资源简介

(共28张PPT)
沪科版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.19.3.3正方形第19章四边形本套内容围绕沪科版八年级下册19.3.3“正方形”核心知识点设计，衔接上一课时菱形的判定、矩形的判定及平行四边形的相关知识，重点讲解正方形的定义、正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系、正方形的性质、核心判定方法，以及正方形在几何证明、线段和角度计算中的应用，兼顾知识点梳理、例题解析、分层练习题和易错辨析，帮助同学们熟练掌握正方形的本质特征，能灵活运用正方形的性质和判定方法解决相关几何问题，规范推理步骤，培养几何推理和综合应用能力，贴合课堂教学重点，适配课后巩固练习。一、核心知识点梳理（1）复习回顾（衔接前期知识）前期我们学行四边形、矩形、菱形的性质和判定，正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，更是特殊的平行四边形，衔接核心如下：-平行四边形的核心性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；-矩形的特有性质：四个角都是直角、对角线相等；判定核心：平行四边形+一个直角/对角线相等，或三个角是直角；-菱形的特有性质：四条边都相等、对角线互相垂直且平分一组对角；判定核心：平行四边形+一组邻边相等/对角线垂直，或四条边相等；-关键衔接：正方形兼具矩形和菱形的所有性质，其判定可在矩形、菱形或平行四边形的基础上，补充对应条件，本质是“有一组邻边相等的矩形”或“有一个角是直角的菱形”。（2）正方形的定义1.定义（两种核心表述，等价）：-①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形；-②补充表述：有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。2.关键说明：-①前提：正方形是“平行四边形”，同时满足“矩形”和“菱形”的特有条件；-②核心特征：既具备矩形的“四个角是直角”，又具备菱形的“四条边相等”，是最特殊的平行四边形；-③几何表示（以正方形ABCD为例）：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD，∠A=90°，∴四边形ABCD是正方形。（3）正方形的性质（重点：兼具矩形+菱形所有性质）正方形既是平行四边形，又是矩形和菱形，因此性质分为三类，重点掌握其独特的综合特征：①共性（继承平行四边形的所有性质）-对边平行且相等：AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC；-对角相等：∠A=∠B=∠C=∠D（结合矩形性质，均为90°）；-对角线互相平分：对角线AC、BD交于点O，∴ AO=OC，BO=OD。②继承矩形的特有性质-四个角都是直角：∠A=∠B=∠C=∠D=90°；-对角线相等：AC=BD。③继承菱形的特有性质-四条边都相等：AB=BC=CD=DA；-对角线互相垂直：AC⊥BD；-每条对角线平分一组对角：AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC（因四个角均为90°，故每条对角线平分的两个角均为45°）。④正方形的独有延伸结论（高频考点）-对角线将正方形分成4个全等的等腰直角三角形（AO=BO=CO=DO，AC⊥BD，∠AOB=90°）；-正方形的边长为a，则对角线长为a√2（由勾股定理推导：对角线 =边长 +边长 ）；-正方形的面积=边长 ，或正方形面积= ×对角线 （结合菱形面积公式推导）。（4）正方形的判定方法（重点，4种核心方法）正方形的判定核心是“先判定为矩形/菱形/平行四边形，再补充对应条件”，四种方法需牢记条件、几何语言，灵活选择，区分于矩形和菱形的判定。①判定方法1（定义判定法，最基础）1.判定内容：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；2.核心逻辑：先判定四边形是平行四边形，再证明“有一组邻边相等”和“有一个角是直角”；3.几何语言表示（以四边形ABCD为例）：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD，∠A=90°，∴四边形ABCD是正方形；②判定方法2（矩形基础判定）1.判定内容：有一组邻边相等的矩形是正方形；2.核心逻辑：先判定四边形是矩形，再证明有一组邻边相等；3.几何语言表示（以四边形ABCD为例）：∵四边形ABCD是矩形，且AB=AD，∴四边形ABCD是正方形；③判定方法3（菱形基础判定）1.判定内容：有一个角是直角的菱形是正方形；2.核心逻辑：先判定四边形是菱形，再证明有一个角是直角；3.几何语言表示（以四边形ABCD为例）：∵四边形ABCD是菱形，且∠A=90°，∴四边形ABCD是正方形；④判定方法4（对角线判定法，综合型）1.