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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1.2.2等腰三角形的判定及反证法第一章三角形的证明及其应用北师大版数学八年级下册1.2.2等腰三角形的判定及反证法练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕等腰三角形的判定（等角对等边）和反证法的核心知识点设计，侧重判定定理的应用、反证法的步骤与思路，结合三角形内角和定理，贴合本节课重难点，帮助巩固知识、规避常见错误，总字数控制在800字左右。一、基础选择题（每题4分，共20分）1.等腰三角形的判定定理“等角对等边”是指（）A.等腰三角形的两个底角相等B.有两个角相等的三角形是等腰三角形C.有两条边相等的三角形是等腰三角形D.等腰三角形的腰与底角相等2.下列关于反证法的说法，正确的是（）A.反证法的第一步是直接证明结论成立B.反证法不需要结合已知条件推导C.反证法的核心是假设结论不成立，推出矛盾D.所有证明题都必须用反证法3.在△ABC中，∠A=∠B=60°，则下列说法正确的是（）A.△ABC不是等腰三角形B. AB=AC，△ABC是等腰三角形C.只能用内角和定理判断形状D.无法判断边的关系4.用反证法证明“三角形中最多有一个钝角”时，第一步应假设（）A.三角形中有两个或两个以上钝角B.三角形中没有钝角C.三角形中有一个钝角D.三角形中有直角5.下列条件中，能判定△ABC为等腰三角形的是（）A. ∠A=30°，∠B=40°B. ∠A=50°，∠B=60°C. ∠A=20°，∠B=20°D. ∠A=70°，∠B=50°二、填空题（每题4分，共20分）1.等腰三角形的判定定理：有两个________相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）。2.反证法的一般步骤：假设________不成立，推出与已知条件、定义、定理等矛盾，从而证明原结论成立。3.在△ABC中，∠A=55°，∠C=55°，则AB=________，△ABC是________三角形。4.用反证法证明“等腰三角形的底角是锐角”时，假设________。5.若一个三角形的两个内角分别为70°和40°，则这个三角形是________三角形（填“等腰”或“非等腰”）。三、解答题（每题15分，共30分）1.运用等腰三角形的判定定理，判定下列三角形是否为等腰三角形（写出完整步骤）。（1）在△ABC中，∠A=40°，∠B=100°，判断△ABC是否为等腰三角形；（2）在△ABC中，∠A=∠C-20°，∠B=∠C-40°，判断△ABC是否为等腰三角形。2.用反证法证明：三角形中不能有两个直角（要求写出完整的反证法步骤，结合三角形内角和定理）。四、拓展题（30分）已知在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD⊥BC于点D，用两种方法证明△ABC是等腰三角形（一种用等腰三角形判定定理，一种用反证法，要求写出完整步骤，结合相关知识点说明理由）。参考答案提示一、1.B 2.C 3.B 4.A 5.C；二、1.角2.原结论3.BC，等腰4.等腰三角形的底角是直角或钝角5.等腰；三、1.（1）是，∠C=40°=∠A，故AB=BC；（2）是，解得∠A=60°，∠B=40°，∠C=80°，无等角，修正：解得∠A=50°，∠B=30°，∠C=100°（无等角，非等腰），此处以正确计算为准；2.假设三角形中有两个直角，设∠A=∠B=90°，则∠A+∠B+∠C=180°+∠C>180°，与内角和定理矛盾，故假设不成立，原结论成立；四、方法一（判定定理）：AD平分∠BAC得∠BAD=∠CAD，AD⊥BC得∠ADB=∠ADC，证△ABD≌△ACD，得∠B=∠C，故AB=AC；方法二（反证法）：假设△ABC不是等腰三角形，则AB≠AC，推出∠B≠∠C，与△ABD≌△ACD得出的∠B=∠C矛盾，故假设不成立，△ABC是等腰三角形。
学习目标
1.掌握等腰三角形的判定方法。
2.理解反证法的意义，掌握反证法的书写步骤，运用反证法进行证明。
进行新课
前面已经证明了等腰三角形的两底角相等。反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
A
B
C
已知：在△ABC 中，∠B =∠C。
求证：AB = AC。
要想证明AB=AC，只要能构造全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了。
分析：
知识点1
等腰三角形的判定——等角对等边
A
B
C
已知：在△ABC 中，∠B =∠C。
求证：AB = AC。
D
证法一
证明：如图，过点A作 AD⊥BC 于点 D，
则∠ADB =∠ADC = 90°，
又∵∠B =∠C，AD = AD，
∴△ADB ≌ △ADC（AAS），
∴AB = AC（全等三角形的对应边相等）。
还有其他证法吗？
A
B
C
已知：在△ABC 中，∠B =∠C。
求证：AB = AC。
D
证法二
证明：如图，作∠BAC的平分线AD，则∠BAD=∠CAD。
∵∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS）。
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）。
定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形。
这一定理可以简述为：等角对等边。
前提是“在同一个三角形中”
A
B
C
几何语言：
在△ABC中，
∵∠B=∠C，
∴AB=AC。
等腰三角形的判定：
等腰三角形的判定与性质的异同
相同点：都是在同一个三角形中；
区别：判定是由角的关系得到边的关系，
性质是由边的关系得到角的关系。
即：等边 等角
性质
判定
例1 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E。
求证：△AED是等腰三角形。
证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA，
∴△ABD ≌ △DCA（SSS）。
∴∠ADB = ∠DAC（全等三角形的对应角相等）。
∴AE = DE（等角对等边）。
∴△AED 是等腰三角形。
练一练
如图，AE平分∠BAC，DE // AB，若AD=5，则DE的长是______。
AE平分∠BAC
∠2=∠3
DE // AB
(等角对等边)
∠1=∠2
5
1
2
3
∠1=∠3
DE=AD
尝试·思考
知识点2
反证法
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
小明的思考过程如下。你能理解他的推理过程吗？
A
B
C
如图，在△ABC 中，已知
∠B ≠∠C，此时 AB 与 AC 要么相等，要么不相等。
假设 AB = AC，那么根据定理“等边对等角” 可得∠C =∠B，这与已知条件∠B ≠∠C 相矛盾，因此 AB ≠ AC。
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。
反证法
例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。
已知：△ABC。
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角。
证明：假设∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B 是直角，即∠A = 90°，∠B = 90°。 于是∠A +∠B +∠C = 90°+ 90°+∠C ＞180°。
这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B 是直角”的假设不成立。
所以，一个三角形中不能有两个角是直角。
用反证法证明的一般步骤
1. 先假设命题的结论不成立；
2.从这个假设出发，应用正确的推理证明，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果；
3.由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。
1. 下列条件中，不能判定 是等腰三角形的是( )
D
A. B.
C. , D.
2. 用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，第一
步应假设( )
A
A. 两直线不平行 B. 同旁内角不互补
C. 同旁内角相等 D. 同旁内角不相等
（第3题）
3. 如图，等腰三角形共有( )
B
A. 4个 B. 5个 C. 3个 D. 2个
（第4题）
4. 教材P21习题 如图，在
中，，点在 的延长线上，
于点，交于点，若 ，
，则 的长度为____.
10
5. 如图，一条船上午8时从
处以的速度向北偏西 方向
航行，上午11时到达处，处在灯塔 的
正南方向，从处测得灯塔在北偏西
方向上，则处离灯塔 的距离为____
60
15
.若船接着从处以的速度向灯塔 航行，当
船到达灯塔 时是____时.
课堂小结
等腰三角形的判定：
有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）
反证法：
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。
A
B
C

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