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2026年福建省厦门市九年级中考数学模考预测练习试题（解析版）
（ 试卷满分：150分；考试时间：120分钟 ）
一、选择题：本大题有10个小题，每小题4分，共40分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．实数的相反数是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义．根据只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数，即可求解．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
2．如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪开，能拼成下列四个图形，其中是中心对称图形的是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据拼成的四个图形是否存在中心对称点，即可判断图形是否为中心对称图形．
【详解】解：依照中心对称图形的特征：若图形存在中心对称点，沿中心对称点旋转180°后可与原图形重合．
选项A图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意；
选项B图形有中心对称点，故是中心对称图形，符合题意；
选项C图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意；
选项D图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
3．计算的结果是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式减法运算法则直接求解即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：A．
4．如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三视图的知识，熟知主视图是从物体的正面看到的视图是解题的关键．按照主视图的定义逐项判断即可．
【详解】解：从正面看该几何体，下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方形，
故选：B．
5．已知点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　 　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．根据第一象限内点的坐标特点列出关于m的不等式组，求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：∵点在第一象限，
∴，
由①得，由②得，，
∴不等式组的解集为空集．
在数轴上表示为：
故选：D．
6．春节期间，走进影院看电影，成为不少家庭的新年俗．小华和小明分别从如图所示的四部春节档影片中随机选择一部观看，则小华和小明选择的影片相同的概率为（　 　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查概率，用树状图法表示出所有情况及需要情况求解即可得到答案．
【详解】解：把四部影片分别记作A，B，C，D，画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中小华和小明选择的影片相同的结果有4种，
∴小华和小明选择的影片相同的概率为．
故选：C
7．最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（　 　）
A．40cm B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：连接，过B作于D，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即机器狗正常状态下的高度为，
故选：D．
8．中国古代的《孙子兵法》中记载了一道广为人知的数学问题：
现有一百匹马，一百片瓦，大马一匹可以驮三片瓦，小马三匹可以驮一片瓦，
问有多少匹大马和多少匹小马？设有大马x匹，小马y匹，则下列方程正确的是（　 　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：
，
故选C．
9．如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，
与过点的切线相交于点，连接．若的半径为，，则的长是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查垂径定理、圆的切线的性质、相似三角形的性质及判定圆周角定理的推论等，根据垂径定理容易求，然后证明，可求得．
【详解】如图所示，连接．
因为是的直径，，
所以垂直平分线段，．
所以，．
所以．
因为是的切线，
所以．
所以．
又因为．
所以．
所以．
所以．
故选：C
10．已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与轴的交点和二次函数的性质，即可解答．
【详解】解：，
，
点，都在直线的上方，且，
可列不等式：，
，
可得，
设抛物线，直线，
可看作抛物线在直线下方的取值范围，
当时，可得，
解得，
，
的开口向上，
的解为，
根据题意还可列不等式：，
，
可得，
整理得，
设抛物线，直线，
可看作抛物线在直线下方的取值范围，
当时，可得，
解得，
，
抛物线开口向下，
的解为或，
综上所述，可得，
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11.二次根式有意义，则x的取值范围是__________．
【答案】
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴．
12．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1是蜜蜂的蜂巢，结构非常精巧，实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图2是由7个全等的正六边形组成的巢房截面图，一只蜜蜂随机落在如图2所示的某个巢房中，则落在阴影部分所在巢房中的概率为________．

【答案】
【分析】令每个正六边形的面积为a，得巢房截面图面积为，阴影部分的面积为，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：令每个正六边形的面积为a，
则巢房截面图面积为，阴影部分的面积为，
则落在阴影部分所在巢房中的概率为，
故答案为：．
13．将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，探究的值为 ．
【答案】/
【分析】如图作AH⊥CB交CB的延长线于H ，由，推出∠ACD=∠CAH，解直角三角形即可解决问题．
【详解】解：如图，作AH⊥CB交CB的延长线于H，
∠ABD=90°，∠DBC=45°，
∠ABH=45°，
∠AHB=90°，
是等腰直角三角形，
AH=BH，
设AH=BH=a，则AB=a， BD=a， BC=CD=a， CH=a+a，
∠AHB+∠DCB=90°+90°=180°，
AH// DC，
∠ACD=∠CAH，
tan∠ACD=tan∠CAH= ，
故答案为：．
14．为了解泰山庙社区20～60岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息估计该社区中20～60岁的居民约10000人，估算其中41﹣60岁的人中最喜欢现金支付方式的人数为 ．
【答案】1200人．
【分析】根据喜欢支付宝支付的人数÷其所占各种支付方式的比例＝参与问卷调查的总人数，由喜欢现金支付的人数（41～60岁）＝参与问卷调查的总人数×现金支付所占各种支付方式的比例﹣15，即可求出喜欢现金支付的人数（41～60岁），再用社区总人数乘以样本中41﹣60岁的人中最喜欢现金支付方式的人数所占比例即可．