判定内容：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形（或对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形）；2.核心逻辑：先判定四边形是平行四边形（或直接通过对角线互相平分判定平行四边形），再证明对角线相等且互相垂直；3.几何语言表示（以四边形ABCD为例，对角线AC、BD交于点O）：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形；（5）正方形、矩形、菱形、平行四边形的关系（重点区分）图形核心特征包含关系平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分包含矩形、菱形、正方形，是最基础的图形矩形平行四边形+四个角是直角、对角线相等包含正方形，是特殊的平行四边形菱形平行四边形+四条边相等、对角线垂直包含正方形，是特殊的平行四边形正方形平行四边形+矩形特征+菱形特征是特殊的矩形、特殊的菱形，是最特殊的平行四边形（6）易错辨析（重点区分，规避误区）-误区1：混淆正方形与矩形、菱形——认为“矩形就是正方形”（错误，矩形需有一组邻边相等才是正方形）、“菱形就是正方形”（错误，菱形需有一个角是直角才是正方形）；-误区2：误用判定条件——未先判定为平行四边形/矩形/菱形，直接证明“有一组邻边相等且有一个角是直角”，就判定为正方形；-误区3：对角线判定遗漏条件——仅用“对角线相等”或“对角线垂直”判定正方形，需同时满足“相等且垂直”，且需结合平行四边形的前提；-误区4：计算错误——求正方形对角线长度时，忘记边长与对角线的关系（对角线=边长×√2）；计算面积时，混淆“边长 ”与“ ×对角线 ”；-误区5：忽略正方形的双重属性——正方形既是矩形也是菱形，可灵活运用两种图形的性质解决问题，避免只考虑一种属性导致解题受阻。二、重点例题解析（分题型）题型1：正方形的性质应用（求边长、对角线、面积）例题1：已知正方形ABCD的边长为6cm，求它的对角线长度和面积；若对角线长为8cm，求它的边长和面积。解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴边长AB=6cm，对角线AC=AB×√2=6√2 cm；面积=边长 =6×6=36cm ；（2）设正方形边长为a，∵对角线= a√2=8cm，∴ a=8÷√2=4√2 cm；面积= ×对角线 = ×8×8=32cm （或面积=边长 =(4√2) =32cm ）。题型2：正方形的性质应用（角度计算）例题2：在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，求∠AOB、∠OAB的度数。解析：∵四边形ABCD是正方形，∴对角线AC⊥BD，AC=BD，且互相平分；∴ AC⊥BD，∴ ∠AOB=90°（正方形对角线互相垂直）；∵ AO=BO（对角线互相平分且相等），∴△AOB是等腰直角三角形；∴ ∠OAB=(180°-90°)÷2=45°（正方形对角线平分一组对角，也可直接推导）。题型3：正方形的判定（矩形基础+邻边相等）例题3：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AB=AD，求证：四边形ABCD是正方形。解析：∵四边形ABCD是矩形（已知）；∴矩形的四个角都是直角，即∠A=∠B=∠C=∠D=90°，且对边相等（AB=CD，AD=BC）；又∵ AB=AD（已知）；∴ AB=BC=CD=DA（等量代换）；∴矩形ABCD有一组邻边相等，∴四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。题型4：正方形的判定（菱形基础+直角）例题4：如图，在菱形ABCD中，∠A=90°，求证：四边形ABCD是正方形。解析：∵四边形ABCD是菱形（已知）；∴菱形的四条边都相等，即AB=BC=CD=DA，且对边平行（AB∥CD，AD∥BC）；又∵ ∠A=90°（已知）；∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ ∠B=∠C=∠D=∠A=90°（同旁内角互补）；∴菱形ABCD有一个角是直角，∴四边形ABCD是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。题型5：正方形判定的综合应用例题5：如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC=BD，AC⊥BD，求证：四边形ABCD是正方
学习目标
1.理解并掌握正方形的定义、性质和判定定理，并能运用它们进行计算和证明；
2.体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别，理解一般与特殊的关系；
情境引入
正方形是我们熟悉的图形，如下图中都有正方形的形象.
