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沪科版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.19.3.2.2菱形的判定第19章四边形沪科版数学八下19.3.2.2菱形的判定本套内容围绕沪科版八年级下册19.3.2.2“菱形的判定”核心知识点设计，衔接上一课时菱形的性质（边、对角线）及平行四边形、矩形的判定方法，重点讲解菱形的三种核心判定方法、判定与性质的区别、推导过程，以及菱形判定在几何证明中的应用，兼顾知识点梳理、例题解析、分层练习题和易错辨析，帮助同学们熟练掌握菱形的判定条件，能灵活运用判定方法证明一个四边形是菱形，规范推理步骤，培养几何推理和综合应用能力，贴合课堂教学重点，适配课后巩固练习。一、核心知识点梳理（1）复习回顾（衔接前期知识）前期我们学习了菱形的性质、平行四边形的判定及矩形的判定，二者是互逆关系，为菱形判定的学习奠定基础，重点关注菱形与平行四边形的关联：-菱形的性质：①共性（平行四边形性质）：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；②特有性质：四条边都相等、对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角；-平行四边形的判定：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分；-矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有三个角是直角的四边形是矩形；-关键衔接：菱形是特殊的平行四边形，因此菱形的判定可在平行四边形判定的基础上，增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件，也可直接通过“四条边都相等”判定。（2）菱形的判定方法（重点，3种核心方法）菱形的判定核心是“先判定为平行四边形，再补充特有条件”，或“直接判定为菱形”，三种方法需牢记条件、几何语言，灵活选择，区分于矩形的判定。①判定方法1（定义判定法，最基础）1.判定内容：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（与菱形的定义互逆）；2.核心逻辑：先判定四边形是平行四边形，再证明有一组邻边相等；3.几何语言表示（以四边形ABCD为例）：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD（或AB=BC、BC=CD、CD=DA中任意一组邻边相等），∴四边形ABCD是菱形；4.关键说明：只要平行四边形中有一组邻边相等，结合平行四边形对边相等的性质，其余三组邻边必然都相等，无需逐一证明。②判定方法2（对角线判定法）1.判定内容：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；2.核心逻辑：先判定四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直；3.几何语言表示（以四边形ABCD为例，对角线AC、BD交于点O）：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；4.推导过程（结合菱形性质和平行四边形性质）：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC（平行四边形对角线互相平分）；又∵ AC⊥BD，∴ ∠AOB=∠COB=90°；在△AOB和△COB中，AO=OC，∠AOB=∠COB，BO=BO（公共边）；∴△AOB≌△COB（SAS）；∴ AB=BC（全等三角形对应边相等）；∴平行四边形ABCD有一组邻边相等，∴四边形ABCD是菱形（定义判定法）。③判定方法3（直接判定法）1.判定内容：四条边都相等的四边形是菱形；2.核心逻辑：无需先判定平行四边形，直接通过边的条件判定菱形；3.几何语言表示（以四边形ABCD为例）：∵ AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形；4.推导过程（结合平行四边形判定）：∵ AB=CD，BC=DA（已知四条边都相等）；∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；又∵ AB=BC（四条边都相等，任意一组邻边相等）；∴平行四边形ABCD是菱形（定义判定法）。（3）三种判定方法对比（重点记忆）判定方法核心条件几何语言表示（四边形ABCD）适用场景1.定义判定平行四边形+有一组邻边相等∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形已知四边形是平行四边形，且有邻边相等条件2.对角线判定平行四边形+对角线互相垂直∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形已知四边形是平行四边形，且有对角线垂直条件3.直接判定四边形+四条边都相等∵ AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形已知四边形四条边相等，无需先证平行四边形（4）菱形判定与性质的区别（关键区分）类别菱形的性质菱形的判定已知条件已知四边形是菱形已知四边形的边、对角线关系推导结论推出：对边平行且相等、四条边相等、对角线互相垂直平分且平分一组对角推出：四边形是菱形核心逻辑由“菱形”推“性质”由“条件”推“菱形”（5）易错辨析（重点区分，规避误区）-误区1：误用判定条件——“对角线互相垂直的四边形是菱形”（错误），需补充“平行四边形”这一前提（如等腰梯形的对角线可能垂直，但不是菱形）；-误区2：判定不严谨——用定义判定时，未先证明四边形是平行四边形，直接证明有一组邻边相等，就判定为菱形；-误区3：重复判定——用“四条边都相等”判定时，多余证明四边形是平行四边形（该方法可直接判定）；-误区4：混淆菱形与矩形的判定——菱形侧重“边相等”“对角线垂直”，矩形侧重“角是直角”“对角线相等”，避免混用判定条件；-误区5：忽略“一组邻边相等”的前提——平行四边形中，必须有“一组邻边相等”才能判定为菱形，仅对边相等不能判定。二、重点例题解析（分题型）题型1：用定义判定菱形（平行四边形+一组邻边相等）例题1：如图，在 ABCD中，AB=BC，求证：四边形ABCD是菱形。解析：∵四边形ABCD是平行四边形（已知）；∴平行四边形的对边相等，即AB=CD，AD=BC；又∵ AB=BC（已知）；∴ AB=BC=CD=DA（等量代换）；∴四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。题型2：用对角线判定菱形（平行四边形+对角线垂直）例题2：如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，求证：四边形ABCD是菱形。解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC（平行四边形对角线互相平分）；又∵ AC⊥BD，∴ ∠AOB=∠COB=90°；在△AOB和△COB中，AO=OC，∠AOB=∠COB，BO=BO（公共边）；∴△AOB≌△COB（SAS）；∴ AB=BC（全等三角形对应边相等）；∴平行四边形ABCD有一组邻边相等，∴四边形ABCD是菱形（定义判定法）。