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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.6.1.2平行四边形的对角线的性质第六章　平行四边形6.1.2平行四边形的对角线的性质练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟一、基础应用题（每题20分，共60分）1.已知 ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若OA=3cm，OB=4cm，求对角线AC和BD的长度。（利用平行四边形对角线互相平分的性质解答）解析：根据平行四边形的性质，对角线互相平分，即对角线的交点平分两条对角线，所以OA=OC，OB=OD。已知OA=3cm，OB=4cm，则AC=2×OA=2×3=6cm，BD=2×OB=2×4=8cm。答：对角线AC的长度为6cm，BD的长度为8cm。2.在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC=10cm，BD=16cm，求OA、OB的长度。（利用平行四边形对角线互相平分的性质解答）解析：平行四边形的对角线互相平分，即点O是AC和BD的中点，因此OA=AC÷2，OB=BD÷2。已知AC=10cm，BD=16cm，则OA=10÷2=5cm，OB=16÷2=8cm。答：OA的长度为5cm，OB的长度为8cm。3.已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=2x-1，OC=x+3，求x的值及OA的长度。（利用平行四边形对角线互相平分的性质列方程解答）解析：平行四边形对角线互相平分，故OA=OC。可列方程：2x-1=x+3，移项得2x-x=3+1，解得x=4。将x=4代入OA=2x-1，得OA=2×4-1=7。答：x=4，OA的长度为7。二、提升应用题（40分）4.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若OA=5，OB=3，求 ABCD的周长（提示：结合平行四边形对边相等的性质，利用勾股定理求解边长）。解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴对角线互相平分，且对边相等，即AB=CD，AD=BC。已知OA=5，OB=3，在Rt△AOB中（平行四边形对角线互相平分，此处可结合图形判断∠AOB为直角，贴合基础提升难度），由勾股定理得AB=√(OA +OB )=√(5 +3 )=√34。同理，可推导AD的长度（若图形中∠AOD为直角，AD=√(OA +OD )=√(5 +3 )=√34），则平行四边形周长=2×(AB+AD)=2×(√34+√34)=4√34。答： ABCD的周长为4√34。注意：解答平行四边形对角线性质相关题目时，需牢记核心性质——平行四边形的对角线互相平分；遇到求边长、周长的问题，可灵活结合平行四边形对边相等的性质，必要时借助勾股定理、方程思想求解，确保步骤完整、逻辑清晰。
学习目标
探索并掌握平行四边形对角线性质.
灵活运用平行四边形的性质进行推理和计算.
思考：同学们,老人这样分地合理吗？
导入新知
探索新知
活动1：如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起，在它们的对角线交点处钉一个图钉O，将其中一个平行四边形绕O旋转 180°，你发现了什么？
O
发现：平行四边形的对角线互相平分。
你能证明它吗
已知：如图，□ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O。
求证：OA=OC，OB=OD。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD（平行四边形的对边相等），
AB∥CD（平行四边形的定义）。
∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO。
∴△ABO≌△CDO。
∴OA=OC，OB=OD。
A
B
C
D
O
还有其他证法吗
【知识要点】
定理 平行四边形的对角线互相平分。
A
B
C
D
O
几何语言：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA = OC，OB = OD。
对应训练
1.已知□ABCD的对角线AC与BD相交于点 O，OA，OB，AB 的长分别为 3，4，5，求其他各边及两条对角线的长度。
【选自教材P156】
解：如图，∵ 平行四边形的对角线互相平分，
∴OC=OA=3，OD=OB=4。
∴AC=6，BD=8。
∵AB=5，OA=3，OB=4，32+42=52，
∴△AOB为直角三角形，OB⊥OA，即 AC⊥BD。
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得AD===5，
∴BC=AD=5，CD=AB=5。
∴其他各边的长都是5，两条对角线的长分别是6，8。
对应训练
2.如图，□ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE ⊥ BC，垂足为点 E。若 AB = 3，AO = 2，BC = 5，则 AE 的长为
_______。
3
4
5
S△ABC = AB·AC = BC·AE
AE = =
例2 已知：如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F。
求证：OE=OF。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO（平行四边形的对角线
互相平分），
AD∥BC（平行四边形的定义）。
∴∠ODE=∠OBF。
∵∠DOE=∠BOF，∴△DOE≌△BOF。∴OE=OF。
思考：改变直线 EF 的位置，OE=OF 还成立吗？
请判断下列图中，OE=OF 还成立么？
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
F
E
E
F
F
E
同例1易证明 OE = OF 还成立。
小结：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等。
你能根据平行四边形的性质判定下列涂色部分的面积的大小有怎样的关系？
S1
S2
S3
S4
△AOD≌△COB
S1=S3
△AOB≌△DOC
S2=S4
△AOB与△AOD
等底同高
S1=S2
∴S1=S2=S3=S4
小结：平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形。
对应训练
3.如图，在 □ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 为边 AD 上任意一点。若 △AOB 的面积为 6，则 △BCE 的面积为_______。
12
尝试·思考
还记得小学学过的梯形的“样子”吗？画一画，将它与平行四边形比较，并试着给出梯形的定义。
一组对边平行
一组对边不平行
两组对边分别平行
定义：一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形。
平行的两边称为梯形的底，较短的底通常称为上底，较长的底通常称为下底。
上底
下底
不平行的两边称为梯形的腰，两腰相等的梯形称为等腰梯形。
腰
腰
高
尝试·交流
等腰梯形是轴对称图形吗？将等腰梯形纸片折一折，你有哪些发现？与同伴进行交流。
小结：等腰梯形是轴对称图形，等腰梯形在同一底上的两个角相等。
对应训练
4.如图，一块梯形玻璃破损成三块，测量发现a∥b，∠1=110°，∠4=125°，求∠2和∠3的度数。
【选自教材P156】
解：∵a∥b，
∴∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°。
∴∠2=180°－∠1=180°－110°=70°，
∠3=180°－∠4=180°－125°=55°。
1．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是(　　)
A．AC⊥BD
B．AC＝BD
C．OB＝OD
D．∠ABC＝∠BAC
C
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2．[天津期中]如图，在 ABCD中，BC＝8，AC＝14，BD＝10，则△BOC的周长是(　　)
A．20
B．25
C．28
D．32
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A
3．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝8，BD＝10，则AB的长可能是(　　)
A．12
B．10
C．9
D．8
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D
4．在 ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC与BD交于点O，则△BCO与△ABO的周长之差是(　　)
A．5
B．4
C．3
D．2
返回
D
5．[榆林模拟]如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，若△ADO的面积是4，则 ABCD的面积是(　　)
A．8
B．12
C．16
D．20
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C
6．[教材P152“例2”变式]如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，ED＝3，BC＝4，则CF＝________。
1
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平行四边形
性质
边：平行四边形的两组对边分别平行，平行四边形的对边相等。
角：平行四边形的对角相等。
对角线：平行四边形的对角线互相平分。
梯形
定义
一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形。
性质
等腰梯形是轴对称图形；等腰梯形在同一底上的两个角相等。

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