我们已经学行四边形、矩形、菱形，你认为正方形是哪种图形的特例呢？
正方形
一个角是直角
一组邻边相等
正方形
平行四边形
一个角是直角
矩形
平行四边形
一组邻边相等
菱形
有一组邻边相等的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形.
推进新课
正方形是特殊的矩形，所以它具有矩形的性质，四个角相等，对角线相等.
正方形也是特殊的菱形，所以正方形也具有菱形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？
是轴对称图形，有 4 条对称轴.
性质2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.
性质1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
正方形的性质
已知：如图，四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四条边都相等，四个角都是直角.
尝试证明
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠A=90°，AB=AD（正方形的定义）.
又∵ 正方形是平行四边形，
∴ 四边形ABCD是矩形（矩形的定义），
且四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD.
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O. 求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：在四边形ABCD 中，
∵ 正方形是矩形，
∴ AO=BO=CO=DO.
又 ∵ 正方形是菱形，
∴ AC⊥BD.
尝试证明
与同学讨论一下，四边形可以怎样进行分类？
四边形
思 考
梯形
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
正方形与 矩形，菱形，平行四边形的关系.
平行四边形
矩形
菱形
正方形
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等且有一个角是直角
正方形的判定
如何判定一个四边形是正方形呢？
判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：
（1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；
（2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角.
已知：如图，点 A′，B′，C′，D′ 分别是正方形ABCD四条边上的点，并且 AA′ = BB′ = CC′ = DD′.
求证：四边形 A′B′C′D′ 是正方形.
例 6
证明 ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB ＝ BC ＝ CD ＝ DA，
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.
又 ∵ AA′ = BB′ = CC′ = DD′，
∴ D′A＝A′B ＝ B′C ＝ C′D.
∴ Rt△AA′D′ ≌ △BB′A′
∴ D′A′ ＝A′B′，∠1=∠3.
同理：A′B′=B′C′， B′C′=C′D′， C′D′=D′A′.
∴ A′B′=B′C′=C′D′=D′A′.
∴ 四边形 A′B′C′D′ 是菱形.
∵ ∠1＝∠3，∠1＋∠2＝ 90°，
∴ ∠2＋∠3＝ 90°，
∴ ∠D′A′B′＝ 90°.
∴ 四边形 A′B′C′D′ 是正方形.
已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O.
求证：△ABO，△BCO，
△CDO，△DAO 是全等的等腰
直角三角形.
练习
证明：∵ 四边形ABCD是正方形。
∴AC＝BD，AC⊥BD，
OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO，△BCO，△CDO，
△DAO都是等腰直角三角形，
并△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
1星题 基础练
1．图①的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形(如图②)，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列选项不正确的是(　　)
A．AC⊥BD
B．AD＝AO
C．DO＝CO
D．∠DAO＝∠BAC
B
2．[浙江中考改编]如图，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上．若裁剪过程中满足DE＝DA，则“机翼角”∠BAE的度数为______.
22. 5°
3．[泉州模拟]若正方形ABCD的面积为4，则正方形的对角线AC的长为________.
4．如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F.求证：DF＝BE＋EF.(8分)
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∴∠BCE＋∠DCF＝90°.
∵CE⊥BG，DF⊥CE，∴∠BEC＝∠DFC＝90°，
∴∠BCE＋∠CBE＝90°，∴∠CBE＝∠DCF.
在△CBE和△DCF中，
5．下列说法错误的是(　　)
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
D
(答案不唯一)
6. (新课标·开放性问题)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，
请你添加一个条件：__________________________，使矩形ABCD是正方形.
7．如图，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝DG，求证：四边形EFGH为正方形．(8分)
证明：∵四边形EFGH为菱形，∴HG＝EH.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝90°.
∴Rt△DHG≌Rt△AEH，∴∠DHG＝∠AEH.
∵∠AEH＋∠AHE＝180°－∠A＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°.
∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形．
课堂小结
正方形的性质
正方形的四个角都是直角；
正方形的四条边都相等；
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.
正方形　

展开更多......

收起↑