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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1.1.2三角形的外角第一章三角形的证明及其应用北师大版数学八年级下册1.1.2三角形的外角练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕三角形的外角（三角形的一边与另一边的延长线组成的角）设计，侧重外角的定义、性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）及基础应用，贴合本节课重难点，帮助巩固知识、规避常见错误，总字数控制在800字左右。一、基础选择题（每题4分，共20分）1.下列关于三角形外角的定义，说法正确的是（）A.三角形的内角的邻补角是三角形的外角B.三角形的一边与另一边的延长线组成的角是外角C.三角形的任意一个角的补角都是外角D.三角形的外角一定是钝角2.三角形的一个外角等于（）A.与它相邻的内角B.与它不相邻的一个内角C.与它不相邻的两个内角的和D.三个内角的和3.在△ABC中，∠A=35°，∠B=55°，则与∠C相邻的外角的度数为（）A. 80°B. 90°C. 100°D. 110°4.下列说法正确的是（）A.三角形的外角一定大于它的内角B.三角形的一个内角一定小于与它不相邻的外角C.三角形的外角和为180°D.直角三角形的一个外角一定是锐角5.若一个三角形的一个外角为120°，且与它相邻的内角为x，则x的度数为（）A. 60°B. 120°C. 60°或120°D.无法确定二、填空题（每题4分，共20分）1.三角形的外角的定义：三角形的一边与另一边的________组成的角，叫做三角形的外角。2.三角形的一个外角等于与它________的两个内角的和。3.在Rt△ABC中，一个锐角为40°，则与这个锐角相邻的外角的度数为________°。4.在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则△ABC的三个外角的度数分别为________°、________°、________°。5.三角形的一个外角大于与它________的任何一个内角。三、解答题（每题15分，共30分）1.运用三角形外角的性质，求下列各角的度数（写出完整步骤）。（1）在△ABC中，∠A=40°，∠B=65°，求与∠C相邻的外角的度数；（2）在△ABC中，一个外角为110°，与它不相邻的一个内角为35°，求另一个不相邻的内角的度数。2.辨析题：判断下列说法或解题过程是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因（结合三角形外角的性质）。（1）三角形的一个外角为100°，则与它相邻的内角为100°；（2）在△ABC中，∠A=25°，∠B=55°，求与∠C相邻的外角的度数。解：外角=180°-25°-55°=100°，所以该外角为100°。四、拓展题（30分）已知在△ABC中，∠A的外角为120°，∠B比∠C大10°，求△ABC三个内角的度数，并判断△ABC的形状。（要求写出完整步骤，结合三角形内角和定理与外角性质说明理由）参考答案提示一、1.B 2.C 3.B 4.B 5.A；二、1.延长线2.不相邻3.130 4.110，120，130 5.不相邻；三、1.（1）105°；（2）75°；2.（1）不正确，相邻内角为80°（外角与相邻内角互补）；（2）不正确，应利用外角性质，外角=25°+55°=80°；四、∠A=60°，∠B=70°，∠C=50°，△ABC为锐角三角形。
学习目标
1.了解并掌握三角形的外角的定义。
2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算。
进行新课
在证明三角形内角和定理时，我们把△ABC的一边BC延长得到了∠ACD。
A
B
C
E
D
思考：像∠ACD这样的角有什么特征？猜想它的性质。这节课让我们一起来探讨吧。
知识点1
三角形的外角
△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作△ABC的外角。
1
∠1是△ABC的一个外角。
A
C
B
D
问题1：如图，延长AB到E，∠CBE是不是△ABC的一个外角？
∠DBE是不是△ABC的一个外角？
∠CBE是△ABC的一个外角
∠DBE不是△ABC的一个外角
A
C
B
D
E
问题2：画出△ABC的所有外角，共有几个？
A
C
B
D
E
每一个三角形都有6个外角。
1
2
3
4
5
6
每一个顶点相对应的外角都有2个。
问题3：△ABC的6个外角有什么关系？（位置关系和数量关系）
∠1和∠2是对顶角，∠1=∠2；
∠3和∠4是对顶角，∠3=∠4；
∠5和∠6是对顶角，∠5=∠6。
练一练
A
B
C
E
D
F
如图，∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角；
∠AEC是△BEC和△BEF的外角；
∠EFD是△BEF和△DCF的外角。
思考·交流
如图，∠1与△ABC的内角有什么关系？请证明你的结论，并与同伴进行交流。
1
A
C
B
D
知识点2
三角形内角和定理的推论
4
3
2
思考1：∠1与∠4有什么关系？
∠1与∠4互补
思考2：∠1与∠2、∠3有什么关系？
外角
相邻的内角
不相邻的内角
猜测：∠2+∠3=∠1。
你能证明这个猜测吗？
1
A
C
B
D
4
3
2
已知：如图，△ABC。求证：∠1=∠2+∠3。
证明：在△ABC中，
∠2+∠3+∠4=180°（三角形内角和定理），
∴∠2+∠3=180°-∠4。
∵∠4+∠1=180°，
∴∠1=180°-∠4。
∴∠1=∠2+∠3。
由三角形内角和定理，可以得到
推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
