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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.6.1.5平行线间的距离及平行四边形判定方法的综合运用第六章　平行四边形6.1.5平行线间的距离及平行四边形判定方法的综合运用班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟一、基础应用题（每题20分，共60分）1.已知直线l ∥l ，点A、B在l 上，点C、D在l 上，且AB=CD=4cm，AC⊥l ，求证：四边形ABCD是平行四边形，并求平行线l 与l 之间的距离。解析：∵l ∥l ，AB在l 上，CD在l 上，∴AB∥CD。又∵AB=CD=4cm，∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。∵AC⊥l ，l ∥l ，∴AC⊥l ，即线段AC的长度就是平行线l 与l 之间的距离（平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离）。若已知AC=3cm，则平行线间的距离为3cm。2.已知直线l ∥l ，平行线间的距离为5cm，点A、B在l 上，点C在l 上，且AC⊥l ，AC=5cm，AB=6cm，求证：四边形ABCD（D在l 上）是平行四边形。解析：∵l ∥l ，AC⊥l ，∴AC⊥l ，AC的长度即为平行线l 与l 之间的距离（5cm）。要证四边形ABCD是平行四边形，可作CD∥AB，交l 于点D，则AB∥CD。又∵AC⊥l ，CD∥AB，∴CD⊥AC，即CD也是平行线间的距离，故CD=AC=5cm？修正：∵l ∥l ，AB∥CD，且AC是平行线间距离，∴AB与CD之间的距离等于AC=5cm，又∵AB=6cm，若CD=AB=6cm，则四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等）。3.已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且平行线AB与CD之间的距离为4cm，AB=5cm，AD=3cm，求四边形ABCD的面积及周长。解析：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。平行四边形的面积=底×高，此处AB为底，AB与CD之间的距离为高，故面积=AB×4=5×4=20cm 。平行四边形对边相等，∴AB=CD=5cm，AD=BC=3cm，周长=2×(5+3)=16cm。答：四边形ABCD的面积为20cm ，周长为16cm。二、提升应用题（40分）4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，l ∥l ，点A、C在l 上，点B、D在l 上，且OA=OC，AC⊥l ，平行线l 与l 之间的距离为6cm，OB=4cm，求四边形ABCD的面积及周长。（提示：结合平行线间的距离、平行四边形的判定与性质解答）解析：∵点A、C在l 上，点B、D在l 上，l ∥l ，AC⊥l ，∴AC⊥l ，AC的长度即为平行线l 与l 之间的距离，即AC=6cm。又∵OA=OC，∴O是AC的中点。要证四边形ABCD是平行四边形，可证OB=OD（或利用一组对边平行且相等）。∵l ∥l ，AC⊥l ，∴AC⊥BD（可推导），在Rt△AOB中，OA= AC=3cm，OB=4cm，由勾股定理得AB=5cm。∵OA=OC，∠AOB=∠COD，∠OAB=∠OCD（内错角），∴△AOB≌△COD，∴OB=OD，故四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分）。面积=AC×平行线间距离对应的底边上的高=6×4×2？修正：平行四边形面积=底×高=AC×OB对应的高，结合图形可知面积=AC×BD÷2×2=AC×OB=6×4=24cm ？最终：面积=AC×平行线间的距离=6×6=36cm ，周长=2×(AB+AD)，AD可由Rt△AOD求得，OA=3cm，OD=OB=4cm，AD=5cm，故周长=2×(5+5)=20cm。答：四边形ABCD的面积为36cm ，周长为20cm。注意：解答此类题目时，需牢记两个核心：①平行线间的距离处处相等，且两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离即为平行线间的距离；②灵活运用平行四边形的所有判定方法（两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分），结合面积公式、勾股定理等知识，实现判定与性质的综合运用，步骤中需明确判定条件和性质的对应关系。
学习目标
掌握平行线间的距离的概念及性质.
探索并证明“夹在平行线之间的平行线段相等”.
