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沪科版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.小结·评价第17章一元二次方程及其应用第17章一元二次方程及其应用班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟一、基础题（每题15分，共30分）1.解分式方程：$$\frac{2}{x} + \frac{x}{x-1} = 2$$解析：可化为一元二次方程的分式方程核心解法是“去分母”，将分式方程转化为整式方程（一元二次方程）求解，关键步骤是：去分母→解整式方程→检验（检验分母不为0，排除增根）。第一步，确定最简公分母：分母为x和x-1，最简公分母为$$x(x-1)$$；第二步，去分母：方程两边同时乘以$$x(x-1)$$，得$$2(x-1) + x^2 = 2x(x-1)$$；第三步，整理为一元二次方程：展开左边得$$2x - 2 + x^2 = 2x^2 - 2x$$，移项化简得$$x^2 - 4x + 2 = 0$$；第四步，解一元二次方程：用公式法求解，$$a=1$$，$$b=-4$$，$$c=2$$，$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 16 - 8 = 8$$，解得$$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$$；第五步，检验：将$$x = 2 + \sqrt{2}$$和$$x = 2 - \sqrt{2}$$代入最简公分母$$x(x-1)$$，分母均不为0，均为原方程的根；结论：原分式方程的根为$$x_1 = 2 + \sqrt{2}$$，$$x_2 = 2 - \sqrt{2}$$。2.解分式方程：$$\frac{3}{x+1} + \frac{1}{x-1} = \frac{6}{x^2 - 1}$$解析：巩固分式方程去分母解法，重点考查最简公分母的确定（平方差公式因式分解）和增根检验。第一步，因式分解分母：$$x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$$，最简公分母为$$(x+1)(x-1)$$；第二步，去分母：方程两边同乘$$(x+1)(x-1)$$，得$$3(x-1) + (x+1) = 6$$；第三步，整理求解：展开左边得$$3x - 3 + x + 1 = 6$$，化简得$$4x = 8$$，解得$$x = 2$$；第四步，检验：将$$x=2$$代入最简公分母$$(x+1)(x-1) = 3 \times 1 = 3 \neq 0$$，是原方程的根；结论：原分式方程的根为$$x = 2$$。二、中档题（每题20分，共40分）3.解分式方程：$$\frac{x}{x-2} - \frac{1}{x^2 - 4} = 1$$解析：进阶考点——分母因式分解、去分母后化为一元二次方程，重点关注增根的产生（使分母为0的根需舍去）。第一步，因式分解分母：$$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$$，最简公分母为$$(x+2)(x-2)$$；第二步，去分母：方程两边同乘$$(x+2)(x-2)$$，得$$x(x+2) - 1 = (x+2)(x-2)$$；第三步，整理为一元二次方程：展开左边得$$x^2 + 2x - 1$$，右边得$$x^2 - 4$$，移项化简得$$2x + 3 = 0$$（此处虽为一元一次方程，属于可化为一元二次方程的分式方程的常见变式，重点练检验）；第四步，求解：解得$$x = -\frac{3}{2}$$；第五步，检验：将$$x = -\frac{3}{2}$$代入最简公分母，分母不为0，是原方程的根；结论：原分式方程的根为$$x = -\frac{3}{2}$$。4.若分式方程$$\frac{ax}{x-1} + 1 = \frac{2}{x-1}$$有增根，求a的值。解析：进阶应用——结合增根求参数值，核心是明确“增根是使分母为0的根，且增根满足去分母后的整式方程”。第一步，确定增根：分母为$$x-1$$，令$$x-1 = 0$$，得增根为$$x = 1$$；第二步，去分母：方程两边同乘$$x-1$$，得$$ax + (x-1) = 2$$，整理为$$(a+1)x = 3$$；第三步，代入增根求a：将$$x = 1$$代入整式方程$$(a+1) \times 1 = 3$$，解得$$a = 2$$；检验：当$$a=2$$时，原方程为$$\frac{2x}{x-1} + 1 = \frac{2}{x-1}$$，去分母得$$3x = 3$$，$$x=1$$为增根，符合题意；结论：a的值为2。三、拓展题（30分）5.某工程队计划完成一项工程，若单独做，甲队需要x天完成，乙队需要(x+5)天完成。两队合作2天后，剩下的工程由乙队单独做，还需3天才能完成，求x的值。