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沪科版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.19.3.1.1矩形的性质第19章四边形沪科版数学八下19.3.1.1矩形的性质本套内容围绕沪科版八年级下册19.3.1.1“矩形的性质”核心知识点设计，衔接上一课时三角形中位线及平行四边形的边、角、对角线性质，重点讲解矩形的定义、矩形与平行四边形的关系、矩形的特有性质（角、对角线）及推导，以及矩形性质在几何证明、线段长度计算、角度计算中的应用，兼顾知识点梳理、例题解析、分层练习题和易错辨析，帮助同学们熟练掌握矩形的本质特征，能灵活运用矩形性质解决相关几何问题，规范推理步骤，培养几何推理和综合应用能力，贴合课堂教学重点，适配课后巩固练习。一、核心知识点梳理（1）复习回顾（衔接前期知识）前期我们学行四边形的性质和判定，以及三角形中位线的性质，为矩形性质的学习奠定基础：-平行四边形的性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；-三角形中位线性质：平行于第三边且等于第三边的一半；-关键衔接：矩形是特殊的平行四边形，因此矩形具有平行四边形的所有性质，同时拥有自身特有的性质。（2）矩形的定义1.定义：有一个角是直角的平行四边形，叫做矩形（也叫长方形）；2.关键说明：-①前提：矩形是“平行四边形”，因此必须满足平行四边形的所有条件（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）；-②特有条件：“有一个角是直角”（直角即90°），只要平行四边形中有一个角是直角，其余三个角必然都是直角；-③几何表示（以矩形ABCD为例）：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形。（3）矩形的性质（重点：平行四边形性质+特有性质）矩形既是平行四边形，又是特殊的平行四边形，因此性质分为两类，重点掌握特有性质：①矩形的共性（继承平行四边形的所有性质）-对边平行且相等：AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC；-对角相等：∠A=∠C，∠B=∠D；-对角线互相平分：对角线AC、BD交于点O，∴ AO=OC，BO=OD。②矩形的特有性质（重点，区别于普通平行四边形）-性质1（角）：矩形的四个角都是直角；-几何语言：∵四边形ABCD是矩形，∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°；-性质2（对角线）：矩形的对角线相等；-几何语言：∵四边形ABCD是矩形，∴ AC=BD；-延伸结论：矩形的对角线相等且互相平分，因此对角线被交点分成的四条线段都相等（AO=OC=BO=OD），可利用此结论求线段长度。（4）矩形特有性质的推导1.性质1（四个角都是直角）推导：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A+∠B=180°（平行四边形同旁内角互补）；又∵四边形ABCD是矩形，∴ ∠A=90°（矩形定义）；∴ ∠B=180°-90°=90°；由平行四边形对角相等，得∠C=∠A=90°，∠D=∠B=90°；∴矩形的四个角都是直角。2.性质2（对角线相等）推导：在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠D=90°，AD=DA（公共边）；∴△ABD≌△DCA（SAS）；∴ AC=BD（全等三角形对应边相等）；∴矩形的对角线相等。（5）矩形性质的应用场景- 1.角度计算：利用“四个角都是直角”，求矩形中相关角的度数；- 2.线段长度计算：利用“对角线相等且互相平分”，求对角线、边长等线段长度（常结合勾股定理）；- 3.几何证明：证明线段相等、角度相等、线段垂直等（结合矩形性质和平行四边形性质）；- 4.面积计算：矩形面积=长×宽（后续重点学习，可结合边长计算）。（6）易错辨析（重点区分）-误区1：混淆“矩形”与“平行四边形”——矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是矩形（需满足“有一个角是直角”）；-误区2：误用矩形特有性质——未确认四边形是矩形，就直接套用“对角线相等”“四个角是直角”的性质；-误区3：忽略矩形对角线的“互相平分”——矩形对角线不仅相等，还互相平分，四条线段AO=OC=BO=OD，计算时容易遗漏“互相平分”的条件；-误区4：计算时未结合勾股定理——矩形的长、宽、对角线构成直角三角形，求对角线或边长时，需灵活运用勾股定理。二、重点例题解析（分题型）题型1：矩形定义与角的性质应用（角度计算）例题1：在矩形ABCD中，∠A=90°，对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，求矩形各角的度数及∠BOC的度数。解析：∵四边形ABCD是矩形，∴矩形的四个角都是直角，即∠A=∠B=∠C=∠D=90°；∵ ∠AOB与∠BOC是邻补角，∴ ∠AOB+∠BOC=180°；又∵ ∠AOB=60°，∴ ∠BOC=180°-60°=120°。题型2：矩形对角线性质的基础应用（求线段长度）例题2：在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO=5cm，求AC、BD的长度；若AB=6cm，AD=8cm，求对角线AC的长度。解析：（1）∵矩形的对角线相等且互相平分，∴ AO=OC=5cm，AC=2×AO=10cm；又∵ AC=BD（矩形对角线相等），∴ BD=10cm；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴ ∠A=90°（矩形四个角都是直角）；在Rt△ABC中，AB=6cm，AD=BC=8cm，由勾股定理得：AC=√(AB +BC )=√(6 +8 )=10cm。