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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1.4.1线段垂直平分线的性质定理及其逆定理第一章三角形的证明及其应用北师大版数学八年级下册1.4.1线段垂直平分线的性质定理及其逆定理练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕线段垂直平分线的性质定理（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）及其逆定理（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）设计，侧重两个定理的理解、辨析及基础应用，结合全等三角形判定，贴合本节课重难点，帮助巩固知识、规避常见错误，总字数控制在800字左右。一、基础选择题（每题4分，共20分）1.线段垂直平分线的性质定理是（）A.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上B.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等C.线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合D.垂直于线段的直线是线段的垂直平分线2.下列关于线段垂直平分线逆定理的说法，正确的是（）A.逆定理是性质定理的逆命题，且是真命题B.逆定理是“线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等”C.逆定理不能用于判定线段的垂直平分线D.到线段一端距离相等的点在线段的垂直平分线上3.若点P在线段AB的垂直平分线上，PA=5cm，则PB的长度为（）A. 3cm B. 4cm C. 5cm D.无法确定4.在△ABC中，AB=AC，点A在线段BC的垂直平分线上，下列说法正确的是（）A.线段BC的垂直平分线经过点B B.点B在线段AC的垂直平分线上C.线段AB的垂直平分线经过点C D.点C在线段AB的垂直平分线上5.下列条件中，能判定点P在线段AB的垂直平分线上的是（）A. PA=PB B. PA=AB C. PB=AB D. ∠PAB=∠PBA二、填空题（每题4分，共20分）1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段________的距离相等。2.线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两端距离相等的点，在这条线段的________上。3.若线段AB的垂直平分线交AB于点O，PA=6cm，则PB=________cm，AO=________。4.三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形________的距离相等。5.已知点P到线段AB两端的距离相等，且AB=8cm，若点P到AB的距离为3cm，则PA=________cm。三、解答题（每题15分，共30分）1.运用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，完成下列计算与证明（写出完整步骤）。（1）已知：直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，PA=7cm，求PB的长度，并说明理由；（2）已知：在△ABC中，PA=PB，QA=QB，求证：直线PQ是线段AB的垂直平分线。2.辨析题：判断下列说法或解题过程是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因（结合本节课知识点）。（1）线段的垂直平分线是一条射线，且平分线段；（2）已知：点P到线段AB两端的距离相等，点Q也到线段AB两端的距离相等，则PQ是线段AB的垂直平分线。四、拓展题（30分）已知：在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，求证：AD是线段BC的垂直平分线，且点A在线段BC的垂直平分线上（要求写出完整步骤，结合线段垂直平分线的逆定理、全等三角形判定说明理由）。参考答案提示一、1.B 2.A 3.C 4.B 5.A；二、1.两端2.垂直平分线3.6，BO（或AB/2）4.三个顶点5.5；三、1.（1）PB=7cm，理由：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，点P在AB的垂直平分线上，故PA=PB；（2）证明：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上；∵QA=QB，∴点Q在线段AB的垂直平分线上，两点确定一条直线，故PQ是AB的垂直平分线；2.（1）不正确，线段的垂直平分线是一条直线，不是射线，且垂直于线段并平分线段；（2）不正确，需强调“两点确定一条直线”，且PQ需垂直于AB，仅两点到线段两端距离相等，不能直接判定PQ是垂直平分线；四、证明：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上（逆定理）；∵AD是BC中线，∴BD=CD；在△ABD和△ACD中，AB=AC，AD=AD，BD=CD，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC；又AD平分BC，故AD是线段BC的垂直平分线。1
能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理。
2
经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展推理证明意识和能力。
3
学习目标
进行新课
我们曾经探索过线段垂直平分线的性质：
请你尝试证明这一结论，并与同伴进行交流。
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，且 AC = BC，P 是 MN 上的任意一点。
求证：PA = PB。
A
B
C
M
N
P
知识点1
线段垂直平分线的性质
已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，且 AC = BC，P 是 MN 上的任意一点。
求证：PA = PB。
A
B
C
M
N
P
