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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1.3.1直角三角形的性质与判定第一章三角形的证明及其应用北师大版数学八年级下册1.3.1直角三角形的性质与判定练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕直角三角形的性质（两锐角互余、斜边中线等于斜边一半等）和判定定理（有一个角是直角、两锐角互余、勾股定理逆用基础）设计，侧重知识点的理解、辨析及基础应用，结合三角形内角和定理，贴合本节课重难点，帮助巩固知识、规避常见错误，总字数控制在800字左右。一、基础选择题（每题4分，共20分）1.下列条件中，不能判定三角形为直角三角形的是（）A.有一个角是90°的三角形B.两个锐角互余的三角形C.三个角都相等的三角形D.一个角是60°，另一个角是30°的三角形2.直角三角形的核心性质之一是（）A.两锐角互补B.两锐角互余C.斜边等于直角边的一半D.直角边相等3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，则下列说法正确的是（）A. ∠B=60°B. AB=AC C. AC=BC D.斜边AB最短4.直角三角形斜边中线的性质是（）A.斜边中线等于斜边的一半B.斜边中线等于一条直角边的一半C.斜边中线垂直于斜边D.斜边中线平分直角5.在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形二、填空题（每题4分，共20分）1.直角三角形的判定：有一个角是________°的三角形是直角三角形；两个锐角________的三角形是直角三角形。2.直角三角形中，两锐角之和等于________°（互余）。3.在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=10cm，则斜边中线CD的长度为________cm。4.若直角三角形的一个锐角为50°，则另一个锐角的度数为________°。5.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则斜边AB与直角边BC的关系是________。三、解答题（每题15分，共30分）1.运用直角三角形的性质与判定，完成下列计算与判定（写出完整步骤）。（1）在△ABC中，∠A=50°，∠B=40°，判定△ABC是否为直角三角形，并说明理由；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=12cm，CD是斜边中线，求CD的长度及∠A+∠B的度数。2.辨析题：判断下列说法或解题过程是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因（结合本节课知识点）。（1）直角三角形的两锐角互补，所以它们的度数之和为180°；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=8cm，斜边中线CD=4×2=8cm。四、拓展题（30分）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的中线，∠A=30°，CD=3cm，求△ABC的三边长及三个内角的度数（要求写出完整步骤，结合直角三角形性质、斜边中线性质说明理由）。参考答案提示一、1.C 2.B 3.C 4.A 5.B；二、1.90，互余2.90 3.5 4.40 5.AB=2BC；三、1.（1）是，∠A+∠B=90°，两锐角互余的三角形是直角三角形；（2）CD=6cm，∠A+∠B=90°；2.（1）不正确，直角三角形两锐角互余，和为90°，互补是和为180°；（2）不正确，斜边中线等于斜边一半，CD=8÷2=4cm；四、解：Rt△ABC中，CD是斜边中线，故AB=2CD=6cm；∠A=30°，则BC=AB÷2=3cm；由勾股定理得AC=√(AB -BC )=3√3 cm；三个内角分别为∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°。1
会证明直角三角形的性质定理和判定定理，并能应用性质进行计算和证明。
2
能写出一个命题的逆命题，并会判断其真假，会识别两个互逆命题。
3
通过勾股定理及其逆定理的证明，体会同一个定理可以从不同角度，用不同方法加以证明。
学习目标
进行新课
探究1：直角三角形的两个锐角互余，为什么？
根据三角形内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”。
如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
A
B
C
如图，在△ABC中，∠A+∠C=90°，那么△ABC是直角三角形吗？
在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°，
又∠A+∠C=90°，
∴∠B=90°。
于是△ABC是直角三角形。
几何语言：
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°
定理 直角三角形的两个锐角互余。
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。
几何语言：
在△ABC中，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形
直角三角形的性质
直角三角形的判定
探究2：你能说出勾股定理的内容并证明吗？
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即 c2 = a2 + b2
a
b
c
你能利用基本事实和已有定理，证明勾股定理吗？
D
E
F
G
H
I
A
B
C
a
b
c
勾股定理的证明方法之一：
如图，在△ABC 中，∠C = 90°，
BC = a，AC = b，AB = c。
分别以 Rt△ABC 的三边为边作正方形AHIB，ACDE，CBFG。 连接 EB，CH。过点 C 作 AB 的垂线，分别交 AB 和 HI 于点 M，N。
M
N
正方形ACDE、长方形AHNM、长方形MNIB，以及△EAB和△CAH的面积分别记作S正方形ACDE，S长方形AHNM，
