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【贵州卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第15~16题(含答案解析)
一、原题15
1．一元二次方程x2﹣49＝0的根是　 　．
二、变式1基础
2．一元二次方程的根是　 　．
3．一元二次方程x2﹣4=0的解是.　 　
4．方程的根是　 　．
三、变式2巩固
5．写出方程的解　 　．
6．方程的解为　 　.
7．一元二次方程x2=9的解是　 　．
四、变式3提高
8．对于两个不相等的实数，，规定表示，中较大的数，例如．则方程的解为　 　．
9．一元二次方程配方后可变形为　 　．
10．规定： ，如： ，若 ，则 ＝　 　.
五、原题16
11．如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为　 　．
六、变式1（基础）
12．如图，矩形中，对角线相交于点，若，，则的长度为　 　．
13．如图，矩形 的对角线 ， 则 的长为　 　．
14．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是　 　．
七、变式2（巩固）
15．如图是一张矩形纸片，点E在边上，把沿直线对折，使点B落在对角线上的点F处，连接．若点D、E、F在同一条直线上，，则　 　．
16．如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点的对应点分别为与相交于点，的延长线过点．若，则的值为　 　．
17． 如图，把一张矩形纸片ABCD沿 BE折叠，点A 的对应点为F，EF交 BD于点 G.若点 G为EF的中点，BF平分∠DBC，则=　 　.
八、变式3（提高）
18．如图1，将一张等腰三角形纸片ABC沿虚线剪开，得到两个全等的三角形和两个全等的四边形小纸片.小博按图2方式拼接，恰好拼成一个不重叠、无缝隙的矩形；小雅按图3方式拼接，也拼出一个矩形FHIK，但由于两个四边形纸片有重叠（阴影）部分，整个面积减少了5cm2.若AE：DE=5∶3，则tanC=　 　，矩形FHIK的面积为　 　cm2.
19．小明在一次拼图游戏中，发现了一个很神奇的现象：他先用图形①②③④拼出矩形ABCD；接着拿出图形⑤，通过平移的方法，用①②③④⑤拼出了矩形ABMN.已知AE：EO=2：3，图形④的面积为15，则增加的图形⑤的面积为　 　；当OC=3.5，EH=4时tan∠BAO=　 　.
20．如图，折叠边长为4cm的正方形纸片，折痕是，点落在点处，分别延长、交于点、，若点是边的中点，则　 　cm.
答案解析部分
1．【答案】±7
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 一元二次方程x2﹣49＝0，
∴x2=49，
解得：x=±7，
故答案为：±7.
【分析】利用直接开平方法解方程求解即可。
2．【答案】，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程 变形为 ，
开平方得，即， .
【分析】利用平方差公式或直接开方法解一元二次方程，将方程转化为 后，根据平方根的定义求解，关键是掌握直接开方法的运用.
3．【答案】x=±2
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】移项得x2=4，
∴x=±2.
故答案是：x=±2.
【分析】观察方程的特点：缺一次项，因此利用直接开平方法解方程。
4．【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，即
∴
故答案为：
【分析】利用直接开方法求解一元二次方程即可。
5．【答案】，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴，
解得：，
故答案为：，．
【分析】用直接开平方法求解一元二次方程，两边同时开平方，要取正负两个根．
6．【答案】，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项可得，x2=16
两边同时开方可得，x=±4
故答案为：，
【分析】移项，再直接开方即可求出答案.
7．【答案】x=±3
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】x2=9，解得：x=±3
故答案为：x=±3
【分析】根据题意直接运用开平方法解一元二次方程，进而即可求解。
8．【答案】，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式；分类讨论
【解析】【解答】解：当时，
即当时，
则，
整理，得：，
即：，
解得：，（不合题意，故舍去）；
当时，
即当时，
则，
整理，得：，
即：，
解得：，（不合题意，故舍去）；
故答案为：，．
【分析】分类讨论：①当时，解不等式求出x的取值范围，同时得出关于x的方程2x=x2-4，利用配方法求解并检验得出符合题意的x的值；②当时，解不等式求出x的取值范围，同时得出关于x的方程x+2=x2-4，利用因式分解法求解并检验得出符合题意的x的值，综上可得答案.
9．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
【分析】按照移项、化二次项系数为1、配方、写成标准形式的步骤求解即可。
10．【答案】1或-3
【知识点】配方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】依题意得：（2+x）x=3，
整理，得 x2+2x=3，
所以 （x+1）2=4，
所以x+1=±2，
所以x=1或x=-3.
故答案是：1或-3.
【分析】根据a b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可.
11．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q，
∵BE=2CF，CF=2，
∴BE=4，
∵矩形ABCD，
∴AN=CN=BN=DN，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BAC=30°，∠BAC=∠NCF=30°，
∵H是DE的中点，
∴HN是△BDE的中位线，
∴HN∥BE， HN== 2 ，
∴∠ABD=∠HNQ=30°，
∴ HQ ==1 ，
∵HN∥AB，AB∥CD，
∴HN∥CF，
∵HN=CF=2，
∴四边形HFCN是平行四边形，
∴∠NCF=∠NHG=30°，而HQ⊥BD，∠HNQ=30°，
∴∠HGQ=60°，
∴∠GHQ=30°，
∴ cos∠GHQ=cos30 °==，
∴ HG=1÷=，
故答案为：．
【分析】 如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q，求解BE=4，证明HN是△BDE的中位线，可得HN∥BE，HN == 2，HQ==1，证明四边形HFCN是平行四边形，可得∠NCF=∠NHG=30°，而HQ⊥BD，∠HNQ=30°，求解∠GHQ=30°，再进一步求解即可。
12．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先由矩形的四个内角都是直角得∠ABC=90°，根据含30度角的直角三角形的性质得AC=2AB=4，再利用勾股定理求出BC的长即可．
13．【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°-∠AOD=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=AC=4cm，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=OA=4cm.