题型3：矩形性质与三角形中位线的综合应用例题3：在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=6cm，点E、F分别是AB、CD的中点，连接EF，求EF的长度及△EFC的面积。解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴ AB∥CD，AB=CD；∵ E、F分别是AB、CD的中点，∴ AE=EB=5cm，CF=FD=5cm；又∵ AD⊥AB，∴ EF∥AD，EF=AD=6cm（矩形对边平行且相等，EF为中位线性质延伸）；（2）△EFC中，CF=5cm，EF=6cm，且EF⊥CF（矩形的角为直角）；∴△EFC的面积= ×CF×EF= ×5×6=15cm 。题型4：矩形性质的综合证明例题4：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，求证：AO=BO=CO=DO。解析：∵四边形ABCD是矩形，∴对角线AC=BD（矩形对角线相等）；又∵矩形是平行四边形，∴对角线互相平分，即AO=OC= AC，BO=OD= BD；∵ AC=BD，∴ AC= BD，即AO=BO=CO=DO；综上，矩形的对角线被交点分成的四条线段相等。三、分层练习题（一）基础题（每题4分，共20分）1.下列说法正确的是（）A.平行四边形都是矩形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.矩形是特殊的平行四边形D.矩形的对角线互相垂直2.在矩形ABCD中，∠A=90°，则下列说法错误的是（）A. ∠B=90°B. ∠C=90°C. ∠D=90°D. AB=AD3.矩形的四个角都是______，矩形的对角线______且互相平分。4.在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AO=3cm，则BD=______cm。5.已知矩形的长为5cm，宽为3cm，则该矩形的对角线长度为______cm（结果保留根号）。（二）提升题（每题6分，共30分）1.在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB=80°，求∠OAB和∠OBC的度数。2.已知矩形ABCD的对角线AC=10cm，AB=6cm，求矩形的宽AD及面积。3.求证：矩形的四个角都是直角（结合平行四边形性质推导）。4.在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE、CE，求证：BE=CE。5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，求证：OE=OF。（三）拓展题（每题10分，共20分）1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm，求矩形的对角线长度及AD的长度。2.已知△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF、EF，求证：四边形DECF是矩形。四、易错点提醒1.定义混淆：误认为“有一个角是直角的四边形是矩形”，忽略“平行四边形”这一前提（直角梯形有一个角是直角，但不是矩形）。2.性质误用：未确认四边形是矩形，就直接使用“对角线相等”“四个角是直角”的性质，推理不严谨。3.计算错误：求矩形对角线长度时，忘记结合勾股定理，或混淆矩形的长、宽与对角线的关系。4.综合应用薄弱：不会结合矩形性质与平行四边形、三角形中位线等知识解决复杂问题，不会构造直角三角形解题。5.几何语言书写错误：书写矩形性质的几何语言时，遗漏“四边形是矩形”这一前提条件。五、参考答案与解析（一）基础题：1.C 2.D 3.直角，相等4.6 5.√34（二）提升题：91. ∵矩形对角线相等且互相平分，∴ AO=BO，△AOB为等腰三角形，∠OAB=(180°-80°)÷2=50°；∠ABC=90°，∠OBA=∠OAB=50°，∴ ∠OBC=90°-50°=40°；92.矩形中∠ABC=90°，由勾股定理得AD=BC=√(AC -AB )=√(10 -6 )=8cm；面积=AB×AD=6×8=48cm ；93.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B=180°，又∵ ∠A=90°，∴ ∠B=90°，由平行四边形对角相等，得∠C=∠A=90°，∠D=∠B=90°，即矩形四个角都是直角；94.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴ ∠A=∠D=90°，AB=CD，∵ E是AD中点，∴ AE=DE，△ABE≌△DCE（SAS），∴ BE=CE；95.证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，AO=OC，∠OEA=∠OFC=90°，∠AOE=∠COF，△AOE≌△COF（AAS），∴ OE=OF。（三）拓展题：98. ∵矩形对角线相等且互相平分，∠AOD=120°，∴ ∠AOB=60°，AO=BO，△AOB为等边三角形，∴ AO=AB=4cm，对角线AC=BD=2×AO=8cm；Rt△ABD中，AD=√(BD -AB )=√(8 -4 )=4√3 cm；99.证明：∵ D、E、F分别是AB、AC、BC中点，∴ DE∥BC，DF∥AC，四边形DECF是平行四边形；又∵ ∠ACB=90°，∴平行四边形DECF有一个角是直角，∴四边形DECF是矩形。
学习目标
1.理解并掌握矩形的概念．
2.探索并掌握矩形对边相等、对角相等的性质．
新课导入
电脑，电视机的显示屏是什么形状？
推进新课
矩形是常见的图形，门窗框、皮箱、地砖等都有矩形的形象. 你还能举出一些例子吗？
当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形.