1
A
C
B
D
4
3
2
几何语言：
在△ABC中，
∵∠ABD是△ABC的一个外角，
∴∠ABD=∠A+∠C。
三角形的外角几何画板
像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫作这个基本事实或定理的推论。
思考3：∠1与∠2、∠3的大小有什么关系？
1
A
C
B
D
4
3
2
∵∠1=∠2+∠3，
∴∠1＞∠2，∠1＞∠3。
推论 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。
求证：AD // BC。
B
A
E
D
C
只要具备什么条件，就能说明AD // BC？
同位角相等
分析：
内错角相等
同旁内角互补
例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。
求证：AD // BC。
B
A
E
D
C
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∠B=∠C，
∴∠C= ∠EAC。
∵AD平分∠EAC，
∴∠DAC= ∠EAC。
∴∠DAC=∠C。
∴AD // BC。
还有其他证法吗？
例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。
求证：AD // BC。
B
A
E
D
C
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∠B=∠C，
∴∠B= ∠EAC。
∵AD平分∠EAC，
∴∠DAE= ∠EAC。
∴∠DAE=∠B。
∴AD // BC。
例3 已知：如图，P是△ABC 内一点，连接PB，PC。
求证：∠BPC >∠A。
分析：
你学过哪些关于角的不等关系的定理？这里能直接使用吗？
你遇到的困难是什么？
你能通过添加辅助线，构造出直接使用相关定理的图形吗？
例3 已知：如图，P是△ABC 内一点，连接PB，PC。
求证：∠BPC >∠A。
D
证明：如图，延长BP，交AC于点D。
∵∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义），
∴ ∠BPC＞∠PDC（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）。
∵∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义），
∴∠PDC＞∠A（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）。
∴∠BPC＞∠A。
还有其他证法吗？
角度模型
飞镖型：
∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
8字型：
∠A+∠B=∠C+∠D
随堂练习
1.如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=120°，则∠DAC的度数为_______。
100°
设∠1=α，
∴∠2=∠1=α。
又∠1+∠2=∠4，
∴∠4=2α，
∴∠3=2α。
∵∠2+∠3=180°-∠BAC=60°，
∴α+2α=60°，
∴α=20°。
∴∠DAC=∠BAC-∠1=120°-20°=100°。
【教材P6 随堂练习 第1题】
2.如图，在△ABC 中，∠A=45°， 外角∠DCA=100°，求∠B和∠ACB的度数。
A
B
C
D
解：∵ ∠DCA是△ABC的 一个外角，
∠DCA=100°，∠A=45°，
∴ ∠B=100°-45°=55°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)。
∵∠DCA+∠ACB=180°，
∴ ∠ACB=80°。
【教材P6 随堂练习 第2题】
3.如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，那么∠1，∠2，∠3的和是多少度？
A
B
C
3
2
1
解：∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，
∴ ∠1= ∠ABC+ ∠ACB，
∠2= ∠BAC+ ∠ACB，
∠3= ∠ABC+ ∠BAC。
∵∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB=180°，
∴ ∠1+∠2+∠3=2（∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB）=360°。
（第1题）
1. 如图，是的外角 的
平分线，若 , ,
则 等于( )
B
A. B. C. D.
（第2题）
2. [2025福建] 某数学兴趣小组为探究平
行线的有关性质，用一副三角尺按如图
所示的方式摆放，其中点，，， 在
同一条直线上， ,
, .当 时，
的大小为( )
B
A. B. C. D.
（第3题）
3. 如图，已知 ，
是它的一个外角，为边 上一点，
在边的延长线上，连接 ，则下列
结论中不一定正确的是( )
D
A. B. C. D.
4.如图，和是的两个外角，若 ，
则 的度数为______.
（第4题）
5.如图，在中，平分，， 分别平分
的外角，，若 ，则 的
度数是____.
（第5题）
课堂小结
三角形的外角
推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
推论 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
A
B
C
3
2
1
三角形的外角和等于360°。

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