3. 能够综合运用平行四边形的判定定理和性质进行计算和证明．
新课导入
如图，在笔直的铁轨下，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？与同伴进行交流。
实际问题
几何问题
1
2
a
b
A
B
C
D
证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠1=∠2=90°。
∴AC∥BD。
∵AB∥CD，
∴四边形 ACDB 是平行四边形（平行四边形的定义）。
∴AC=BD（平行四边形的对边相等）。
探索新知
例3 已知：如图，直线 a∥b，A，B 是直线 a 上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为 C，D。
求证：AC=BD。
1
2
a
b
A
B
C
D
1
2
a
b
A
B
C
D
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等（如图，AC=BD）。
这个距离称为平行线之间的距离。
【知识要点】
简记为：两条平行线间的距离处处相等。
思考1：两条平行线之间的距离和两点间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
两点间的距离
连接两点的线段的长度
A
B
点到直线的距离
点到直线的垂线段的长度
a
A
两条平行线之间的距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度
b
A
B
a
联系：都是指某一条线段的长度。
对应训练
1.如图，直线 a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，垂足分别为 E，G，则下列说法中错误的是（ ）
A. AB=CD
B. CE=FG
C. A，B 两点之间的距离就是线段 AB 的长
D. 直线 a，b 之间的距离就是线段 CD 的长
D
对应训练
2.如图，直线 l1∥l2，△ABC 的面积为10，则 △DBC 的面积（ ）
A.大于10 B.小于10 C.等于 10 D.不确定
C
思考2：夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗？为什么？画一画，想一想。
由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可知其围成的封闭图形为平行四边形，所以夹在两条平行线间的平行线段都相等。
尝试·交流
每人准备一张方格纸，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形，并与同伴讨论各自画图的正确性。
提示：根据平行四边形的定义和平行四边形的判定定理作图。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC（平行四边形的定义）。
∴∠MDF=∠NBE。
∵DM=BN，DF=BE，∴△MDF≌△NBE。
∴MF=NE，∠MFD=∠NEB。∴∠MFE=∠NEF。
∴MF∥NE。
∴四边形MENF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
例4 已知：如图，在 □ABCD 中，点 M，N 分别在边 AD 和 BC 上，点 E，F 在对角线 BD 上，且 DM=BN，DF=BE。
求证：四边形 MENF 是平行四边形。
A
B
C
D
N
M
E
F
解：在□ABCD 中，∵AB∥CD，
∴ ∠ABC+∠C=180°。
∵∠ABC=70°，
∴∠C=180°－∠ABC=110°。
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=35°。
∵DF∥BE，∴∠CFD=∠CBE=35°。
∴∠CDF=180°－∠C－∠CFD=180°－110°－35°=35°。
对应训练
3.如图，在□ABCD中，∠ABC=70°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点D作BE的平行线交BC于点F，求∠CDF的度数。
【选自教材P165】
A
B
C
D
E
F
C
返回
1．
如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于点E，交CD于点F，直线MN交AB于点M，交CD于点N，交EF于点O.若直线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是(　　)
A．MN B．OE
C．EF D．OF
返回
3
2．
如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AC⊥l2.如果AB＝5 cm，BC＝4 cm.那么平行线l1，l2之间的距离为________cm.
6
返回
3．
如图，a∥b，点A，B分别在直线a，b上，∠1＝45°，点C在直线b上，且∠BAC＝105°，若a，b之间的距离为3，则线段AC的长度为________．
4．
返回
A
如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则(　　)
A．d1与d2一定相等
B．d1与d2一定不相等
C．l1与l2一定相等　
D．l1与l2一定不相等
5．
返回
D
在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b之间的距离为5 cm，b与c之间的距离为4 cm，则a与c之间的距离为(　　)
A．1 cm
B．9 cm
C．4 cm或5 cm
D．1 cm或9 cm
平行四边形
性质
判定
夹在两条平行线间的线段处处相等
五种判定方法
对边平行，对边相等，对角相等

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