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沪科版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.19.3.1.2矩形的判定第19章四边形沪科版数学八下19.3.1.2矩形的判定本套内容围绕沪科版八年级下册19.3.1.2“矩形的判定”核心知识点设计，衔接上一课时矩形的性质（角、对角线）及平行四边形的四种判定方法，重点讲解矩形的三种核心判定方法、判定与性质的区别、推导过程，以及矩形判定在几何证明中的应用，兼顾知识点梳理、例题解析、分层练习题和易错辨析，帮助同学们熟练掌握矩形的判定条件，能灵活运用判定方法证明一个四边形是矩形，规范推理步骤，培养几何推理和综合应用能力，贴合课堂教学重点，适配课后巩固练习。一、核心知识点梳理（1）复习回顾（衔接前期知识）前期我们学习了矩形的性质和平行四边形的判定，二者是互逆关系，为矩形判定的学习奠定基础：-矩形的性质：①共性（平行四边形性质）：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；②特有性质：四个角都是直角、对角线相等；-平行四边形的判定：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分；-关键衔接：矩形是特殊的平行四边形，因此矩形的判定可在平行四边形判定的基础上，增加“直角”或“对角线相等”的条件，也可直接通过“四个角是直角”判定。（2）矩形的判定方法（重点，3种核心方法）矩形的判定核心是“先判定为平行四边形，再补充特有条件”，或“直接判定为矩形”，三种方法需牢记条件、几何语言，灵活选择。①判定方法1（定义判定法，最基础）1.判定内容：有一个角是直角的平行四边形是矩形（与矩形的定义互逆）；2.核心逻辑：先判定四边形是平行四边形，再证明有一个角是直角；3.几何语言表示（以四边形ABCD为例）：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°（或∠B、∠C、∠D中任意一个角为90°），∴四边形ABCD是矩形；4.关键说明：只要平行四边形中有一个角是直角，其余三个角必然都是直角，无需逐一证明。②判定方法2（对角线判定法）1.判定内容：对角线相等的平行四边形是矩形；2.核心逻辑：先判定四边形是平行四边形，再证明对角线相等；3.几何语言表示（以四边形ABCD为例，对角线AC、BD交于点O）：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，∴四边形ABCD是矩形；4.推导过程（结合矩形性质和平行四边形性质）：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC= AC，BO=OD= BD（平行四边形对角线互相平分）；又∵ AC=BD，∴ AO=BO=CO=DO；∴ ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°（等腰三角形三线合一）；∴平行四边形ABCD有一个角是直角，∴四边形ABCD是矩形（定义判定法）。③判定方法3（直接判定法）1.判定内容：有三个角是直角的四边形是矩形；2.核心逻辑：无需先判定平行四边形，直接通过角的条件判定矩形；3.几何语言表示（以四边形ABCD为例）：∵ ∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形；4.推导过程（结合平行四边形判定）：∵ ∠A=∠B=90°，∴ ∠A+∠B=180°，∴ AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；∵ ∠B=∠C=90°，∴ ∠B+∠C=180°，∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）；∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行）；又∵ ∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形（定义判定法）。（3）三种判定方法对比（重点记忆）判定方法核心条件几何语言表示（四边形ABCD）适用场景1.定义判定平行四边形+有一个角是直角∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形已知四边形是平行四边形，且有直角条件2.对角线判定平行四边形+对角线相等∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形已知四边形是平行四边形，且有对角线相等条件3.直接判定四边形+有三个角是直角∵ ∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形已知四边形有多个直角条件，无需先证平行四边形（4）矩形判定与性质的区别（关键区分）类别矩形的性质矩形的判定已知条件已知四边形是矩形已知四边形的角、对角线关系推导结论推出：对边平行且相等、四个角是直角、对角线相等且互相平分推出：四边形是矩形核心逻辑由“矩形”推“性质”由“条件”推“矩形”（5）易错辨析（重点区分）-误区1：误用判定条件——“对角线相等的四边形是矩形”（错误），需补充“平行四边形”这一前提（如等腰梯形对角线相等，但不是矩形）；-误区2：判定不严谨——用定义判定时，未先证明四边形是平行四边形，直接证明有一个角是直角，就判定为矩形；-误区3：重复判定——用“三个角是直角”判定时，多余证明四边形是平行四边形（该方法可直接判定）；-误区4：混淆性质与判定——将矩形的性质当作判定条件（如“四个角是直角的四边形是矩形”是判定，“矩形的四个角是直角”是性质）。