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA =∠PCB = 90°。
∵ AC = BC，PC = PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）。
∴ PA = PB（全等三角形的对应边相等）。
如果点P与点C重合，那么结论显然成立。
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
几何语言：
∵MN⊥AB于点C，且AC=BC，
∴PA=PB
线段垂直平分线的性质：
A
B
C
M
N
P
这一点是任意一点
练一练
如图，DE是线段AB的垂直平分线，则下列结论一定成立的是（ ）
A.ED=CD B.AE=AC
C.AD=BD D.BD=AC
C
尝试·思考
知识点2
线段的垂直平分线的判定
你能写出这个定理的逆命题吗？
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
逆命题
它是真命题吗？
已知：线段 AB，点 P 是平面内一点，且 PA = PB。
求证：点 P 在 AB 的垂直平分线上。
A
B
P
考虑点P是否在线段AB上。
证明：∵ PA=PB，
∴ 点P为线段AB的中点，
显然此时点P在线段AB的垂直平分线上。
①当点P在线段AB上时：
A
B
P
②当点P在线段AB外时：
证法一：
过点P 作PC⊥AB，垂足为C。
∵PA = PB， PC = PC，
∴Rt△PAC ≌Rt△PBC(HL)。
∴AC = BC，
即点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。
C
A
B
P
证法二：
取AB的中点C，连接PC。
∵ AP=BP，PC=PC，AC=BC，
∴ △APC≌△BPC(SSS)。
∴ ∠PCA=∠PCB。
又∵ ∠PCA+∠PCB=180°，
∴ ∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥AB。
∴ 点P在线段AB的垂直平分线上。
C
②当点P在线段AB外时：
A
B
P
证法三：
过点P作∠APB的角平分线，交AB于点C。
∵ AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，
∴ △APC≌△BPC(SAS)。
∴ AC=BC，∠PCA=∠PCB。
又∵ ∠PCA+∠PCB=180°，
∴ ∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥AB。
∴ 点P在线段AB的垂直平分线上。
C
②当点P在线段AB外时：
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
几何语言：
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上
线段的垂直平分线的判定：
A
B
P
归纳总结：
线段的垂直平分线可以看成是到线段两端距离相等的所有点(无穷个点）的集合。
线段是一个轴对称图形，垂直平分线是它的一条对称轴。
归纳总结：
到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需找出这样满足条件的两个点即可作出线段的垂直平分线。
例1 已知：如图，在△ABC中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC。
求证：直线 AO 垂直平分线段 BC。
A
B
C
O
证明：∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
∴直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）。
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上。
还有其他证法吗？
证明：设直线 AO 交 BC 于点 D，
∵ AB = AC，AO = AO，OB = OC ，
∴ △ABO ≌ △ACO (SSS)。
∴ ∠BAO = ∠CAO，
又∵ AB = AC，
∴ AO ⊥ BC。
∵ OB = OC ，OD = OD ，
∴ Rt△DBO ≌ Rt△DCO (HL)。
∴ BD = CD。
∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC。
①该直线有两点到线段两端点距离相等。
②该直线垂直且平分线段。
证明直线垂直平分线段
A
B
C
O
D
随堂练习
1. 如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，分别交BC，AC于D，E两点，∠B =80°，∠C=35°，则∠BAD的度数为（ ）
A.25° B.30° C.35° D.65°
B
2. 如图，AD⊥BE，BD=DE，点E在线段AC的垂直平分线上。若AB=6cm，BD=3cm，则DC的长为_______cm。
9
（第1题）
1. 如图，，，点
在线段的垂直平分线上且点 ，
，三点共线，若， ，
则线段 的长度为( )
B
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
（第2题）
2. 教材P33例1 如图，在
中，，是 上的一
点，是上一点，且 ，若
，则 的长为( )
B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 如图，在中， ， 是线
段的垂直平分线，已知，则 ____.
（第3题）
（第4题）
4. 风筝又称“纸鸢”“风鸢”“纸鹞”
等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2 000
多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，
已知，， ，
，制作这个风筝需要的布料至少为
_______ .
2 700
（1）若，的周长为7，求 的周长；
【解】垂直平分线段 ，
， .
的周长为7，即
，
.
的周长为
.
（2）若 ， ，求 的度数.
， ，
，
.
.
又 ， .
， .
.
课堂小结
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
性质定理
判定定理
A
B
C
M
N
P

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