解析：进阶拓展——分式方程实际应用（工程问题），核心是根据“工作量=工作效率×工作时间”列分式方程，再化为整式方程求解，检验结果符合实际意义。第一步，确定工作效率：甲队工作效率为$$\frac{1}{x}$$，乙队工作效率为$$\frac{1}{x+5}$$；第二步，分析工作量：两队合作2天的工作量+乙队单独做3天的工作量=总工作量（看作1）；第三步，列分式方程：$$2\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} \right) + \frac{3}{x+5} = 1$$；第四步，去分母化为整式方程：最简公分母为$$x(x+5)$$，两边同乘得$$2(x+5) + 2x + 3x = x(x+5)$$；第五步，整理求解：展开左边得$$2x + 10 + 5x = 7x + 10$$，右边得$$x^2 + 5x$$，移项化简得$$x^2 - 2x - 10 = 0$$；用公式法求解：$$a=1$$，$$b=-2$$，$$c=-10$$，$$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-10) = 44$$，解得$$x = \frac{2 \pm \sqrt{44}}{2} = 1 \pm \sqrt{11}$$；第六步，检验：工作时间不能为负数，舍去$$x = 1 - \sqrt{11}$$（负数），$$x = 1 + \sqrt{11} \approx 4.32$$（符合实际意义）；结论：x的值为$$1 + \sqrt{11}$$（或约4.32）。总结：可化为一元二次方程的分式方程重点考查“去分母化整式方程”和“检验增根”，核心是找准最简公分母，去分母时注意每一项都要乘最简公分母，避免漏乘；求解后必须检验，排除使分母为0的增根；实际应用中，还需检验结果是否符合实际场景（时间、工作量为正），确保解题严谨。知识体系
一元二次方程
解法
根的判别式
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
根与系数的关系
应用
回顾与思考
考点1
一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫作一元二次方程.
ax2 + bx + c = 0（a，b，c 为常数，a ≠ 0）
一般形式：
举一反三训练
1. 方程 (2x + 1)(x – 3) = x2 + 1 化成一般形式为_______________，二次项系数、一次项系数和常数项分别是____________.
x2 – 5x – 4 = 0
1，– 5，– 4
举一反三训练
2. 已知 2 是关于 x 的一元二次方程 kx2 + (k2 – 2)x + 2k + 4 = 0 的一个根，则 k 的值为_____.
– 3
考点2
一元二次方程的解法
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
把方程化为 (x + n)2 = p 的形式
(mx + n)2 = p (m ≠ 0，p ≥ 0)
适用于一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程
提公因式法
公式法
十字相乘法
思 考
解一元二次方程的方法中，哪些体现了化归的思想方法？
“化归方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法.
配方法：将一元二次方程配成完全平方式，转化成可直接开平方求解的方程.
因式分解法：将一元二次方程因式分解，转化成两个一元一次方程.
考点4
一元二次方程的应用
步骤：
审、找、列、解、验、答
几种常见类型
面积问题
数字问题
变化率问题
循环问题
商品利润问题
可化为一元二次方程的分式方程
1. 解下列方程：
A组
【教材P47复习题A组 T1】
（1）x2 = 64；（2）x2 = 8；
（3）(3x + 2)2 = 4(x – 3)2；（4）
（5）(2x + 1)2 = 2x + 1.
所以原方程的根是 x1 = 8，x2 = – 8.
解：（1）开平方，得
所以原方程的根是
（2）开平方，得
A组
【教材P47复习题A组 T1】
（3）(3x + 2)2 = 4(x – 3)2；（4）
（3）移项，得
(3x + 2)2 – 4(x – 3)2 = 0.
把方程左边分解因式，整理，得
(x + 8)(5x – 4) = 0.
因此，有 x + 8 = 0 或 5x – 4 = 0.
所以原方程的根是
（4）把方程左边分解因式，得
因此，有 y = 0 或
所以原方程的根是
A组
【教材P47复习题A组 T1】
（5）(2x + 1)2 = 2x + 1.
（5）移项，得
(2x + 1)2 – (2x + 1)2 = 0.
把方程左边分解因式，整理，得
2x(2x + 1) = 0.
因此，有 2x = 0 或 2x + 1 = 0.
