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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1.2.3等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质第一章三角形的证明及其应用北师大版数学八年级下册1.2.3等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕等边三角形的判定和含30°角的直角三角形的性质两大核心知识点设计，侧重两个知识点的理解、辨析及基础应用，结合等腰三角形性质、三角形内角和定理，贴合本节课重难点，帮助巩固知识、规避常见错误，总字数控制在800字左右。一、基础选择题（每题4分，共20分）1.下列条件中，不能判定三角形为等边三角形的是（）A.三条边都相等的三角形B.三个角都相等的三角形C.有一个角是60°的等腰三角形D.有两个角是60°的直角三角形2.含30°角的直角三角形的核心性质是（）A. 30°角所对的直角边等于斜边的一半B. 30°角所对的直角边等于另一条直角边的一半C.斜边等于30°角所对直角边的一半D.两条直角边相等3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2cm，则斜边AB的长度为（）A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm4.下列关于等边三角形的说法，正确的是（）A.等边三角形是特殊的等腰三角形B.等边三角形的每个内角都是45°C.等边三角形的高与边长相等D.等边三角形只有一条对称轴5.在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=8cm，若一条直角边等于4cm，则这条直角边所对的角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题（每题4分，共20分）1.等边三角形的判定：三条边相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是________°的等腰三角形是等边三角形。2.含30°角的直角三角形中，30°角所对的________等于斜边的一半。3.等边三角形的每个内角都等于________°，它有________条对称轴。4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm，则BC的长度为________cm（结果保留根号）。5.若一个等腰三角形的顶角为60°，则这个三角形是________三角形。三、解答题（每题15分，共30分）1.运用相关知识点，完成下列计算与判定（写出完整步骤）。（1）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，判定△ABC是否为等边三角形，并说明理由；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=10cm，求直角边BC和AC的长度。2.辨析题：判断下列说法或解题过程是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因（结合本节课知识点）。（1）有一个角是60°的三角形是等边三角形；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6cm，则BC=6×2=12cm。四、拓展题（30分）已知在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AC的中点，连接DE，求证：DE=AE（要求写出完整步骤，结合等边三角形性质、含30°角的直角三角形的性质及相关知识点说明理由）。参考答案提示一、1.D 2.A 3.C 4.A 5.A；二、1.60 2.直角边3.60，3 4.3√3 5.等边；三、1.（1）是，等腰三角形中一个角为60°，则三个角均为60°，故为等边三角形；（2）BC=5cm，AC=5√3 cm；2.（1）不正确，缺少“等腰”条件，有一个角是60°的等腰三角形才是等边三角形；（2）不正确，应利用30°角性质，BC=AB÷2=3cm；四、证明：等边△ABC中，AD⊥BC，故∠ADC=90°，∠C=60°，则∠CAD=30°；E是AC中点，Rt△ADC中，DE=AC÷2（直角三角形斜边中线等于斜边一半），又AE=AC÷2，故DE=AE。1
探索等边三角形的判定条件并证明。
2
探究有30°角的直角三角形的性质及推理过程。
3
运用所学知识进行相关的证明和计算
学习目标
进行新课
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？
一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？
请证明自己的结论，并与同伴进行交流。
知识点1
等边三角形的判定
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。
A
B
C
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠A=∠B=∠C，
∴∠A=∠B=∠C=60°。
∵∠B =∠A = 60° ，
∴AC = BC（等角对等边）。
∵∠B =∠C = 60°，
∴AC = AB ，
∴AC = AB = BC ，
∴△ABC 是等边三角形。
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
A
B
C
证明： ①若 AB =AC，∠A =60°，
则∠B = ∠C = (180°– ∠A)÷2=60°，
∴∠A =∠B =∠C = 60°，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC 是等边三角形。
60°
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
A
B
C
60°
证明： ②若AB＝AC，∠B= 60°，
∴∠C=∠B=60°。
则∠A = 180°– ∠B –∠C = 60°，
∴∠A =∠B =∠C = 60°，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC 是等边三角形。
几何语言：
在△ABC中，
∵∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等边三角形
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。
定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
几何语言：
在△ABC中，
∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)
∴△ABC是等边三角形
等边三角形的判定
证明等边三角形的思路：
三角形
等边
三角形
等腰三角形
有一个角等于60°
等腰三角形的判定
思路1：三边相等
思路2：三角相等
练一练
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E在线段AB上，CE // DA。若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是_________________________。
∠BCE=60°
(或∠BEC=∠BCE等，答案不唯一)
尝试·思考
知识点2
含30°角的直角三角形的性质
（1）用两个完全相同的含30°角的三角尺，你能拼成怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？
（2）在上述拼接过程中，你发现了什么结论？
发现：30°角的对边等于三角尺斜边的一半。
如何证明这个结论？
A
B
C
发现：30°角的对边等于三角尺斜边的一半。
已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°。
求证：BC = AB。
D
A
B
C
证明：如图，延长 BC 至 D，使 CD = BC，连接 AD。
∵∠ACB = 90°，
∴∠ACD = 90°。
∵AC = AC，
∴△ABC ≌ △ADC（SAS）。
∴AB = AD(全等三角形的对应边相等)。
已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°。
求证：BC = AB。
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理)。
∵∠BAC = 30°，∠ACB=90°，
∴∠B= 180°－30°－90°=60°。
已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°。
求证：BC = AB。
∴△ABD 是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)。
∴BC = BD = AB。
D
A
B
C
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
几何语言：
A
B
C
30°
含30°角的直角三角形的性质：
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵∠A=30°，
∴BC= AB
例3 求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半。
B
A
D
C
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 15°，CD 是腰 AB 上的高。
求证：CD = AB。
B
A
D
C
证明：在△ABC 中，
∵AB = AC，∠B = 15°，
∴∠ACB =∠B = 15°(等边对等角)。
∴∠DAC =∠B +∠ACB = 15°+ 15°= 30°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)。
∵CD 是腰 AB 上的高，
∴∠ADC = 90°。
∴CD = AC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)。
∴CD= AB。
1. 若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为 ，则这
个三角形一定是( )
C
A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形
C. 等边三角形 D. 钝角三角形
（第2题）
2. 如图，嘉琪想测量一座古塔
的高度，在 处测得
，再往前行进
到达 处，测得
，点，， 在
B
A. B. C. D.
同一条直线上，根据测得的数据，可得这座古塔 的高度为
( )
（第3题）
3. 如图，已知 ，
点在边上，，点，在边
上，.若，则 的长是
( )
B
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4.如图，等边三角形纸片的边长为6，，是边 上的
三等分点.分别过点，沿着平行于， 方向各剪一刀，
则剪下的 的周长是___.
6
（第4题）
5.将含 角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，
已知 ，点，表示的刻度分别为， ，则
线段的长为___ .
2
（第5题）
课堂小结
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。
定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
等边三角形的判定：
含30°角的直角三角形的性质：
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
A
B
C
30°
A
B
C

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