【详解】解：∵参与问卷调查的总人数为（120+80）÷40%＝500（人），
∴41﹣60岁的人中最喜欢现金支付方式的人数500×15%﹣15＝60（人）．
则该社区41﹣60岁的人中最喜欢现金支付方式的人数为10000×＝1200（人），
故答案为：1200人．
15．如图，点，在反比函数的图象上，，的纵坐标分别是和，连接，，
则的面积是_______
【答案】9
【分析】本题考查了反比例函数的性质及的几何意义，设轴于点，轴于点，由题意求出，，则，，，由反比例函数的几何意义可得，，然后代入即可求值，熟练掌握反比例函数的性质和几何意义是解题的关键．
【详解】解：如图，设轴于点，轴于点，
∵，的纵坐标分别是和，
∴代入函数关系式可得横坐标分别为，，
∴，，
∴，，，
由反比例函数的几何意义可得，
∴，
故答案为：9
16．王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段、分别反映了小王和小张骑行所走的路程 S（千米）关于小张所用时间 t（分钟）的函数关系．根据图象提供的信息，小张比小王早到乙地的时间是 分钟．
【答案】12
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟悉掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．根据图象所给信息，利用待定系数法即可求出小王和小张路程的函数解析式，再把路程8代入即可求出小王和小张行走8千米的时间，作差即可．
【详解】解：由图象可知：
设的解析式为：，
∵经过点，
∴，得，
∴函数解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴小张到达乙地所用时间为48（分钟）；
设的解析式为：，
∴，
解得：，
∴的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴小张比小王早到乙地的时间是（分钟）．
故答案为：12．
三、解答题（本大题共9个小题，86分）解答时须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形。
17（8分）．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，零次幂和特殊角的余弦值，熟知相关知识点是解题的关键．
依次根据乘方的概念、二次根式的乘法运算法则、零次幂和角的余弦值计算即可．
【详解】解：
．
18（8分）．如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论．
【详解】证明：，
．
在和中，
，
，
．
19（8分）.先化简，再求值：，
并从，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值；
【答案】，；
【分析】本题主要考查了解分式方程和分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的a的值代入计算可得．
【详解】解：
，
∵且且，
∴当时，
则原式．
20（8分）．2026年3月25日是第31个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，
该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）
并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：
A：；B：；C：；D：；E：．
下面给出了部分信息：
a：C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79．
b：不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
求随机抽取的八年级学生人数；
(2) 扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为______度；
(3) 请补全频数直方图；
(4) 抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是______分；
(5) 该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，
请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数．
【答案】(1)60人
(2)90
(3)图见解析
(4)77
(5)390人
【分析】本题考查统计图的综合应用，求中位数，利用样本估计总体：
（1）A组人数除以所占的比例求出八年级学生人数即可；
（2）360度乘以B组所占的比例，进行求解即可；
（3）求出D组人数，补全直方图即可；
（4）根据中位数的确定方法进行求解即可；
（5）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【详解】（1）解：（人）；
（2）；
故答案为：90；
（3）D组人数为：；补全直方图如图：
（4）将数据排序后第30个和第31个数据分别为76，78，
∴中位数为：；
（5）（人）．
21（8分）．如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G．
(1)求的大小；
(2)求证：是等边三角形．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
（1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可；
（2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可．
【详解】（1）解：是等边三角形，
．
D是的中点，
．
，
，
．
（2）由平移可知：，
，
又，
，
∴，
又，
垂直平分，
，
由（1）知，，
，
，
是等边三角形．
22（10分）．2026马年央视春晚中；宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作；是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元．
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价．
(2)该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍；当购买A型机器人多少台时采购总费用最少？最少采购总费用是多少？
【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
(2)采购A型机器人3台时，采购费用最低，最低采购费用为960万元
【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据“买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元”列方程组求解即可；
（2）设购买A型机器人m台，则B型机器人台，总采购费用为万元，根据“B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍”列不等式求出，列出的函数关系式，再根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
得：，
解得：．
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购买A型机器人m台，则B型机器人台，总采购费用为万元，
根据题意得，
解得：，
根据题意可得，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取最小值，
此时万元，
答：采购A型机器人3台时，采购费用最低，最低采购费用为960万元．
23（10分）．如图1，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．
轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；