所以原方程的根是
A组
【教材P47复习题A组 T2】
2. 用配方法解下列方程：
（1）x2 – x – 1 = 0；（2）3x2 = – 1 – 5x；
（3）5y – 84 + y2 = 0；（4）
解：（1）移项，得 x2 – x = 1
配方，得
则
开平方，得
所以原方程的根是
A组
【教材P47复习题A组 T2】
（2）移项，二次项系数化为 1，得
配方，得
则
开平方，得
所以原方程的根是
2. 用配方法解下列方程：
（1）x2 – x – 1 = 0；（2）3x2 = – 1 – 5x；
A组
【教材P47复习题A组 T2】
（3）5y – 84 + y2 = 0；（4）
（3）移项，得 y2 + 5y = 84
配方，得
则
开平方，得
所以原方程的根是
A组
【教材P47复习题A组 T2】
（3）5y – 84 + y2 = 0；（4）
（4）二次项系数化为 1，得
配方，得
则
开平方，得
所以原方程的根是
【教材P47复习题A组 T3】
A组
3. 用公式法解下列方程：
（1） ；（2）9x2 + 4 = 12x；
（3）(2x – 1)2 – 5 = x(x – 5)2 ；（4）
解：（1）将方程化为一般形式，得
∵ a = 1，b = ，c = 2，
∴ b2 – 4ac = – 4×1×2 = 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
【教材P47复习题A组 T3】
A组
3. 用公式法解下列方程：
（1） ；（2）9x2 + 4 = 12x；
（2）将方程化为一般形式，得 9x2 – 12x + 4 = 0
∵ a = 9，b = – 12，c = 4，
∴ b2 – 4ac = (– 12)2 – 4×9×4 = 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
【教材P47复习题A组 T3】
A组
（3）(2x – 1)2 – 5 = x(x – 5)；（4）
（3）将方程化为一般形式，得 3x2 + x – 4 = 0
∵ a = 3，b = 1，c = – 4，
∴ b2 – 4ac = 12 – 4×3×(– 4) = 49 > 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
【教材P47复习题A组 T3】
A组
（3）(2x – 1)2 – 5 = x(x – 5)；（4）
（4）将方程化为一般形式，得 y2 – 2y + 1 = 0
∵ a = 1，b = – 2，c = 1，
∴ b2 – 4ac = (– 2)2 – 4×1×1 = 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
【教材P47复习题A组 T4】
A组
4. 用适当的方法解下列方程：
（1） x2 + 6x – 5 = 0；（2）(x + 3)(x – 3) = 2；
（3） ；（4）3x(x – 1) = 2 – 2x.
解：（1）移项，得 x2 + 6x = 5
配方，得
则
开平方，得
所以原方程的根是
【教材P47复习题A组 T4】
A组
4. 用适当的方法解下列方程：
（1） x2 + 6x – 5 = 0；（2）(x + 3)(x – 3) = 2；
（2）将方程化为一般形式，得 x2 – 11 = 0
移项，得 x2 = 11
开平方，得
所以原方程的根是
【教材P47复习题A组 T4】
A组
（3） ；（4）3x(x – 1) = 2 – 2x.
（3）将方程化为一般形式，得
把方程左边分解因式，得
开平方，得
所以原方程的根是
【教材P47复习题A组 T4】
A组
（3） ；（4）3x(x – 1) = 2 – 2x.
（4）将方程化为一般形式，得 3x2 – x – 2 = 0
∵ a = 3，b = – 1，c = – 2，
∴ b2 – 4ac = (– 1)2 – 4×3×(– 2) = 25 > 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
【教材P47复习题A组 T5】
A组
5. 已知关于 x 的方程 2x2 – 5x + k = 0 有两个根，其中一个根是 1.
（1）求 k 的值；
（2）解这个方程.
解：（1）将 x = 1 代入原方程，得
2 – 5 + k = 0
（2）设另一个根为 x2 ，由根与系数的关系，得
解得 k = 3.
解得
所以原方程的根是
【教材P48复习题A组 T6】
A组
6. 已知实数 m，n (m ≠ n) 满足条件 m2 – 7m + 2 = 0，n2 – 7n + 2 = 0，求 的值.
解：由题意，m，n 分别是方程 x2 – 7x + 2 = 0 的两个根，根据根与系数的关系，得
m + n = 7，mn = 2.
7. 有一块长 25 cm、宽 15 cm 的长方形硬纸板. 如果在纸板的四个角上各截去一个相同大小的小正方形，然后折成一个底面积为 231 cm2 的无盖长方体盒子，求截去的小正方形的边长.
