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沪科版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.19.2.2.2平行四边形的判定(2)第19章四边形沪科版数学八下19.2.2.2平行四边形的判定(2)本套内容围绕沪科版八年级下册19.2.2.2“平行四边形的判定(2)”核心知识点设计，衔接上一课时“两组对边分别平行”“两组对边分别相等”两种判定方法，重点讲解另外两种核心判定方法——“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，兼顾知识点梳理、判定方法对比、例题解析、分层练习题和易错辨析，帮助同学们熟练掌握这两种判定方法的几何语言、推导过程，能灵活运用四种判定方法（含前两课时）证明四边形是平行四边形，规范推理步骤，培养几何推理和综合应用能力，贴合课堂教学重点，适配课后巩固练习。一、核心知识点梳理（1）复习回顾（衔接上一课时）上一课时我们学行四边形的2种判定方法，牢记判定与性质的互逆关系：-判定方法1（定义）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；-判定方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。本节课将新增2种更便捷的判定方法，可结合已知条件灵活选择使用。（2）判定方法3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形1.判定内容：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；2.关键说明：“平行且相等”需同时满足两个条件——①位置关系：平行；②数量关系：相等，缺一不可；3.几何语言表示（以四边形ABCD为例，AB与CD为一组对边）：∵ AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；4.推导过程（结合三角形全等）：连接四边形ABCD的对角线AC，∵ AB∥CD，∴ ∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等）；在△ABC和△CDA中，AB=CD，∠BAC=∠DCA，AC=CA（公共边）；∴△ABC≌△CDA（SAS）；∴ AD=BC（全等三角形对应边相等）；∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。（3）判定方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形1.判定内容：对角线互相平分的四边形是平行四边形；2.几何语言表示（以四边形ABCD为例，对角线AC、BD交于点O）：∵ AO=OC，BO=OD，∴四边形ABCD是平行四边形；3.推导过程（结合三角形全等）：在△AOB和△COD中，AO=OC，∠AOB=∠COD（对顶角相等），BO=OD；∴△AOB≌△COD（SAS）；∴ AB=CD，∠OAB=∠OCD（全等三角形对应边、对应角相等）；∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。（4）四种判定方法汇总（对比记忆，重点）判定方法核心条件几何语言表示（四边形ABCD）适用场景1.定义判定两组对边分别平行∵ AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形已知条件有“两组对边平行”2.两组对边分别相等两组对边分别相等∵ AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形已知四条边长，或能证明两组对边相等3.一组对边平行且相等一组对边平行且相等∵ AB∥CD，AB=CD（或AD∥BC，AD=BC），∴四边形ABCD是平行四边形已知一组对边的平行关系和长度关系4.对角线互相平分对角线互相平分（交于一点，且被交点平分）∵ AO=OC，BO=OD，∴四边形ABCD是平行四边形已知对角线的交点及线段平分关系（5）易错辨析（重点区分）-误区1：“一组对边平行，另一组对边相等”≠“一组对边平行且相等”（前者不能判定，如等腰梯形；后者可以判定）；-误区2：“对角线相等”≠“对角线互相平分”（对角线相等不能判定平行四边形，如矩形是特殊平行四边形，对角线相等，但普通平行四边形对角线不一定相等）；-误区3：运用“对角线互相平分”判定时，需明确“两条对角线”都被交点平分，仅一条对角线被平分不行。二、重点例题解析（分题型）题型1：用“一组对边平行且相等”判定平行四边形例题1：如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，AE∥CF，求证：四边形ABCD是平行四边形。解析：∵ AE=CF，AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；∴ AF∥EC，AF=EC（平行四边形的性质）；又∵ AE=CF，AD=AE+ED，BC=BF+CF，可证ED=BF，且ED∥BF；∴四边形EDFB是平行四边形，∴ AB∥CD，AB=CD；∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。题型2：用“对角线互相平分”判定平行四边形例题2：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO=2cm，OC=2cm，BO=3cm，OD=3cm，求证：四边形ABCD是平行四边形，并判断AB与CD的位置关系和数量关系。解析：∵ AO=OC=2cm，BO=OD=3cm（已知），∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；由平行四边形的性质得：AB∥CD，AB=CD。题型3：多种判定方法的灵活选择例题3：如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E、F是OA、OC的中点，求证：四边形BEDF是平行四边形（用两种方法证明）。方法一（对角线互相平分）：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，BO=OD（平行四边形对角线互相平分）；∵点E、F是OA、OC的中点，∴ OE= AO，OF= OC；∴ OE=OF（等量代换）；又∵ BO=OD，∴四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。方法二（一组对边平行且相等）：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB=CD，∠BAO=∠DCO；∵ E、F是OA、OC中点，∴ AE=CF；∴△ABE≌△CDF（SAS），∴ BE=DF，∠AEB=∠CFD；∴ ∠BEO=∠DFO，∴ BE∥DF；∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。题型4：易错辨析与纠正例题4：判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）对角线相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。解析：（1）正确，理由：符合平行四边形的判定方法3，“平行”和“相等”同时满足，可判定；（2）不正确，理由：对角线相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形的对角线相等，但不是平行四边形；（3）正确，理由：符合平行四边形的判定方法4，两条对角线互相平分，可直接判定。三、分层练习题（一）基础题（每题4分，共20分）1.下列说法正确的是（）A.一组对边平行的四边形是平行四边形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.对角线相等的四边形是平行四边形D.一组对边相等的四边形是平行四边形2.用“一组对边平行且相等”判定平行四边形，需同时满足的两个条件是（）A.