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第十章 二元一次方程组
10.1 二元一次方程组的概念
人教 2024
旧知回顾
1. 什么是一元一次方程？"一元"指的是什么？"一次"又指的是什么？
2. 什么叫一元一次方程的解？
3. 一元一次方程求解的步骤是什么？
情境引入
新疆是我国棉花的主要产地之一. 近年来，机械化采棉已经称为新疆棉采摘的主要方式. 某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8hm2棉田的采摘. 如果大型采棉机1h完成2hm2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？
列一元一次方程求解：
设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，
则租用了(6-x)台小型采棉机.
可列一元一次方程：2x+(6-x)=8
解这个方程得 x=2 6-x=4...
问题中有两个未知的量，可设两个未知数：
若设这个种棉大户租用x台大型采棉机，y台小型采棉机.
那么，x、y必须同时满足两个等量关系：
大型采棉机台数+小型采棉机台数=6
即 x+y=6
大型采棉机1h采摘面积+小型采棉机1h采摘面积=8
即 2x+y=8
合作探究
上述分析过程中，出现了两个方程：x+y=6和 2x+y=8
这两个方程的共同点：
(1) 每个方程都含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式；
(2) 含有未知数的项的次数都是1
具备以上两个特点的方程叫作二元一次方程.
例. 判断下列是否是二元一次方程：
(1) 4x+2y+z=6 (2) x2+y=0 (3)
(4) 2m-3n<4 (5) xy=6 (6) x2+3x-5y=4+x2
1. 若 x2m-3 +5y3n-7m=7是关于 x、y的二元一次方程，则 m= ，n= .
2. 已知 |m－1| x|m|＋y2n－1＝3是关于 x、y的二元一次方程，则 m＋n＝ .
3. 对于关于x、y的二元一次方程x+6y=24，显然x=6，y=3满足这个方程，称x=6，
y=3是二元一次方程x+6y=24的一组解，并且把这组解写成 的形式.
判断以下是不是这个二元一次方程的解，并由此猜想二元一次方程有多少组解.
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
小试牛刀
二元一次方程有无数组解.
小试牛刀
5. 填表，使得表中上下每对x、y的值都是二元一次方程3x+y=5的解.
x -3 -2 -1 0.4 0
y 0 2 2.5 4
对于给定的二元一次方程，给出其中一个未知数的值，就可以求出另外一个未知数的值，从而得到这个二元一次方程的其中一组解.
4. 若 是关于 x、y的方程 x－ky=1的一组解，则 k的值为 .
合作探究
关于x、y的二元一次方程3x+y=5有无数组解，但是它的自然数解呢？
所有未知数的值都是自然数，叫作自然数解，
类似的还有正整数解等等
二元一次方程3x+y=5的自然数解只有两组：
和
1. (1)求关于x、y的二元一次方程3x+2y=24的自然数解和正整数解.
(2)求关于x、y的二元一次方程3x+7y=63的正整数解.
奇偶分析法和倍数分析法
2. 把一根长7m的钢管截成2m长和1m长两种规格的钢管，为了不造成浪费，应截成2m长和1m长的钢管各多少根？
合作探究
回到前面的问题，由于实际问题需要同时满足两个等量关系，所以我们把
方程 x+y=6 ①和 2x+y=8 ②合在一起，写成
这就组成了一个方程组.
合作探究
回到前面的问题，由于实际问题需要同时满足两个等量关系，所以我们把
方程 x+y=6 ①和 2x+y=8 ②合在一起，写成
这就组成了一个方程组.
方程中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.
合作探究
继续分析方程 x+y=6 ①和 2x+y=8 ②
对于方程 x+y=6 ①，下表中给出了未知数x的若干数值，请将表格填写完整：
x -1 0.1 1 2 3 4 ...
y ...
其中，x=-1和x=0.1不符合实际问题，但是对应的数值仍旧是方程①的解.
判断：上表中，有没有方程 2x+y=6 ②的解？
既是方程①的解，也是方程②的解，也就是说，它是方程①和②的公共解. 我们把 叫作方程组 的解.
合作探究
继续分析方程 x+y=6 ①和 2x+y=8 ②
对于方程 x+y=6 ①，下表中给出了未知数x的若干数值，请将表格填写完整：
x -1 0.1 1 2 3 4 ...
y ...
其中，x=-1和x=0.1不符合实际问题，但是对应的数值仍旧是方程①的解.
判断：上表中，有没有方程 2x+y=6 ②的解？
既是方程①的解，也是方程②的解，也就是说，它是方程①和②的公共解. 我们把 叫作方程组 的解.
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解.
通常情况下，二元一次方程组只有一组解.
联系前面的问题可知，这个种棉大户租用了2台大型采棉机和4台小型采棉机.
小试牛刀
1. 下列方程组是二元一次方程组的是( )
A B C D
2. 已知 是关于x、y的二元一次方程组 的解，
则m= ，n= .
3. 二元一次方程组 的解是( )
A B C D
逐一验证很麻烦.
如何快捷处理？
小试牛刀
4. 对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解.
(1) 某乡村振兴项目计划把28t 黄桃加工成罐头，刚开始每天加工2t，后在技术顾问的指导下改进加工方法，每天加工4t，前后共用8天完成全部加工任务. 这个项目改进加工方法前、后各用了多少天？
(2) 在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分. 某队在10场比赛中得到16分，这个队得胜、负场数分别是多少？
5. 请列出符合题意的二元一次方程组.
(1) 加工某种产品需经过两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件. 现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、二道工序所完成的件数相等
(2) 小锦和小丽购买了价格分别相同得中性笔和笔芯，小锦买了20支中性笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支中性笔和3盒笔芯，用了28元. 问每支中性笔和每盒笔芯的价格.
再 见
Thanks!
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