【教材P48复习题A组 T7】
A组
解：设截去的小正方形的边长是 x cm，根据题意，得
(25 – 2x)(15 – 2x) = 231
整理得 x2 – 20x + 36 = 0
解得 x1 = 18，x2 = 2.
x1 = 18 不合题意，所以 x = 2．
答：截去的小正方形的边长为 2 cm．
8. 某商厦 10 月份的营业额是 50 万元，第四季度的营业额是 182 万元. 第四季度后两个月营业额的月平均增长率是多少？
【教材P48复习题A组 T8】
A组
解：设第四季度后两个月营业额的月平均增长率为 x，
根据题意，得 50(1 + x)2 + 50(1 + x) + 50 = 182
整理得 50x2 + 150x – 32 = 0
解得 x1 = 0.2 = 20%，x2 = – 3.2
答：第四季度后两个月营业额的月平均增长率是 20%.
x2 = – 3.2 不合题意，所以 x = 20%.
1. 已知 y = x2 – 2x – 3.
【教材P48复习题B组 T1】
B组
（1）x 是什么数时， y = 0？
（2）x 是什么数时， y = – 4？
解：（1）令 x2 – 2x – 3 = 0，解得 x1 = 3，x2 = – 1，
∴当 x = 3 或 – 1 时，y = 0.
（2）令 x2 – 2x – 3 = – 4，解得 x1 = x2 = 1，
∴当 x = 1 时，y = – 4．
2. 有三个连续奇数，它们的平方和等于 251，求这三个数.
【教材P48复习题B组 T2】
B组
解：设这三个奇数依次为 n – 2，n，n + 2（其中 n 为奇数），根据题意，得 (n – 2)2 + n2 + (n + 2)2 = 251，
解得 n1 = 9，n2 = – 9．
当 n = 9 时，n – 2 = 7，n + 2 = 11；
当 n = – 9 时，n – 2 = – 11，n + 2= – 7．
答：这三个连续奇数为 7、9、11 或 – 11、 – 9、 – 7．
3. 已知：关于 x 的一元二次方程 (b – c)x2 + (c – a)x + (a – b) = 0 有两个相等的实数根.
求证：2b = a + c.
【教材P48复习题B组 T3】
B组
证明：由题意，b – c ≠ 0，Δ = (c – a)2 – 4(b – c)(a – b) = 0，
整理，得 c2 + 2ac + a2 – 4ab – 4bc + 4b2 = 0．
∴ (a + c)2 – 4b(a + c) + 4b2 = 0，
∴ (a + c – 2b)2 = 0，
∴ 2b = a + c．
【教材P48复习题B组 T4】
B组
4. 要建一个面积为 150 m2 的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一道墙，另三边用铁丝网围成，如果铁丝网的长为 35 m．
（1）若墙足够长，则养鸡场的长与宽各为多少？
（2）若给定墙长为 a m，则墙长对养鸡场的长、宽是否有影响？
解：（1）设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为 (35 – 2x) m，根据题意，得 x(35 – 2x) = 150，
解得 x1 = 7.5，x2 = 10．
∴ 35 – 2x1 = 20，35 – 2x2 = 15．
答：长为 20 m，宽为 7.5 m；或长为 15 m，宽为 10 m．
【教材P48复习题B组 T4】
B组
（2）当 a < 15 时，题目无解；
当 15 ≤ a < 20 时，题目只有一个解；
当 a ≥ 20 时，题目有两个解．
【教材P48复习题B组 T5】
B组
5. 如图，OA = OB = 50 cm，OC 是一条射线，OC⊥AB 于点 O，一小虫由点 A 以 2 cm/s 的速度沿线段 AB 爬行，同时另一小虫由点 O 以 3 cm/s 的速度沿 OC 爬行，则在几秒时，两小虫所在位置与点 O 组成的三角形的面积等于 450 cm2？
解：设两小虫爬行的时间为 t s．
【教材P48复习题B组 T5】
B组
答：在 10 s 或 15 s 或 25 s 时，两小虫所在位置与点 O 组成的三角形的面积等于 450 cm2．
①当 0 ≤ t < 25 时，令
解得 t1 = 10，t2 = 15；
② 当 25 < t < 50 时，令
解得 t1 = 30，t2 = – 5（不合题意，舍去）.
【教材P48复习题B组 T6】
B组
6. 某家快递公司今年 1 月与 3 月完成投递的快件总分别为 10 万件和 14.4万件，现假定该公司每月投递的快件总数的增长率相同.
（1）求该快递公司投递快件总数的月平均增长率；
（2）该公司现有 21 名快件投递业务员，如果该公司平均每名快件投递业务员每月最多可投递快件 0.6 万件，那么他们能否完成今年 4 月的快件投递任务？如果不能，至少需要增加几名投递业务员？
解：（1）设该快递公司投递快件总数的月平均增长率为 x.
