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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1.3.2直角三角形全等的判定第一章三角形的证明及其应用北师大版数学八年级下册1.3.2直角三角形全等的判定练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕直角三角形全等的判定（重点是HL定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）设计，兼顾一般三角形全等判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）在直角三角形中的应用，侧重判定定理的理解、辨析及基础应用，贴合本节课重难点，帮助巩固知识、规避常见错误，总字数控制在800字左右。一、基础选择题（每题4分，共20分）1.下列能判定两个直角三角形全等的方法，错误的是（）A.斜边和一条直角边对应相等（HL）B.两条直角边对应相等（SAS）C.两个锐角对应相等（AA）D.斜边和一个锐角对应相等（AAS）2.直角三角形全等的特殊判定方法HL，适用的条件是（）A.两条直角边对应相等B.斜边和一个锐角对应相等C.斜边和一条直角边对应相等D.三个角对应相等3.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，下列条件中能判定两三角形全等的是（）A. AB=DE，∠A=∠D B. AC=DF，∠B=∠EC. AB=DE，BC=EF D. ∠A=∠D，∠B=∠E4.下列说法正确的是（）A.两个直角三角形一定全等B.有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等C.斜边对应相等的两个直角三角形全等D.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等5.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AC=A'C'，AB=A'B'，则Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的依据是（）A. SSS B. SAS C. HL D. ASA二、填空题（每题4分，共20分）1.直角三角形全等的判定方法：除了SSS、SAS、ASA、AAS外，还有特殊方法________（简写为HL）。2. HL定理的条件：两个直角三角形的________和一条________对应相等。3.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF（依据：________）。4.若两个直角三角形的斜边相等，且一条直角边也相等，则这两个直角三角形________（填“全等”或“不全等”）。5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD=BD（D为AB中点），则CD=________（结合直角三角形性质与全等知识）。三、解答题（每题15分，共30分）1.运用直角三角形全等的判定方法，证明下列两个直角三角形全等（写出完整步骤）。（1）已知：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，BC=EF，求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）已知：在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，AB为公共边，AC=AD，求证：Rt△ABC≌Rt△ABD。2.辨析题：判断下列说法或证明过程是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因（结合本节课知识点）。（1）有一个锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（2）已知：Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，∠A=∠D，证明：Rt△ABC≌Rt△DEF。证明：∵AB=DE，∠A=∠D，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。四、拓展题（30分）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E，求证：CD=DE，且Rt△ACD≌Rt△AED（要求写出完整步骤，结合HL定理及角平分线性质说明理由）。参考答案提示一、1.C 2.C 3.C 4.D 5.C；二、1.斜边和一条直角边对应相等2.斜边，直角边3.HL 4.全等5.AD（或BD、AB/2）；三、1.（1）证明：∵∠C=∠F=90°，在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB=DE，BC=EF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；（2）证明：∵∠C=∠D=90°，在Rt△ABC和Rt△ABD中，AB=AB（公共边），AC=AD，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；2.（1）不正确，需强调“对应”相等，有一个锐角和一条对应直角边相等的两个直角三角形才全等；（2）不正确，HL定理需斜边和一条直角边对应相等，此处应依据AAS判定；四、证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE（角平分线性质）；在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD（公共边），CD=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）。1
掌握“斜边、直角边(HL)”的判定方法。
2
能初步应用“斜边、直角边”条件判定两个直角三角形全等。
3
能用尺规解决“已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形”的问题。
学习目标
进行新课
两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？
如果其中一组等边的对角都是直角呢？
A
B
C
F
E
D
如图，AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E。若AB=DE，AC=DF，则Rt△ABC 与Rt △DEF是否全等？
尝试·交流
已知斜边和一条直角边，如何作出这个直角三角形呢？
（1）假设满足条件的直角三角形已经作出，你能画出这个直角三角形的草图吗？
（2）你是按照怎样的步骤画这个草图的？先画一画，再用尺规试一试，并与同伴进行交流。
如图，已知线段 a，c（a＜c），用尺规作Rt△ABC，使∠C =90°，AB = c，BC = a。
a
c
1.作射线CN。
2.过点C作射线CN的垂线CM。
3.在射线CM上截取CB=a。
4.以点B为圆心，以线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A。
5.连接AB。
△ABC就是所要作的直角三角形。
C
N
M
B
A
猜想：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
1.分析命题：
条件：两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等。
结论：这两个直角三角形全等。
2.数学语言：
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′。
求证：△ABC≌△A′B′C′。
A
C
B
A'
C'
B'
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′。
求证：△ABC≌△A′B′C′。
A
C
B
A'
C'
B'
证明：在△ABC 中，
∵∠C = 90°，
∴BC2 = AB2 – AC2（勾股定理）。
同理，B'C'2 = A'B'2 – A'C'2。
∵AB = A'B'，AC = A'C'，
∴BC = B'C'。
∴△ABC ≌△A'B'C'（SSS）。
定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∵∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）
这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”。
A
C
B
A'
C'
B'
直角三角形全等的判定：
判定两个直角三角形全等的思路：
已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件
一锐角
斜边(H)
一直角边(L)
“ASA”或“AAS”
一边对应相等
“HL”或“AAS”
一条直角边对应相等或一锐角对应相等
“HL”或“SAS”
或“ASA”或“AAS”
另一边对应相等或一锐角对应相等
例 如图，有两个长度相等的梯子，左边梯子竖直方向的高度 AC 与右边梯子水平方向的长度 DF 相等，两个梯子的倾斜角∠CBA 和∠EFD 的大小有什么关系？
解：根据题意，可知
∠BAC =∠EDF = 90°，
BC = EF，AC = DF，
∴Rt△BAC ≌Rt△EDF（HL）。
∴∠CBA =∠DEF（全等三角形的对应角相等）。
∵∠DEF +∠EFD = 90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠CBA +∠EFD = 90°。
练一练
1. 如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，∠B=∠E=90°，AB=DE，若用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，则添加的条件可以是____________________。
AD=CF (或AC=DF)
练一练
2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D，BC=BD。如果AC=3cm，那么AE+DE的长为（ ）
A. 2 cm B.3 cm C.4 cm D. 5 cm
B
1. 如图，，， .要根
据“”判定 ，则需添加一
个条件是( )
A
A. B.
C. D.
（第2题）
2. 如图,已知在中， ，高
，相交于点，连接 ，图中全等三
角形共有( )
D
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
3.如图，在中， ，在 中，
，，边上的高相等，若，则 的度
数为____.
（第3题）
4.如图，在中， ，
于点 ．
（1）求证： ；
【证明】 ，
.
在和中，
.
（2）过点作于点，交于点 ，若
．求证： ．
，
.
， .
.
, .
.
．
（第5题）
5. 如图，在四边形 中，
，平分 ，作
于点， ，
，则 的长度为( )
B
A. 3 B. 2 C. D.
随堂练习
1.如图，AF=BE，∠A=∠B=90°，补充下列条件后仍不能判定△ACE≌△BDF的是（ ）
A.AC=BD
B.CE=DF
C.AC // BD
D.CE // DF
C
【教材P30 随堂练习 第1题】
2.判断下列命题的真假，并说明理由：
（1）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
（2）斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等；
（3）两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
（4）一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等。
解：（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）真命题。
课堂小结
定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
A
C
B
A'
C'
B'

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