在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，
其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系
如图3所示（段是抛物线的一部分）．
轨道初段的总长为______；并求出小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，
与之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）．
① 若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，
求抛物线的函数关系式．
② 延长线段，如果直线与抛物线有且只有一个交点，且直线不与抛物线对称轴平行，
则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？
在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，
所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)40，
(2)①②是光滑连接
(3)存在，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）根据图3即可得到的总长，设与之间的关系式为，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①由题意，设抛物线的顶点坐标为，设出顶点式，把代入进行求解即可；②求出段的解析式，联立两个解析式，根据的值判断两个图象的交点情况，结合新定义，进行判断即可；
（3）假设存在，且小球第秒行至该段轨道的起点，则第秒行至该段轨道的终点，根据轨道段的长为，列出方程进行求解，再求出时的函数值即可．
【详解】（1）解：由图3可知：轨道初段的总长为；
故答案为：40；
设与之间的关系式为，
把代入，得：，
解得：，
∴；
（2）①由图3设抛物线的顶点坐标为，点在抛物线上，
∴，
把代入，得：，解得：或（舍去）；
∴；
②线段与抛物线是光滑连接；
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
令，整理，得：，
∴，
∴直线与抛物线有且只有一个交点，
∵的对称轴为直线，
∴与对称轴不平行，
∴线段与抛物线是光滑连接；
（3）存在，理由如下：
假设存在，且小球第秒行至该段轨道的起点，则第秒行至该段轨道的终点，由题意，得：，
解得：，
当时，；
故存在，求出这节轨道的起点与点A之间的距离．
24（13分）．如图，是的外接圆，点位于外一点，连接，，．交于点，
连接．已知．
如图，求证：．
如图，经过圆心，，．
① 求的值；
② 若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可；
（2）①连接，，利用全等三角形的判定与性质得到，利用圆的有关性质，等腰三角形的性质和平行线的性质得到，利用相似三角形的判定与性质得到，，利用直径所对的圆周角为直角的性质和直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；
②连接，，的延长线交于点，设的半径，则，利用（2）①的结论得到，利用三角形的中位线定理得到，再利用勾股定理列出关于的方程解答即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
．
，
；
（2）解：①连接，，如图，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
．
，
，
，
．
为圆的直径，
，
．
，
；
②连接，，的延长线交于点，如图，
设的半径为，则，
由（2）①知：，
，
由（2）①知：，
，
，，
，
为的中位线，
，
，
，，
，
，
．
55．在2025年春晚舞台上，有扭秧歌的宇树人形机器人和．它们身着大红棉袄、扭着秧歌转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的互动，成为“科技顶流”．为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，东莞某学校打算购买A，B两种型号的机器人模型用于教学．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
【答案】(1)A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元
(2)购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元
【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是关键．
（1）设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是．根据用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同．再建立方程求解即可；
（2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元，再列不等式求解m的范围，再根据建立的函数关系及其性质可得答案．
【详解】（1）解：设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是元．
根据题意，得，
解这个方程，得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．．
答：A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元．
（2）解：设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元，
由题意得：，解得．
，即，
，
随m的增大而增大．
当时，，此时．
答：购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元．
25（13分）.综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．
在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，
其中点，分别是点，的对应点．
(1)如图1，连接，，则的值为______．
(2)如图，当点恰好落在边上，连接交于点，连接，
①的长度为______．
②求证：，
(3)若直线，交于点，当时，请直接写出的长．
【答案】(1)
(2)①；②见解析
(3)或
【分析】（1）由旋转的性质得到，，，求得，根据相似三角形的性质得到；
（2）①根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到；
②如图1，过点作于点，由旋转可知，得到，根据平行线的性质得到，推出平分根据角平分线的性质得到由旋转可知，，根据全等三角形的性质得到；
（3）根据旋转的性质得到，，，求得，得到，得到为等边三角形，同理为等边三角形．如图，令与的交点为，根据三角函数的定义得到，如图，同理可得
【详解】（1）解：由旋转的性质知，，，
，
，
，
故答案为：；
（2）①解：四边形是矩形，
，，
，
，
故答案为：；
②证明：如图1，过点作于点，
由旋转可知，，
，
，
，
，
平分
又，，
由旋转可知，，
，，
，
；
（3）解：的长为或，理由如下，
由旋转得，，，
，
，
，
在四边形中，，
，
，
为等边三角形，
同理为等边三角形．
如图2，令与的交点为，
，，
，
，
如图3，同理可得，
综上所述，的长为或．
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2026年福建省厦门市九年级中考数学模考预测练习试题
（ 试卷满分：150分；考试时间：120分钟 ）
一、选择题：本大题有10个小题，每小题4分，共40分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．实数的相反数是（　 　）
