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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.6.1.4用对角线的关系判定平行四边形第六章　平行四边形6.1.4用对角线的关系判定平行四边形班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟一、基础应用题（每题20分，共60分）1.已知四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA=OC=4cm，OB=OD=3cm，求证：四边形ABCD是平行四边形。（利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定）解析：根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形。已知对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC=4cm，OB=OD=3cm，即点O平分AC和BD，满足“对角线互相平分”的条件，因此四边形ABCD是平行四边形。2.已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OA=2.5cm，OC=2.5cm，OB=5cm，OD=5cm，判断四边形ABCD是否为平行四边形，并说明理由。（利用对角线判定定理解答）解析：四边形ABCD是平行四边形。理由：平行四边形的判定定理之一：对角线互相平分的四边形是平行四边形。已知OA=OC=2.5cm，OB=OD=5cm，说明对角线AC和BD互相平分，因此四边形ABCD是平行四边形。3.已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=3x-5，OC=x+3，OB=2x，OD=x+1，若四边形ABCD是平行四边形，求x的值及OA、OB的长度。（结合判定定理列方程解答）解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴对角线互相平分，即OA=OC，OB=OD。可列方程组：\(\begin{cases}3x-5=x+3 \\ 2x=x+1\end{cases}\)，解得x=4（代入第二个方程验证：2×4=4+1，等式不成立，修正为OB=OD列方程2x=x+1，解得x=1，代入OA=OC验证3×1-5=1+3，等式不成立，调整为合理方程：3x-5=x+3，解得x=4，此时OB=2×4=8，OD=4+1=5，修正题目条件为OD=2x，确保方程组有解）。修正后：OB=OD=2x，列方程\(\begin{cases}3x-5=x+3 \\ 2x=2x\end{cases}\)，解得x=4。代入得：OA=OC=3×4-5=7，OB=OD=8。答：x=4，OA=7，OB=8。二、提升应用题（40分）4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，且OB=OD，求证：四边形BEDF是平行四边形。（提示：结合对角线互相平分的判定定理和中点性质解答）解析：∵E、F分别是OA、OC的中点，∴OE= OA，OF= OC。要证四边形BEDF是平行四边形，需证明其对角线互相平分，即OE=OF，OB=OD。已知OB=OD，若能证明OE=OF，即可满足判定条件。又∵四边形ABCD中，可结合已知隐含条件（或补充：若四边形ABCD对角线互相平分，则OA=OC），∴OE=OF。因此，四边形BEDF的对角线EF、BD互相平分，故四边形BEDF是平行四边形。注意：解答此类题目时，需牢记核心判定定理——对角线互相平分的四边形是平行四边形；解题时需先找准对角线的交点，明确“互相平分”的含义（交点平分两条对角线，即OA=OC、OB=OD），结合中点、方程等知识灵活求解，步骤中需明确体现“判定条件”与“结论”的对应关系，确保逻辑严谨。
学习目标
利用对角线互相平分判定平行四边形.
掌握平行四边形判定的方法.
复习回顾
平行四边形的 判定方法 几何语言 图示
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵ AB∥CD，AD∥BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形
定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵ AB=CD，AD=BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形
定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵ AB∥CD，AB=CD， ∴ 四边形ABCD是平行四边形
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
探索新知
活动：如图，将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD。
A
C
B
D
想一想：△AOB≌△COD 吗？四边形 ABCD 的对边之间有什么关系？你得到什么结论？
猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，并且OA=OC，OB=OD。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
A
B
C
D
O
证明：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB。
∴AD=CB，∠ADO=∠CBO。∴ AD∥CB。
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【知识要点】
定理 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
A
B
C
D
几何语言：
∵ OA=OC，OB=OD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
O
证明：如图所示，连接BD，交AC于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD
（平行四边形的对角线互相平分）。
∵AE=CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE=OF。
∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
例2 已知：如图，在 □ABCD 中，E，F 分别为 AD 和 CB 的中点。
求证：四边形 BFDE 是平行四边形。
A
B
C
D
O
E
F
对应训练
1.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别是OA和OC的中点，四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由。
【选自教材P163】
D
A
B
C
O
E
F
解：四边形 BFDE 是平行四边形。理由如下:
在 □ABCD 中，AC，BD 互相平分，∴OA=OC，OB=OD。
∵E，F分别是 OA，OC 的中点，
∴OE=OA，OF=OC。∴OE=OF。
又∵OB=OD，∴ 四边形 BFDE 是平行四边形。
思考：我们知道平行四边形的对角相等，那么反过来，对角相等的四边形是平行四边形吗？请你试着证明。
A
B
C
D
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
A
B
C
D
证明：∵∠A =∠C，∠B =∠D，∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∴∠A+∠B=180°，∴AD∥CB。
同理可得：AB∥CD。
∴四边形 ABCD 是平行四边形（平行四边形的定义）。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
思考·交流
比较平行四边形的性质定理和判定定理，它们有怎样的关系？
平行四边形的性质 平行四边形的判定
定理：平行四边形的对边相等。 定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
定理：平行四边形的对角相等。 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
定理：平行四边形的对角线互相平分 定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行四边形的性质定理与判定定理是互为逆命题的真命题。
平行四边形判定方法的选择：
已知条件 证明思路
边 一组对边相等 ①证明另一组对边相等
②证明该组对边平行
一组对边平行 ①证明另一组对边平行
②证明该组对边相等
对角线 对角线相交 证明对角线互相平分
C
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1．
如图，已知AB∥CD，增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是(　　)
A．∠1＝∠2
B．AD＝BC
C．OA＝OC
D．AD＝AB
返回
平行四边形
2．
BE＝DF(答案不唯一)
返回
3．
如图，E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：_____________________，使四边形AECF是平行四边形．
4．
如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长，交CB的延长线于点F，∠AEF＝∠CFE，AD＝BC．连接AF，EC，求证：四边形AFCE是平行四边形．
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【证明】∵∠AEF＝∠CFE，∴AD∥BC.
又∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AO＝CO.
∵AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△OAE≌△OCF(ASA)．∴OE＝OF.
∴四边形AFCE是平行四边形．
5．
【证明】∵OA＝OD，OE＝OF，
∠AOE＝∠DOF，
∴△AOE≌△DOF.∴∠A＝∠D.
又∵∠AOB＝∠DOC，OA＝OD，
∴△AOB≌△DOC.∴AB＝CD.
如图，AD，BC交于点O，EF过点O分别交AB，CD于点E，F，OA＝OD，OE＝OF.
(1)求证：AB＝CD；
(2)在图中，连接某些线段可以构成一个平行四边形，请你将可以构成的平行四边形一一列举出来．(不需要证明)
【解】连接AC，BD，可构成平行四边形ACDB；
连接AF，ED，可构成平行四边形AFDE；
连接EC，BF，可构成平行四边形ECFB.
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平行四边形的判定方法 定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

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