________________的平行四边形是矩形.
矩形的定义：
有一个角是直角
矩形是特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.
1
对边平行且相等
2
对角相等
3
对角线互相平分
画一个矩形,度量它的四条边长、两条对角线长以及四个角的度数,你能从中得出矩形特殊的性质吗 它是否具有一般平行四边形不具有的一些性质呢？
观 察
猜想1：矩形的四个角都是______．
直角
猜想2：矩形的对角线______．
相等
性质1：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，矩形ABCD.
求证：∠A =∠B =∠C =∠D = 90°.
A
B
C
D
证明 由定义知矩形必有一个角是直角，不妨设∠A = 90°.
∵ AB // DC，AD // BC，
∴∠A+∠D=180°，∠D+∠C=180°.
（两直线平行，同旁内角互补）
∴ ∠B =∠C =∠D = 90°.
因此，矩形 ABCD 的四个角
都是直角.
A
B
C
D
已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，
求证：AC = BD.
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB.
∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴AC = BD， 即矩形的对角线相等.
性质2：矩形的对角线相等
小结
矩形的性质：
（1）矩形的四个角都是______；
（2）矩形的对角线______.
直角
相等
矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A.对边相等 B.对角相等
C.对角互补 D.对角线互相平分
C
练习
已知：在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BO 是 AC 上的中线.
求证: BO = AC.
A
B
C
O
A
B
C
O
证明 延长 BO 至 D，使OD = BO,，连结 AD，DC.
D
∵ AO = OC，BO = OD.
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∵ ∠ABC=90°.
∴□ABCD是矩形.
∴ AC = BD.
∴ BO = BD = AC.
矩形性质的推论
推论：直角三角形斜边上的中线等于_____________．
斜边的一半
A
B
C
O
　　 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠AOB = 120°，AD = 4 cm ．求矩形ABCD对角线的长．
D　
A 　
B 　
C 　
O 　
例 1
∴ AC 与 BD 相等且互相平分.
∴ OA = OB = OC = OD，
∵ ∠AOB = 120°.
解：∵四边形 ABCD 是矩形.
∴ ∠OAB = ∠OBA = = 30°.
在 Rt△ABD 中，有
BD = 2AD = 2×4 = 8（cm）.
随堂练习
1. 矩形的一内角平分线把矩形的一边分成 3 cm 和 5 cm 的两部分，则此矩形的周长为（ ）
A. 16 cm B. 22 cm
C. 26 cm D. 22 cm 或 26 cm
D
2. 矩形 ABCD 对角线 AC，BD 相交于点 O，AB = 5 cm，BC = 12 cm，则 △ABO 的周长等于________.
18 cm
1星题 基础练
1.( 实 情 境朔州三模改编)如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，当水杯底面BC与桌面的夹角∠1为32°时，∠2的度数为(　　)
A．62° B．58° C．32° D．28°
B
2．两个矩形的位置如图所示，若∠1＝110°，则∠2的度数为(　　)
A．50° B．60° C．70° D．80°
C
3．[合肥月考]如图，已知矩形ABCD，点O在边AD上，满足∠AOB＝∠DOC.求证：O是AD的中点．(8分)
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°.
又∵∠AOB＝∠DOC，∴△AOB≌△DOC，
∴OA＝OD，即O是AD的中点．
4.［知识初练］在矩形中，对角线，相交于点 .
若，则___, ___.
4
4
5．[合肥期末]如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB＝50°，则∠ACB等于(　　)
A．36° B．28° C．25° D．15°
C
6．[无锡二模]如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F分别为OC，BC的中点．若AC＝12，则EF的长
为(　　)
A．6 B．4 C．3 D．2.5
C
矩形的四个角都是直角．
矩形的两条对角线相等．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
矩形的性质
1
2
矩形性质推论
课堂小结

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