A． B． C． D．
2．如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪开，能拼成下列四个图形，其中是中心对称图形的是（　 　）
A． B． C． D．
3．计算的结果是（　 　）
A． B． C． D．
4．如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（　 　）
A． B． C． D．
5．已知点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　 　）
A． B．
C． D．
6．春节期间，走进影院看电影，成为不少家庭的新年俗．小华和小明分别从如图所示的四部春节档影片中随机选择一部观看，则小华和小明选择的影片相同的概率为（　 　）
A． B． C． D．
7．最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（　 　）
A．40cm B． C． D．
8．中国古代的《孙子兵法》中记载了一道广为人知的数学问题：
现有一百匹马，一百片瓦，大马一匹可以驮三片瓦，小马三匹可以驮一片瓦，
问有多少匹大马和多少匹小马？设有大马x匹，小马y匹，则下列方程正确的是（　 　）
A． B．
C． D．
9．如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，
与过点的切线相交于点，连接．若的半径为，，则的长是（　 　）
A． B． C． D．
10．已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（　 　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11.二次根式有意义，则x的取值范围是__________．
12．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1是蜜蜂的蜂巢，结构非常精巧，实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图2是由7个全等的正六边形组成的巢房截面图，一只蜜蜂随机落在如图2所示的某个巢房中，则落在阴影部分所在巢房中的概率为________．

13．将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，探究的值为 ．
14．为了解泰山庙社区20～60岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息估计该社区中20～60岁的居民约10000人，估算其中41﹣60岁的人中最喜欢现金支付方式的人数为 ．
15．如图，点，在反比函数的图象上，，的纵坐标分别是和，连接，，
则的面积是_______
16．王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段、分别反映了小王和小张骑行所走的路程 S（千米）关于小张所用时间 t（分钟）的函数关系．根据图象提供的信息，小张比小王早到乙地的时间是 分钟．
三、解答题（本大题共9个小题，86分）解答时须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形。
17（8分）．计算：．
18（8分）．如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：．
19（8分）.先化简，再求值：，
并从，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值；
20（8分）．2026年3月25日是第31个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，
该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）
并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：
A：；B：；C：；D：；E：．
下面给出了部分信息：
a：C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79．
b：不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
求随机抽取的八年级学生人数；
(2) 扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为______度；
(3) 请补全频数直方图；
(4) 抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是______分；
(5) 该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，
请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数．
21（8分）．如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G．
(1)求的大小；
(2)求证：是等边三角形．
22（10分）．2026马年央视春晚中；宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作；是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元．
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价．
(2)该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍；当购买A型机器人多少台时采购总费用最少？最少采购总费用是多少？
23（10分）．如图1，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．
轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；
在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，
其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系
如图3所示（段是抛物线的一部分）．
轨道初段的总长为______；并求出小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，
与之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）．
① 若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，
求抛物线的函数关系式．
② 延长线段，如果直线与抛物线有且只有一个交点，且直线不与抛物线对称轴平行，
则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？
在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，
所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．
24（13分）．如图，是的外接圆，点位于外一点，连接，，．交于点，连接．已知．
如图，求证：．
如图，经过圆心，，．
① 求的值；
② 若，求的半径．
25（13分）.综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．
在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，
其中点，分别是点，的对应点．
(1)如图1，连接，，则的值为______．
(2)如图，当点恰好落在边上，连接交于点，连接，
①的长度为______．
②求证：，
(3)若直线，交于点，当时，请直接写出的长．
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