二、重点例题解析（分题型）题型1：用定义判定矩形（平行四边形+一个直角）例题1：如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE=AF，求证：四边形ABCD是矩形。解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC；∵ AE⊥BC，AF⊥CD，∴ ∠AEB=∠AFD=90°；∵ AB∥CD，∴ ∠B+∠C=180°，又∵ ∠AEB=90°，∴ ∠BAE+∠B=90°；∵平行四边形ABCD的面积=BC×AE=CD×AF，且AE=AF，∴ BC=CD；∴ ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），又∵ AE⊥BC，∠AEB=90°；∴菱形ABCD有一个角是直角，∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。题型2：用对角线判定矩形（平行四边形+对角线相等）例题2：如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且OA=OB，求证：四边形ABCD是矩形。解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴对角线互相平分，即AO=OC，BO=OD；又∵ OA=OB，∴ AO=OB=OC=OD；∴ AC=AO+OC=2OA，BD=BO+OD=2OB，∴ AC=BD；∴平行四边形ABCD的对角线相等，∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。题型3：用直接判定法判定矩形（三个角是直角）例题3：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，求证：四边形ABCD是矩形，且AD∥BC，AB∥CD。解析：∵ ∠A=∠B=90°，∴ ∠A+∠B=180°，∴ AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；∵ ∠B=∠C=90°，∴ ∠B+∠C=180°，∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）；∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行）；又∵ ∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形（定义判定法）；综上，四边形ABCD是矩形，且AD∥BC，AB∥CD。题型4：矩形判定的综合应用例题4：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，E是AC的中点，连接DE，延长DE至点F，使EF=DE，连接AF、CF，求证：四边形ADCF是矩形。解析：∵ E是AC的中点，∴ AE=CE；又∵ EF=DE，∠AEF=∠CED（对顶角相等），∴△AEF≌△CED（SAS）；∴ AF=CD，∠EAF=∠ECD，∴ AF∥CD；∴四边形ADCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；∵ AB=AC，D是BC的中点，∴ AD⊥BC（等腰三角形三线合一），∴ ∠ADC=90°；∴平行四边形ADCF有一个角是直角，∴四边形ADCF是矩形（定义判定法）。三、分层练习题（一）基础题（每题4分，共20分）1.下列说法正确的是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.有三个角是直角的四边形是矩形D.平行四边形都是矩形2.用对角线判定矩形的条件是（）A.四边形的对角线相等B.平行四边形的对角线相等C.四边形的对角线互相平分D.平行四边形的对角线互相垂直3.有一个角是直角的______是矩形；对角线相等的______是矩形。4.在 ABCD中，若∠A=90°，则四边形ABCD是______，理由是______。5.在 ABCD中，对角线AC=BD，则四边形ABCD是______，理由是______。（二）提升题（每题6分，共30分）1.在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AO=BO，求证：四边形ABCD是矩形。2.求证：对角线相等的平行四边形是矩形（结合平行四边形性质推导）。3.在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，求证：四边形ABCD是矩形，且对角线AC=BD。4.在 ABCD中，AE⊥AB，AF⊥AD，且AE=AF，求证：四边形ABCD是矩形。