资源简介

吉林省重点高中2026届高三下学期热点核心考点强化专练
数学·试卷
分值：150分 时间：120分钟
注意事项
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数z满足（i是虚数单位），则z的虚部是( )
A. B. C.1 D.
3.已知，，，则的最小值是( )
A.0 B. C. D.1
4.已知a为单位向量，，，则( )
A. B. C. D.
5.在各项为正的递增等比数列中，，，则( )
A． B． C． D．
6.已知函数，，的最大值与最小值的差为2，其图象与y轴的交点坐标为，且其图象的两个相邻的对称中心间的距离为2，则( )
A.1 B.2 C.3 D.
7.已知双曲线，的左、右焦点分别为，，A为C的左支上一点，与C的一条渐近线平行，若，则C的离心率为( )
A.2 B. C.3 D.
8.已知函数在区间内有唯一零点，则m不可能的取值为( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知，，，…，的平均数和方差分别是8和1.5，设一组数据0，，，，…，，20的平均数和方差分别是和，另一组数据，，…，的平均数和方差分别是和，则下列说法正确的是( )
A. B.
C.若，则 D.若且，则
10.已知圆锥（O是圆锥底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为4，底面半径为3.若P，Q为底面圆周上的任意两点，则下列说法正确的是( )
A.圆锥SO的侧面积为
B.面积的最大值为
C.三棱锥体积的最大值为
D.圆锥SO的内切球的表面积为
11.已知m，n为正实数，函数，且满足，则下列结论正确的是( )
A.的最小值为
B.的极大值不小于3
C.若，则
D.存在，使得成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.二项式的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值，则a的值为______.
13.已知，为锐角，，，则__________.
14.已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点（A位于第一象限），且，则直线的斜率为____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）证明：；
（2）若，，求的面积.
16.（15分）如图①，在梯形中，，O为的中点，，，将沿翻折，得到图②所示的四棱锥，且.
（1）若E为的中点，证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小.
17.（15分）为测试A，B两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试，每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下：
试题类别 A软件 B软件
测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量
函数试题 30 24 20 18
几何试题 20 16 30 20
（1）估计B软件能正确解答数学问题的概率.
（2）小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相同），其中函数试题2道，几何试题1道；使用A软件解答2道函数试题，使用B软件解答1道几何试题；每道试题只用其中一款软件解答一次.假设用频率估计概率，且每次解答相互独立.用X表示这3道试题被正确解答的个数，求X的分布列与数学期望.
（3）小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从之前的情况来看，该题是函数试题的概率为，是几何试题的概率为.假设用频率估计概率，试说明小明应该用哪款软件来解答这道试题.
18.（17分）在平面直角坐标系中，椭圆，直线与交于A，B两点.
（1）若，的右焦点为F，且轴，当取得最大值时，求的离心率.
（2）若，的中点为C，直线的斜率为，经过点.
（i）求的方程；
（ii）已知点D是上的动点，且满足，证明：的面积为定值，并求出该值.
19.（17分）对于函数，若存在实数，使，其中，则称为“可移倒数函数”，为的“可移倒数点”.已知，.
（1）若m为的“可移倒数点”，求m的值.
（2）设，若为的“可移倒数点”，求函数的单调区间.
（3）设若函数恰有3个“可移1倒数点”，求a的取值范围.
数学 参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分
答案 B A A C B C C D AC ACD BD
1.答案：B
解析：由题意得，，又，所以，故选B.
2.答案：A
解析：因为，所以，故z的虚部是.故选A.
3.答案：A
解析：由题意知，则，由，，知，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值是0.故选A.
4.答案：C
解析：由，得，因为a为单位向量，，
所以，得，
故，
所以.故选C.
5.答案：B
解析：因为为等比数列，设其公比为q，所以，则，又，则，即，解得或，又因为各项为正且递增，所以，则.故选B.
6.答案：C
解析：因为，所以，解得，又（T为的最小正周期），即，解得，所以，又，即，而，所以，故，.故选C.
7.答案：C
解析：由对称性，不妨取双曲线的渐近线，设C的半焦距为c，依题意，知，则，而，则，，解得，所以C的离心率为.故选C.
8.答案：D
解析：令，得.令，，得，令，，得恒成立，所以函数在区间上单调递增，所以，所以，则函数在区间上单调递增，所以，即，因为函数在区间内有唯一零点，所以m的取值范围为，由于，故选D.
9.答案：AC
解析：A（√）由题意得，，
所以，，从而.
B（×）将0和20作为一组，其平均数和方差分别为，，故，
.
C（√）若，则，得.
D（×）当时，由，得，解得.故选AC.
10.答案：ACD
解析：A选项，底面半径为3，则底面圆周长为，又母线长为4，则侧面积为，故A正确；
B选项，由母线长为4，底面半径为3，可得圆锥的高.设BC是底面圆的一条直径，如图①，则在中，，则是钝角，又，则存在点P，Q，当时，，面积的最大值为8，故B错误；
C选项，，由圆锥的几何特征知三棱锥的高在圆锥底面上，当，即OQ为三棱锥的高时，，故C正确；
D选项，设内切球球心为，则在线段SO上，半径为r，过作，如图②，则，，，则，则，即，解得，∴内切球表面积为，D正确.故选ACD.
11.答案：BD
解析：当时，，又函数在上单调递增，所以由，可得.
A（×），当时等号成立，故的最小值为2.
B（√）由于函数在上单调递增，所以当时，无极值，当时，，所以当时，取得极大值，又，当时等号成立，故的极大值不小于3.
C（×），则，