S长方形MNIB，S△EAB，S△CAH。
D
E
F
G
H
I
A
B
C
a
b
c
∵EA = CA，
∠EAB =∠CAH = 90°+∠CAB，
AB = AH，
∴△EAB ≌△CAH（SAS）。
又∵S正方形 ACDE = 2S△EAB，
S长方形AHNM = 2S△CAH，
∴b2 = S长方形AHNM。
同理 a2 = S长方形MNIB。
∴ c2 = a2 + b2。
M
N
练一练
如图，A(8，0)，C(－2，0)，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为________。
(0，6)
尝试·交流
探究3：你能用基本事实和已有定理证明这个结论吗？
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
在一个三角形中，当两条边的平方和等于第三边的平方时，这个三角形是直角三角形。
a
b
c
A
B
C
已知：如图，在△ABC 中，AB2 + AC2 = BC2。
求证：△ABC 是直角三角形。
要证明△ABC是直角三角形，一般需要证明有一个角是直角。这里的已知条件是边的关系，由此你能想到什么？
借助边的关系，你能构造一个直角三角形，使它与△ABC全等吗？
分析：
证明：如图，作 Rt△A'B'C'，
使∠A' = 90°，A'B' = AB，A'C' = AC，
则 A'B'2 + A'C'2 = B'C'2（勾股定理）。
∵AB2 + AC2 = BC2，
∴BC2 = B'C'2。
∴BC = B'C'。
∴△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）。
∴∠A =∠A' = 90°
（全等三角形的对应角相等）。
因此，△ABC 是直角三角形。
A'
B'
C'
已知：如图，在△ABC 中，AB2 + AC2 = BC2。
求证：△ABC 是直角三角形。
A
B
C
定理 如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
A
B
C
几何语言：
在△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°
勾股定理逆定理：
练一练
如图，在△ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，则△ABC的面积是______。
24
观察·交流
（1）观察下面的第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴进行交流。
直角三角形的两个锐角互余。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
两个定理的条件和结论互换了位置
（2）观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
如果a=b，那么a2=b2；
如果a2=b2，那么a=b。
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等。
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
条件
结论
结论
条件
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。
互逆命题
如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题。
原命题
逆命题
尝试·思考
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？
逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等。
原命题是真命题，逆命题是假命题。
原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。
互逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
直角三角形的两个锐角互余。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
互逆定理
互逆定理
你还能举出一些互逆定理的例子吗？
归纳：定理与逆定理的关系
命题
定理
逆命题
逆定理
条件、结论互换
正确
正确
条件、结论互换后仍为真命题
1. 下列说法错误的是( )
B
A. 任何命题都有逆命题
B. 任何定理都有逆定理
C. 命题的逆命题不一定是真命题
D. 定理的逆定理一定是真命题
（第2题）
2. 如图，在中， ,
，以点 为圆心，适当长为半
径画弧，交于点，交于点 ；再分
别以点,为圆心，大于 的长为半径
B
A. B. C. D.
画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点 ；
画射线，与相交于点，则 的大小为( )
（第3题）
3. 如图是由两个直角三角形和
三个正方形组成的图形，其中
阴影部分的面积是( )
C
A. 169 B. 144 C. 25 D. 16
4. 在中，，，分别是，， 的对边，在下
列条件中，不能确定 的形状是直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
A
5.如图，在中，，，，是
边上的中线，则 的长度为____.
（第5题）
（第6题）
6.如图，在一条东西走向河流的一侧有
一村庄，河边原有两个取水点， ，
道路 因为施工需要封闭，该村为方便
村民取水，决定在河边新建一个取水点
（，， 在同一条直线上），并新
0.5
修一条道路，已知，， ，
新的取水点与原取水点相距，则新建后 比原
来（）少走____ .
课堂小结
定理 直角三角形的两个锐角互余。
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
定理 如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
原命题
逆命题
原命题
逆命题
互逆命题
互逆命题

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