根据题意，得 10(1 + x)2 = 14.4
解方程，得 x1 = 0.2 = 20%，x2 = – 2.2.
x2 = – 2.2 不合题意，所以 x = 20%.
答：该快递公司投递快件总数的月平均增长率为 20%.
【教材P48复习题B组 T6】
B组
（2）该快递公司 4 月投递快件总数为
14.4×(1 + 20%) = 17.28 (万件)
21 名业务员最多可投递快件
21×0.6 = 12.6 (万件)
12.6 < 17.28
所以 21 名业务员不能完成今年 4 月的快件投递业务.
17.28÷0.6 – 21 = 7.8 (人)
所以至少需要增加 8 名投递业务员.
【教材P48复习题B组 T6】
B组
【教材P49复习题B组 T7】
B组
7. 一小艇顺流航行 24 km 到达目的地，然后逆流回到出发地，航行时间共 6 h. 已知水流速度是 3 km/h，求小艇在静水中的速度.
解：设小艇在静水中的速度是 x km/h，根据题意，得
方程两边同乘以(x + 3)(x – 3)，整理，得 x2 – 8x – 9 = 0，
解方程，得 x1 = 9，x2 = – 1.
经检验， x1 = 9，x2 = – 1 都是原方程的根，但 x2 = – 1 不合题意，所以 x = 9 ．
答：小艇在静水中的速度是 9 km/h．
【教材P49复习题B组 T7】
B组
【教材P49复习题B组 T8】
B组
8. 某商店以 2400 元购进一种茶叶，第一个月每盒按进价增加 20% 作为售价，售出 50 盒. 第二个月每盒以低于进价 5 元作为售价，售完余下的茶叶. 全部售完后共盈利 350 元，求每盒茶叶的进价.
【教材P49复习题B组 T8】
B组
解：设每盒茶叶的进价为 x 元，根据题意，得
解得 x1 = 40，x2 = – 30.
经检验， x1 = 40，x2 = – 30 都是原方程的解，但 x2 = – 30 不符合题意，所以 x = 40．
答：每盒茶叶的进价为 40 元．
【教材P49复习题C组 T1】
C组
1. 已知关于 x 的方程 有两个不相等的实数根 x1，x2.
（1）求 k 的取值范围；
（2）当 k 取最大整数时，请写出一个以 2x1，2x2 为根的一元二次方程.
解：（1）根据题意，得，
整理，得，8 – 4k > 0.
即 k < 2.
（2）当 k 取最大整数时，k = 1.
此时方程为
所以
即
如 x2 – 2x – 3 = 0
(答案不唯一)
【教材P49复习题C组 T2】
C组
2. 在一次象棋比赛中，实行单循环赛制（即每个选手都与其他选手比赛一局），每局赢者记 2 分，输者记 0 分，如果平局，两个选手各记 1 分. 今有 4 个同学统计了比赛中全部选手的得分总和，结果分别为 2005 分、2004 分、2070 分、2008 分，经核实确定只有一位同学统计正确，试计算这次比赛中共有多少名选手参赛.
解：设这次比赛的选手共有 x 名，则每局比赛两名选手得分总和均为 2 分，且共比赛了 x(x – 1) 局，得分总数为 2× x(x – 1) = x(x – 1)．
【教材P49复习题C组 T2】
C组
∵ x 是大于 1 的正整数，∴ x，x – 1 是连续的正整数.
∴ x(x – 1) 的值的末位数字只能是 0，2，6，即得分总数只能是 2070．
∴ x(x – 1) = 2070.
解得 x1 = 46，x2 = – 45（舍去）. ∴ x = 46．
答：这次比赛中共有 46 名选手参赛．
【教材P49复习题C组 T3】
C组
3. 一商店用 1800 元购进玩具若干个，其中有 2 个损坏无法出售，剩余的每个以比进价多 5 元的价格出售. 若剩余的玩具全部卖完，则商店共赚 400 元. 这批玩具每个进价是多少元？共买进了多少个玩具？
【教材P49复习题C组 T3】
C组
解：设每个玩具的进价是 x 元，根据题意，得
解得 x1 = 20，x2 = – 225．
经检验， x1 = 20，x2 = – 225 都是原方程的解，但 x2 = – 225 不合题意，所以 x = 20．
1800÷ 20 = 90（个）
答：这批玩具每个的进价是 20 元，共买进了 90 个玩具.

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