即，得或.
D（√）若存在，使得成立，则关于的方程在上有解，设，则，则关于t的方程在上有解，设，由于，所以结合二次函数的图象可得有一个解小于，所以存在，使得.故选BD.
12.答案：2
解析：因为的展开式的通项公式为，令，即时，x的系数为，而二项式系数最大值为，所以，即.
13.答案：
解析：法一：由题可得，，因为，所以，故，，
又，所以，，故.
所以.
法二：由题可得，，所以，所以.
因为，所以，故.
因为，所以，
所以
，所以，
故，所以.
14.答案：1
解析：由题知，，直线的斜率存在且不为0，所以可设直线的方程为，与抛物线C的方程联立，得整理得关于x的方程，则.设，，，所以，即.因为，所以由抛物线的定义得，则，整理得，解得或（舍去），所以，故直线的斜率为.
15.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为，
所以，即，………………………………………………………2分
则，所以，
故，
化简得，………………………………………………………………………5分
所以或，
又，所以.…………………………………………………………………7分
（2）由（1）知，又，，所以，
由余弦定理得，…………………………………10分
因为，所以，
所以的面积.…………………………………13分
16.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）在梯形中，O为的中点，，
所以，，
将沿翻折后，得到四棱锥，所以，
又E为的中点，所以.……………………………………………………………2分
因为，，且，，平面，
所以平面.……………………………………………………………………………4分
因为平面，所以，
又，所以，
又，且，，平面，
所以平面.……………………………………………………………………………7分
（2）由题意知，，，所以，，两两垂直.
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意得，，，，
所以，，，，…………………9分
设平面的法向量为，
由可得令，则，，
所以平面的一个法向量为.………………………………………………11分
设平面的法向量为，
由可得令，则，，
所以平面的一个法向量为.……………………………………………13分
设平面与平面的夹角为，所以，
又，所以，
所以平面与平面的夹角大小为.…………………………………………………15分
17.答案：（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
（3）B软件
解析：（1）记B软件能正确解答数学问题为事件B，
结合题中数据以及古典概型的概率公式可得.…………………………3分
（2）法一：使用A软件解答函数试题正确的概率为，
使用B软件解答几何试题正确的概率为.
所以X的所有可能取值为0，1，2，3，……………………………………………………4分
，
，
，
.………………………………………………………………………7分
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
其期望为.………………………………………10分
法二：函数试题用A软件解答，几何试题用B软件解答.
用，分别表示这2道函数试题与1道几何试题被正确解答的个数，
因为，，所以有如下分布列：
0 1 2
P
0 1
P
则的所有可能取值为0，1，2，3，……………………………………………4分
且，，
，，…………………………………7分
则其分布列为
X 0 1 2 3
P
由二项分布的期望公式可得，，
因为，相互独立，
所以.……………………………………10分
（3）小明应该使用B软件来解答这道试题.
记“A软件能正确解答这道试题”为事件E，“B软件能正确解答这道试题”为事件F，“该试题为几何试题”为事件G，
则，，，，，，
……………………………………………………………………………………………………12分
由全概率公式可得，
.…………………………………14分
因为，所以B软件能够正确解答这道试题的概率更大，
故小明应该使用B软件来解答这道试题.……………………………………………………15分
18.答案：（1）
（2）（i）
（ii）
解析：（1）不妨设，A在x轴上方，
由题意得，，，则，，
所以.………………………………………………………………………………2分
设直线，的倾斜角分别为，，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以当取得最大值时，，即.……………………………………4分
又，所以，所以，
即，解得或（舍），
所以当取得最大值时，的离心率为.……………………………………6分
（2）（i）因为经过点，所以，所以，
设，，，，
因为点A，B在上，所以
由得，………………………………………8分
因为，所以，
所以，所以，解得.
所以的方程为.…………………………………………………………………10分
（ii）由，得，
则，
，，
.………………………………………………………………12分
设，由，得，
所以，，
因为点D在上，所以，……………………………………14分
得，即，
得，则，此时.
点D到直线的距离，
所以的面积
，
所以的面积为定值，且该定值为.……………………………………………17分
19.答案：（1）
（2）单调递增区间为，，单调递减区间为
（3）
解析：（1）由题意知，则，即，
所以，故.……………………………………………………………………3分
（2）由为的“可移倒数点”，得，
即，
整理得，即，
又，可得，…………………………………………………………………………5分
所以，其定义域为R，
求导得，
则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.………………………………………………8分
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.……………9分
（3）依题意得
由恰有3个“可移1倒数点”，得关于x的方程恰有3个不相等的实数根.…………………………………………………………………………………………………10分
①当时，，方程可化为，解得，
这与不符，因此在上没有实数根.……………………………11分
②当时，，方程可化为，即.
设，则，
当时，，所以在上单调递增，
又，，所以当时，，
所以当时，方程在内恰有一个实数根，
当时，方程在内没有实数根.……………………14分
③当时，，没有意义，所以不是的实数根.
④当时，，方程可化为，
即，则要满足题意，需使此关于x的二次方程在内恰有两个不相等的实数根，………………………………………………………………………………16分
则有解得.
综上，a的取值范围为.…………………………………………17分
热点核心卷·数学试卷·第4页（共4页）

展开更多......

收起↑