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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1.2.1等腰三角形的性质第一章三角形的证明及其应用北师大版数学八年级下册1.2.1等腰三角形的性质练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）设计，侧重性质的理解、辨析及基础应用，结合三角形内角和定理灵活解题，贴合本节课重难点，帮助巩固知识、规避常见错误，总字数控制在800字左右。一、基础选择题（每题4分，共20分）1.等腰三角形的核心性质“等边对等角”是指（）A.等腰三角形的两个底角相等B.等腰三角形的两个顶角相等C.等腰三角形的腰与底边相等D.等腰三角形的腰与底角相等2.下列关于等腰三角形“三线合一”的说法，正确的是（）A.顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合B.顶角平分线、腰上的中线、腰上的高互相重合C.底角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合D.任意三角形都具有“三线合一”的性质3.在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B的度数为（）A. 50°B. 65°C. 80°D. 130°4.等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角为（）A. 40°B. 70°C. 110°D. 140°5.下列说法错误的是（）A.等腰三角形是轴对称图形B.等腰三角形的底角一定是锐角C.等腰三角形的顶角可以是钝角D.等腰三角形的腰一定比底边短二、填空题（每题4分，共20分）1.等腰三角形的定义：有两条________相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边。2.等腰三角形的两个________相等（简称“等边对等角”）。3.在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，则BD=________，∠BAD=________（体现“三线合一”）。4.若等腰三角形的一个内角为100°，则这个角是________（填“顶角”或“底角”），它的底角为________°。5.等腰三角形的对称轴是________所在的直线。三、解答题（每题15分，共30分）1.运用等腰三角形的性质，求下列三角形中未知角的度数（写出完整步骤）。（1）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=70°，求∠B和∠C的度数；（2）在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=40°，求∠A的度数。2.辨析题：判断下列说法或解题过程是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因（结合等腰三角形的性质）。（1）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=60°，则∠B=∠C=60°，正确；（2）在等腰△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，若∠BAD=30°，则∠BAC=30°，∠B=60°。四、拓展题（30分）已知在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠BAD=25°，求△ABC三个内角的度数，并说明理由（要求写出完整步骤，结合等腰三角形“三线合一”性质和三角形内角和定理）。参考答案提示一、1.A 2.A 3.B 4.A 5.D；二、1.边2.底角3.CD，∠CAD 4.顶角，40 5.顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高）；三、1.（1）∠B=∠C=55°；（2）∠A=100°；2.（1）正确；（2）不正确，“三线合一”得∠BAC=2∠BAD=60°，∠B=75°；四、∠BAC=50°，∠B=∠C=65°。1.经历探索、证明等腰三角形和等边三角形性质的过程，进一步发展推理能力。
2.掌握综合推理方法，发展演绎推理能力。
3.应用等腰三角形和等边三角形的性质解决实际问题。
A
B
C
（B）
定理 等腰三角形的两个底角相等。
这一定理可以简述为：等边对等角。
如何证明这个结论？
知识点1
等边对等角
前提是“在同一个三角形中”
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC。
求证：∠B =∠C。
A
B
C
证明：如图，取BC的中点D，连接AD。
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）。
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）。
证法一
还有其他证法吗？
D
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC。
求证：∠B =∠C。
A
B
C
证明：如图，作△ABC顶角∠BAC的角平分线AD。
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS）。
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）。
证法二
D
练一练
如图，直线a // b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且CA=CB。若∠2=74°，则∠1的度数为_______。
3
4
∠2=74°
∠4=∠2=74°
a // b
CA=CB
∠3=∠4=74°
(等边对等角)
∠1=180°－∠3－∠4=32°
32°
思考·交流
知识点2
等腰三角形的“三线合一”
由“等边对等角”定理的证明过程，你发现线段AD还有哪些特征？为什么？与同伴进行交流。
A
B
C
D
猜测：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
A
B
C
D
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，AD是∠BAC的角平分线。
求证：点D是BC的中点，AD⊥BC。
证明：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS）。
∴BD=CD，∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应边相等、对应角相等），
∴点D是BC的中点。
又∵点B，D，C在同一条直线上，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD⊥BC。
定理 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
几何语言：
在△ABC中，AB=AC。
(1)∵∠1=∠2，
∴AD⊥BC，BD=CD。
(2)∵AD⊥BC ，
∴∠1=∠2，BD=CD。
(3)∵BD=CD ，
∴∠1=∠2，AD⊥BC 。
对腰上的高、中线、底角的平分线一般不重合
A
B
C
D
1
2
练一练
如图，在△ABC中，AB=AC。
（1）若AD为BC边上的高，∠BAC=120°，则∠BAD=______；
（2）若AD为∠BAC的平分线，AB=5，BC=8，则AD的长为_____。
60°
3
尝试·交流
知识点3
等边三角形的性质
等边三角形是特殊的等腰三角形，它有哪些特殊的性质呢？请尝试证明你发现的结论，并与同伴进行交流。
A
B
C
A
B
C
如图，△ABC 是等边三角形，那么∠A，∠B， ∠C的大小之间有什么关系呢？
∵△ABC是等边三角形，
∴AB= BC=AC，
∴∠C=∠A=∠B。
由三角形内角和定理可得：
∠A=∠B=∠C= 60°。
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
特别提醒
等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质。
等边三角形每个内角的平分线都与它对边上的高、中线重合。
1. [2025广安期中] 已知是等腰三角形，若 ，
则 的顶角度数是( )
C
A. B.
C. 或 D. 以上都不正确
2. [2025扬州] 在如图的房屋人字梁架中，，点 在
上，下列条件不能说明 的是( )
B
（第2题）
A. B.
C. D. 平分
（第3题）
3. 如图，直线，等边三角形 的两
个顶点，分别落在直线， 上，若
，则 的度数是( )
B
A. B. C. D.
（第4题）
4. 如图，在 中，
，点在上，且 ，则
的度数是( )
B
A. B. C. D.
课堂小结
等腰三角形的性质：
等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
A
B
C
D
1
2
等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
A
B
C

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