5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，延长DE至点F，使DF=BC，求证：四边形BCFD是矩形。（三）拓展题（每题10分，共20分）1.如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若∠DEC=90°，求证：四边形ABCD是矩形。2.已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AO=BO=CO=DO，求证：四边形ABCD是矩形。四、易错点提醒1.判定条件遗漏：用对角线判定矩形时，忘记补充“平行四边形”这一前提，误将“对角线相等的四边形”当作矩形。2.推理不严谨：用定义判定时，未先证明四边形是平行四边形，直接用“一个直角”判定为矩形；用直接判定法时，多余证明平行四边形。3.性质与判定混淆：将“矩形的对角线相等”（性质）当作“对角线相等的四边形是矩形”（错误判定）。4.综合应用薄弱：不会结合平行四边形、等腰三角形、三角形中位线等知识，构造矩形的判定条件。5.几何语言书写错误：书写判定的几何语言时，遗漏关键条件（如未说明“四边形是平行四边形”）。五、参考答案与解析（一）基础题：1.C 2.B 3.平行四边形，平行四边形4.矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形5.矩形，对角线相等的平行四边形是矩形（二）提升题：129.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，BO=OD，又∵ AO=BO，∴ AO=BO=OC=OD，∴ AC=BD，∴四边形ABCD是矩形；130.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，BO=OD，又∵ AC=BD，∴ AO=BO=OC=OD，∴ ∠AOB=90°，∴平行四边形ABCD有一个角是直角，∴四边形ABCD是矩形；131.证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），∴矩形的对角线相等，即AC=BD；132.证明：∵ AE⊥AB，AF⊥AD，∴ ∠EAB=∠FAD=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠DAB+∠ABC=180°，又∵ AE=AF，可证△ABE≌△ADF，∴ AB=AD，∴ ABCD是菱形，又∵ ∠EAB=90°，∴菱形ABCD是矩形；133.证明：∵ D、E是AB、AC中点，∴ DE∥BC，DE= BC，又∵ DF=BC，∴ DE= DF，EF=DE，∴四边形BCFD是平行四边形，又∵ ∠ACB=90°，DE∥BC，∴ ∠DEC=90°，∴平行四边形BCFD是矩形。（三）拓展题：136.证明：∵ OE⊥AC，AO=OC，∴ OE是AC的垂直平分线，∴ AE=CE，∴ ∠EAC=∠ECA，∵ ∠DEC=90°，E是AD中点，∴ CE= AD，AE= AD，∴ AD=2CE，又∵四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，∴ BC=2CE，可证∠ACB=90°，∴平行四边形ABCD是矩形；137.证明：∵ AO=BO=CO=DO，∴ AC=AO+OC=2AO，BD=BO+OD=2BO，∴ AC=BD，又∵ AO=OC，BO=OD，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分），∴平行四边形ABCD的对角线相等，∴四边形ABCD是矩形。
学习目标
1.理解并掌握矩形的概念．
2.探索并掌握矩形对边相等、对角相等的性质．
新课导入
1.矩形是轴对称图形，它有___条对称轴.
2.矩形与一般平行四边形的区别与联系.
平行四边形 矩形
边
角
对角线
2
对边平行且相等
对边平行且相等
对角相等
四个角都是直角
互相平分
相等且互相平分
工人师傅在做门窗或矩形零件时，要确保图形是矩形. 你有什么办法帮工人师傅测一测吗？
推进新课
由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形. 除此之外，还有没有其他判定方法呢？
若平行四边形的对角线相等,则该平行四边形是否为矩形
思 考
已知：如图，在□ABCD 中，AC = BD.
求证：□ABCD 为矩形.
D
A
B
C
证明 ∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD = BC，AD∥ BC
又 ∵ DC = CD，AC = BD，
∴ △ADC ≌ △BCD.
∴ ∠ADC = ∠BCD.
又∵ ∠ADC + ∠BCD = 180°，
∴ ∠ADC = ∠BCD = 90°.
∴ □ABCD为矩形.
D
A
B
C
矩形的判定定理 1：对角线_____的平行四边形是矩形.
相等
已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 D 是 AC 的中点，直线 AE // BC，过点 D 作直线 EF // AB，分别交 AE，BC 于点 E，F.
求证：四边形 AECF 是矩形.
A
B
C
E
D
F
1
2
例 2
证明 ∵ AE // BC，
∴ ∠1 = ∠2.
