECF，AD=CF. ∴CF∥ AB.
F
又∵AD=BD，∴CF=BD.
∴四边形BCFD是平行四边形.
∴ DE∥ BC，DF=BC.
∵EF=DE，∴DE= BC.
三角形中位线
（1）连接三角形_________的线段叫三角形的中位线.
两边中点
（2）三角形的中位线定理：三角形两边中点连线_______第三边，并且等于第三边的一半．
平行于
A
B
C
E
F
如图，在Rt△ABC中，∠A =90°，AB=AC，BC = ，点D，E分别是BC，AC边上的中点，求线段DE的长.
例 8
A
B
C
E
D
A
B
C
E
D
解 在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB2+AC2=BC2.
∵AB=AC，BC= ，
∴2AB2=18. ∴AB=3.
∵点D，E分别是BC，
AC边上的中点，
∴ DE是△ABC的中位线.
∴ DE= AB= ×3= .
1.如图，点 D，E，F 分别是 △ABC 三边的中点，若 AB = 10 cm，AC = 8 cm，BC = 12 cm，则 EF =_____，DF =_____，DE= _____，△DEF 的周长为______ .
5 cm
4 cm
6 cm
15 cm
随堂练习
三条中位线所围成的三角形的周长等于原三角形周长的一半，面积等于原三角形面积的四分之一.
2.已知某三角形各边长分别为6cm，9cm，10cm，求连接该三角形各边中点所组成三角形的周长.
3.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，延长BE交AC于点D，过点E作EF//AC交BC于点F.若AB=6，AC= 10，求EF的长.
解 ∵AE平分∠BAC，BE⊥AE.
∴∠BAE=∠DAE，
∠BEA=∠DEA=90°
∴△BEA≌△DEA，∴BE=DE，AB=AD=6
3.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，延长BE交AC于点D，过点E作EF//AC交BC于点F.若AB=6，AC= 10，求EF的长.
又∵ EF//AC
∴ BF=CF，
∴ EF是△BCD的中位线
∴ EF= CD= (AC-AD)= ×(10-6)=2
1．[知识初练]如图是点点设计的花架示意图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝CE，BF＝1.2 m，则BD的长度为________m.
0.6
2. 下列每个图形中，已知， ，
则下列结论错误的是( )
C
A.图①中， B.图②中，
C.图③中， D.图④中，
3. (真实情境)如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个Rt△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面(E为AB的中点)，若AF＝70 cm，则CF的长度为________cm.
70
4．[知识初练]如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点.
(1)若BC＝8，则DE＝________；
(2)若∠ADE＝35°，则∠B＝________°.
4
35
5．[广东中考]如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝(　　)
A．20° B．40° C．70° D．110°
C
6．在周长为600 m的三角形土地中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为________m.
300
三角形的中位线定理：三角形两边中点连线_______第三边，并且等于第三边的一半．
平行于
课堂小结
平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也_____.
相等

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