题型3：用直接判定法判定菱形（四条边都相等）例题3：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，求证：四边形ABCD是菱形，且AB∥CD，AD∥BC。解析：∵ AB=CD，BC=DA（已知四条边都相等）；∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；又∵ AB=BC（四条边都相等，任意一组邻边相等）；∴平行四边形ABCD是菱形（定义判定法）；∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC（平行四边形对边平行）。题型4：菱形判定的综合应用例题4：如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，延长DE至点F，使EF=DE，连接AF、CF，且AD=AF，求证：四边形ADCF是菱形。解析：∵ E是AC的中点，∴ AE=CE；又∵ EF=DE，∠AEF=∠CED（对顶角相等），∴△AEF≌△CED（SAS）；∴ AF=CD，∠EAF=∠ECD，∴ AF∥CD；∴四边形ADCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；∵ D是AB的中点，∴ AD= AB，又∵ AB=AC，E是AC中点，∴ AE= AC=AD；又∵ AD=AF，∴ AD=AF=CD=CF；∴平行四边形ADCF有一组邻边相等（AD=AF），∴四边形ADCF是菱形（定义判定法）。三、分层练习题（一）基础题（每题4分，共20分）1.下列说法正确的是（）A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.有一组邻边相等的四边形是菱形C.四条边都相等的四边形是菱形D.平行四边形都是菱形2.用对角线判定菱形的条件是（）A.四边形的对角线互相垂直B.平行四边形的对角线互相垂直C.四边形的对角线互相平分D.平行四边形的对角线相等3.有一组邻边相等的______是菱形；对角线互相垂直的______是菱形。4.在 ABCD中，若AB=BC，则四边形ABCD是______，理由是______。5.在 ABCD中，对角线AC⊥BD，则四边形ABCD是______，理由是______。（二）提升题（每题6分，共30分）1.在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AB=AD，求证：四边形ABCD是菱形。2.求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形（结合平行四边形性质推导）。3.在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，求证：四边形ABCD是菱形，且对角线互相垂直。4.在 ABCD中，对角线AC平分∠BAD，求证：四边形ABCD是菱形。5.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E、F分别是AB、AC的中点，连接DE、DF，且DE=DF，求证：四边形AEDF是菱形。（三）拓展题（每题10分，共20分）1.如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F，且OE=OF，求证：四边形ABCD是菱形。2.已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，求证：四边形ABCD是菱形。四、易错点提醒1.判定条件遗漏：用对角线判定菱形时，忘记补充“平行四边形”这一前提，误将“对角线互相垂直的四边形”当作菱形。2.推理不严谨：用定义判定时，未先证明四边形是平行四边形，直接用“一组邻边相等”判定为菱形；用直接判定法时，多余证明平行四边形。3.性质与判定混淆：将“菱形的对角线互相垂直”（性质）当作“对角线互相垂直的四边形是菱形”（错误判定）。4.菱形与矩形判定混淆：误用矩形的判定条件（如对角线相等）判定菱形，或误用菱形的判定条件（如邻边相等）判定矩形。5.综合应用薄弱：不会结合平行四边形、等腰三角形、三角形中位线等知识，构造菱形的判定条件，不会利用全等三角形证明邻边相等或对角线垂直。6.几何语言书写错误：书写判定的几何语言时，遗漏关键条件（如未说明“四边形是平行四边形”）。五、参考答案与解析（一）基础题：1.C 2.B 3.平行四边形，平行四边形4.菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形5.菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形（二）提升题：135.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB=CD，AD=BC，又∵ AB=AD，∴ AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形；136.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，又∵ AC⊥BD，∴△AOB≌△COB（SAS），∴ AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形；137.证明：∵ AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形（四条边都相等的四边形是菱形），∴菱形的对角线互相垂直，即AC⊥BD；138.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，∴ ∠DAC=∠BCA，又∵ AC平分∠BAD，∴ ∠BAC=∠DAC，∴ ∠BAC=∠BCA，∴ AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形；139.证明：∵ E、F是AB、AC中点，AD是BC中线，∴ DE∥AC，DF∥AB，四边形AEDF是平行四边形，又∵ DE=DF，∴平行四边形AEDF是菱形。（三）拓展题：142.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，AD∥BC，∴ ∠OAF=∠OCE，又∵ OE=OF，∠AFO=∠CEO=90°，∴△AOF≌△COE（AAS），∴ AF=CE，又∵ AD=BC，∴ AD-AF=BC-CE，即DF=BE，可证AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形；143.证明：∵ AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），又∵ AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
学习目标
1.理解并掌握正方形的定义、性质和判定定理，并能运用它们进行计算和证明；
2.体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别，理解一般与特殊的关系；
新课导入
根据菱形的定义判定菱形
定义：_____________的平行四边形是菱形.