在 △ADE 和 △CDF 中，
∵ ∠1 =∠2，∠ADE =∠CDF，AD = CD，
∴ △ADE ≌ △CDF.
∴四边形 AECF 是平行四边形.
由AE // BC， EF// AB,得四边形 ABFE 是平行四边形， ∴ EF = AB.
∵ AC = AB，∴ EF = AC.
∴四边形 AECF 是矩形.
A
B
C
E
D
F
1
2
至少有几个角是直角的四边形是矩形？
思 考
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B = ∠C = 90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
D
A
B
C
证明 ∵ ∠A =∠B = ∠C = 90°，
∴ ∠B + ∠C = 180°，∠A +∠B = 180°.
∴ AB // CD，AD // BC.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵ ∠A=90°
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
例 3
矩形的判定定理 2：三个角是直角的_______是矩形.
四边形
随堂练习
1. 下列判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形. ( )
（2）四个角都相等的四边形是矩形. ( )
（3）对角线相等的四边形是矩形. ( )
（4）对角线互相平分，且有一个角是直角的四边形是矩形. ( )
×
×
√
√
2.已知:在□ABCD中，点M是BC的中点，∠MAD=∠MDA. 求证: □ABCD是矩形.
证明：∵∠MAD=∠MDA
∴MD=MA
又∵MB=MC，AB=DC
∴△ABM≌△DCM
∴∠MAB=∠MDC
∴∠ADC=∠MDA+∠MDC
∠DAB=∠MAD+∠MAB
即∠ADC=∠DAB
D
A
B
C
M
2.已知:在□ABCD中，点M是BC的中点，∠MAD=∠MDA. 求证: □ABCD是矩形.
∵∠ADC+∠DAB=180°
∴∠ADC=∠DAB=90°
∵四边形ABCD是平行四边形
且∠ADC=90°
∴□ABCD是矩形
D
A
B
C
M
1．[知识初练]木艺活动课上有一块平行四边形木板ABCD，若点点测得∠A＝________°，则能说明这块木板的形状为矩形.
90
2．如图，在平行四边形ABCD中，P是边AB上的一点(不与点A，B重合)，过点P作PQ⊥CP，交边AD于点Q，且∠QPA＝∠PCB.求证：四边形ABCD是矩形．(8分)
证明：∵PQ⊥CP，∴∠QPC＝90°，
∴∠QPA＋∠BPC＝180°－90°＝90°.
∵∠QPA＝∠PCB，∴∠BPC＋∠PCB＝90°，
∴∠B＝180°－(∠BPC＋∠PCB)＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．
3.［知识初练］如图，已知平行四边形，当___
时，它就成为矩形.
4.工人师傅砌门时，要想检验门框 是否符合设计要求
(即门框是不是矩形)，在确保两组对边分别相等的前提下，
只要测量出对角线、 的长度，然后看它们是否相等就
可以判断了，这种做法的根据是________________________
_______.
对角线相等的平行四边形为矩形
5．[天津期中]如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形，AB＝AE.求证：四边形ACED是矩形．(8分)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，
AD∥BC，AD＝BC. ∵C是BE的中点，∴BC＝EC，
∴AD＝CE，∴四边形ACED是平行四边形．
∵AB＝AE，∴AE＝CD，∴四边形ACED是矩形．
6. 如图，小强用薄橡胶皮和布料自制了一块四边形
鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了
以下几种方案，其中合理的是( )
A
A.测量其中的三个角是否都为直角
B.测量两组对角是否相等
C.测量两组对边是否相等
D.测量对角线是否相等
7．[合肥期末]如图，在 ABCD中，AE⊥CD于点E，CF⊥AB于点F，求证：四边形AECF是矩形．(8分)
证明：∵AE⊥CD，CF⊥AB，∴∠AEC＝∠AFC＝90°，在 ABCD中，AB∥CD，∴∠EAF＝180°－∠AEC＝90°，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF为矩形．
对角线相等的平行四边形是矩形.
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
矩形的判定方法：
课堂小结

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