平行且垂直B.平行且相等C.相等且垂直D.平行或相等3.在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，则四边形ABCD是______，理由是______。4.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AO=OC，且______，则四边形ABCD是平行四边形（填一个条件）。5.已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，AO=3cm，则OC=______cm，BO=______cm（用性质填空）。（二）提升题（每题6分，共30分）1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，求证：四边形ABCD是平行四边形，并证明AB=CD。2.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AO=4cm，OC=4cm，BO=5cm，OD=5cm，求证：AB∥CD，AD∥BC。3.求证：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（结合三角形全等推导）。4.在 ABCD中，点E、F分别是OB、OD的中点，求证：四边形AECF是平行四边形。5.判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是平行四边形。（三）拓展题（每题10分，共20分）1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点O，且AO=OC，求证：AB=CD，四边形ABCD是平行四边形。2.已知△ABC，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长至点F，使EF=DE，连接CF、CD，求证：四边形BCFD是平行四边形。四、易错点提醒1.判定条件混淆：将“一组对边平行且相等”与“一组对边平行，另一组对边相等”混淆，前者可判定，后者不可。2.对角线判定错误：误认为“对角线相等”“一条对角线被平分”能判定平行四边形，忽略“互相平分”的核心条件。3.推理不规范：运用判定方法时，未先证明所需条件（如证明“一组对边平行且相等”时，未先证明平行或相等，直接套用判定）。4.灵活选择能力不足：已知对角线关系时，未优先选择“对角线互相平分”的判定方法，导致推理繁琐。5.几何语言书写错误：书写“一组对边平行且相等”时，遗漏一个条件；书写对角线判定时，未说明“交于同一点”。五、参考答案与解析（一）基础题：1.B 2.B 3.平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4.BO=OD 5.3，OD（或任意与BO相等的线段）（二）提升题：106.证明：∵ AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；∴ AB=CD（平行四边形的性质）；107.证明：∵ AO=OC，BO=OD，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；∴ AB∥CD，AD∥BC（平行四边形的性质）；108.证明：连接AC，∵ AB∥CD，∴ ∠BAC=∠DCA，在△ABC和△CDA中，AB=CD，∠BAC=∠DCA，AC=CA，∴△ABC≌△CDA（SAS），∴ AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形；109.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，BO=OD，∵ E、F是OB、OD中点，∴ OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；110.（1）不正确，理由：等腰梯形一组对边平行、另一组对边相等，但不是平行四边形；（2）正确，理由：对角线互相平分可判定是平行四边形，相等是额外条件，不影响判定。（三）拓展题：113.证明：∵ AB∥CD，∴ ∠OAB=∠OCD，在△AOB和△COD中，∠OAB=∠OCD，AO=OC，∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD（ASA），∴ AB=CD，又∵ AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；114.证明：∵ D、E分别是AB、AC中点，∴ DE∥BC，DE= BC，∵ EF=DE，∴ DF=DE+EF=2DE=BC，又∵ DE∥BC，∴ DF∥BC，∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的定义和表示方法。
探索并证明平行四边形的性质定理，包括对边相等、对角相等、对角线互相平分，能运用这些性质定理解决简单的几何问题。
探究并掌握平行四边形的判定定理，如两组对边分别相等的四边形是平行四边形、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形等，能运用判定定理判定一个四边形是否为平行四边形。
通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，培养学生的合情推理能力和演绎推理能力，提高学生的数学思维水平。
让学生在探索平行四边形性质和判定的过程中，体会数学知识之间的内在联系，感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和合作精神。
二、教学重难点
（一）教学重点
平行四边形的定义、性质和判定定理。
运用平行四边形的性质和判定定理进行计算和证明。
（二）教学难点
平行四边形性质和判定定理的证明过程，尤其是添加辅助线的方法和思路。
灵活运用平行四边形的性质和判定定理解决综合性问题。
三、教学方法
讲授法、探究法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示生活中常见的平行四边形图片，如伸缩门、楼梯扶手、停车位等，引导学生观察这些图形的共同特征。
提问：同学们，你们能从这些图片中发现什么共同的几何图形吗？这些图形有什么特点呢？从而引出本节课的主题 —— 平行四边形。
（二）讲授新课（30 分钟）
平行四边形的定义
给出平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
介绍平行四边形的表示方法，如图，平行四边形 ABCD 记作 “□ABCD”，读作 “平行四边形 ABCD”。
让学生在练习本上画出一个平行四边形，并标注顶点字母，用符号表示出来。
平行四边形的性质
探究活动 1：让学生用直尺和量角器测量自己画出的平行四边形的边和角，猜想平行四边形的对边、对角有什么数量关系。
学生汇报测量结果和猜想，教师进行总结归纳：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等。
证明性质定理：
对于 “平行四边形的对边相等”，引导学生连接平行四边形的一条对角线 AC，将平行四边形分成两个三角形△ABC 和△CDA。
证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB∥CD，AD∥BC。所以∠BAC = ∠DCA，∠DAC = ∠BCA。又因为 AC = CA，所以△ABC≌△CDA（ASA）。所以 AB = CD，AD = BC。
对于 “平行四边形的对角相等”，由△ABC≌△CDA 可得∠B = ∠D，再利用平行四边形邻角互补，可推出∠BAD = ∠BCD。
总结平行四边形的性质定理 1：平行四边形的对边相等。性质定理 2：平行四边形的对角相等。
练习 1：在□ABCD 中，已知 AB = 5，BC = 3，求它的周长。
答案：因为平行四边形对边相等，所以周长为 2×(AB + BC)=2×(5 + 3)=16。
学习目标
经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会
类比思想及探究图形判定的一般思路.
掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件
灵活选取适当的判定定理进行推理论证.
新课导入
平行四边形的定义：
两组对边_________的四边形叫作平行四边形.
性质1 平行四边形的_________.
性质2 平行四边形的_________.
分别平行
对边相等
对角相等
性质3 平行四边形的_______________.
对角线互相平分
如图，过点A画两条线段AB，AD，以点B为圆心、AD长为半径画弧，再以点D为圆心、AB长为半径画弧，两弧相交于点C，连接BC，DC.这样画出的四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形吗 为什么
A
B
C
D
思考
如图，在四边形 ABCD 中，AB = CD，AD = BC．
求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
A
B
C
D
　　证明：连接BD．
∵　AB=CD，AD=BC，BD是公共边，
∴　△ABD≌△CDB．
∴　∠1=∠2，∠3=∠4．
∴　AB∥DC，AD∥BC．
∴　四边形ABCD是平行四边形．
D
A
B
C
1
2
3
4
两组对边__________的四边形是平行四边形．　　
平行四边形判定定理 2
分别相等
如图，作两条直线l1，l2。交于点O，在直线l1上截取OA=OC，在直线l2上截取OB=OD，连接AB，BC，CD，DA.这样画出的四边形ABCD的对角线互相平分，它是平行四边形吗 为什么
思考
A
B
C
D
l2
l1
O
如图，在四边形 ABCD 中， AC，BD 相交于点 O，且 OA = OC，OB = OD．求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
D
A
B
C
O
　　证明：∵　OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB，
∴　△AOD≌△COB．
∴　∠OAD=∠OCB．
∴　AD∥ BC．
同理　AB∥ DC．
∴　四边形ABCD是平行四边形．
D
A
B
C
O
对角线__________的四边形是平行四边形．　　
平行四边形判定定理 3
互相平分
　　 已知：如图，点 E，F 是□ABCD 的对角线 AC 上两点，且 AE = CF．
求证：四边形 BEDF 是平行四边形．
A
B
C
D
E
F
例 5
A
B
C
D
E
F
证明 连接 BD 交 AC 于点 O.
O
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AO = CO，BO = DO.
∵ AE = CF.
∴ OE=AO-AE=CO-CF=OF.
所以四边形 BEDF 是平行四边形.
随堂练习
1.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A.对角线互相平分
B.一组对角相等
C.一组对边相等
D.对角线互相垂直
A
2.如图，在△ABC中，AB=AC=15，D在BC边上，DE∥ BA交AC于点E，DF∥ CA交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是_________。
30
1.［知识初练］如图，在四边形 中，
，，则当___ ，
___时，四边形 是平行四边形.
5
4
2.下面给出的是四边形中，，， 的长度之
比，其中能判定四边形 是平行四边形的是( )
C
A. B. C. D.
3.(易错题)在四边形中，有两条边相等，另两条边也相等，则这个四边形(　　)
A．一定是平行四边形
B．一定不是平行四边形
C．可能是平行四边形
D．上述答案都不对
C
4.如图所示，在四边形中，，， 为对角线
上的点，，，且， ，
求证:四边形 是平行四边形.
证明：， ，
.
在和 中，
， .
又， 四边形 是平行四边形.
5.［知识初练］如图，在四边形 中，
如果， ，那么当
___，___ 时，四边形
是平行四边形.
7
5
6.嘉嘉和琪琪都在结合下面的图形证明四边形 是平行
四边形，
嘉嘉给出的条件是， ；
琪琪给出的条件是 .
则( )
A.嘉嘉可以证明，琪琪不可以证明
B.嘉嘉不可以证明，琪琪可以证明
C.两人都可以证明
D.两人都不可以证明
√
课堂小结
两组对边__________的四边形是平行四边形．　　
平行四边形判定定理 2
分别相等
对角线__________的四边形是平行四边形．　　
平行四边形判定定理 3
互相平分

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