一组邻边相等
除此之外还有没有其他判定方法？
推进新课
A
B
D
C
1.以点 A 为端点任意画两条相等的线段 AB 和 AD，再分别以点 B，D 为圆心、AB 长为半径画弧，两弧相交于点 C，连接 BC，DC，四边形ABCD是菱形吗？为什么？
已知：四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
证明：∵ AB = BC = CD = AD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又 AB = BC，
∴ ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形的判定定理 1：
四边都_____的四边形是菱形.
相等
O
l1
l2
A
C
B
D
2.如图，画两条互相垂直的直线 l1 和 l2，两直线相交于点 O，在 l1 上取两点 A，C，使 OA = OC，在 l2 上取两点 B，D，使 OB = OD，顺次连接 A，B，C，D，四边形 ABCD 是菱形吗？为什么？
已知：四边形 ABCD 是平行四边形，且AC⊥BD，求证：平行四边形 ABCD 是菱形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO = CO，又∵DO⊥AC,
∴ DA =DC（线段垂直平分线上
的点到两个端点的距离相等）
∴□ABCD 是菱形.（菱形的定义）
菱形的判定定理 2：
对角线_________的平行四边形是菱形.
互相垂直
如图，在□ABCD 中，对角线AC，BD相交于点O. AC =8，BD=6，AB=5，求 AD 的长.
又 ∵ AB = 5，满足 AB2 = OA2 + OB2，
∴ △AOB为直角三角形，即OA⊥OB.
∴ □ABCD是菱形，AD = AB = 5.
解 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ OA = AC = 4，OB = BD = 3.
A
B
C
D
O
例 5
随堂练习
1. ABCD 的对角线 AC 平分∠BAD，则
ABCD_____(填“是”或“不是”)菱形.
是
2. 四边形 ABCD 是平行四边形，请补充一个条件：_________，使它是菱形.
AB = BC
3. 如图在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 3，D 为斜边 AB 上一点，以 CD、CB 为边作平行四边形 CDEB，当 AD =_____，平行四边形 CDEB 为菱形.
1.4
4.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别交于点M，N. 求证: 四边形BNDM是菱形.
证明：∵ AD∥ BC，
∴ ∠NBO=∠MDO
又∵ OB=OD
∠BON=∠DOM
∴ △BON≌△DOM
∴ ON=OM，BN=DM
4.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别交于点M，N. 求证: 四边形BNDM是菱形.
∵ OB=OD，OM=ON
∴ 四边形BNDM是平行四边形
又∵ MN⊥BD
∴ 四边形BNDM是菱形
5.一个平行四边形的一条边长是 9，两条对角线的长分别是 12 和 6 ，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.
解：这是一个菱形.
AO = CO = AC = 6，
BO = DO = BD = 3 .
在 △ABO 中，∵BO2 + AO2 = (3 )2 + 62 = 81，
AB2 = 92 = 81，∴△ABO 是直角三角形，
∴AC⊥BD，∴ ABCD 是菱形.
S菱形ABCD = AC · BD
= 36
1星题 基础练
1．[知识初练]如图，四边形ABCD为平行四边形，若AB＝2，则当BC＝________时， ABCD是菱形.
2
2.如图，矩形的对角线， 相
交于点，, .求证：四边
形 是菱形.
证明：， ，
四边形 是平行四边形.
四边形为矩形， ，
平行四边形 是菱形.
四边都相等的四边形是菱形
3.［知识初练］如图，将一矩
形纸片对折，再对折，然后沿
着虚线剪下，打开. 你发现这
菱形
四边都相等的四边形是菱形
个四边形一定是______ (填形状)，判定的依据是__________
________________.
4.如图，，分别以， 为圆心，以长
度5为半径作弧.两条弧分别相交于点和 .
依次连接，，，.连接交于点 .
(1)判断四边形 的形状，并说明理由；
解：四边形 为菱形.理由如下：
由题意可知， ，
四边形 为菱形.
(2) 的长为___.
6
5.［知识初练］如图，的对角线
和相交于点，当 _____时，
是菱形.
6．[绍兴期末]如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是______________________．(只需写出一个条件即可)
AB＝CD(答案不唯一)
7.[2023·淮南月考] 如图，在中，，分别是，
上的点，且，.求证：四边形 是菱形.
证明： 四边形 是平行四边形，
， .
, .
又, 四边形 是平行四
边形.
又, 四边形 是菱形.
菱形的判定
课堂小结
1.有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边都相等的四边形是菱形.

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