故答案为：4.
【分析】由邻补角定义求出∠AOB=60°，由矩形对角线相等且互相平分得OA=OB=AC=4cm，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABO是等边三角形，最后根据等边三角形的三边相等可得AB的长.
14．【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；补角
【解析】【解答】解：∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝2，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴AC＝2AO＝4
故答案为：4．
【分析】根据补角可得∠AOB，再根据矩形性质可得∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，则OA＝OB，根据等边三角形判定定理可得△AOB是等边三角形，则OA＝OB＝AB＝2，即AC＝2AO＝4即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，
∴，
∵四边形ABCD是矩形
∴CD∥AB
∴∠DCE=∠CEB
∴∠DCE=∠DEC
∴CD=DE
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴△AEF∽△CDF
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查矩形的性质，翻折的性质，平行线的性质、等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，熟知翻折的性质与平行线分线段成比例定理是解题关键．
根据折叠的性质可知：BE=EF，∠BEC=∠ECF，根据矩形的性质：对边平行可知：CD∥AB，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠DCE=∠CEB，等量代换得：∠DCE=∠DEC，再根据等腰三角形的判定定理：等角对等边可知：CD=DE，设，则，结合CD∥AB可知：△AEF∽△CDF，再根据相似三角形的性质：对应边成比例可知：，代入数据，列出关于x的方程，解得x的值即可得出答案．
16．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，连接CE，
∵，
∴设BF=2，GC=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，
∵点E是AD的中点，
∴AE=ED，
由折叠得AE=A'E，BF=B'F=2，AB=A'B'，∠EA'B'=∠A=90°，
∴A'E=DE，
在Rt△CDE与Rt△CA'E中，A'E=DE，CE=CE，
∴Rt△CDE≌Rt△CA'E(HL)，
∴CD=A'C，
∴CA'=A'B'，
∵A'E∥B'F，
∴，
∴CG=FG=3，
∴BC=BF+FG+GC=8，CF=FG+GC=6，
在Rt△CFB'中，，
∴A'B'=AB=，
∴.
故答案为：.
【分析】连接CE，由题意可设BF=2，GC=3，根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，根据折叠性质可得AE=A'E，BF=B'F=2，AB=A'B'，∠EA'B'=∠A=90°，从而用HL证Rt△CDE≌Rt△CA'E，根据全等三角形的性质得CD=A'C=A'B'，由平行线分线段成比例定理得，则CG=FG=3，进而在Rt△CFB'中，用勾股定理算出CB'，此题就得解了.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：延长EF交BC于点H，设EG=y，DG=x，
根据折叠的性质，可得AB=BF，∠A=∠BFG=90°=∠BFH，AE=EF，
∵BF平分∠DBC，
∴∠FBG=∠FBH=∠DBC，
在△BFG与△BFH中，
∴△BFG≌△BFH（ASA），
∴FG=FH，
∵G为EF的中点，
∴GE=GF，
∴GF=FH=y，
∴AE=EF=2y，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴EG：GH=DG：BG=DE：BH，
∴y：(y+y）=x：BG，解得BG=2x，
∴BH=BG=2x，
∴DE：2x=y：2y，解得DE=x.
∴AD=AE+DE=2y+x=BC.
∴，
，
∵AB=BF，
∴AB2=BF2，
∴，解得y=-2x(舍去)或3y=2x.
∴.
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】设EG=y，DG=x，先利用ASA证明△BFG≌△BFH，再根据矩形的性质，得出AD//BC，AD=BC，根据平行线截的线段成比例，列出比例式求出BG=2x，再利用勾股定理，分别求出AB2，BF2，根据AB2=BF2，求出x与y的关系，再求出.
18．【答案】；
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图1，设水平虚线与AC、AB分别交于G，L，
∵ AE：DE=5∶3 ，
∴AE：AD=5：8，
∵GE∥CD，
∴GE：CD=AE：AD=5：8，∠AGE=∠C，
设GE=5x，CD=8x，
由图2知：RS=AG=EG+CD=13x，
∴AE==12x，
∴ tanC = tan∠AGE=.
∵GE∥CD，AG=13x，AE=12x，
∴AG：GC=AE：DE=5∶3 ，
∴GC=x，DE=x，
根据图1和图2得QR=GC=x，RN=GE=5x，QM=AE=12x，
∴QN=QR+RN=x，FK=FO+OK=x，
∵矩形MQNS的面积=矩形FHIK的面积+5，
∴QM·QN=FH·FK+5，即12x·x=12x·x，
解得x=，
∴FH=10，FK=，
∴矩形FHIK的面积=FH·FK=.
故答案为：，.
【分析】如图1，设水平虚线与AC、AB分别交于G，L，由平行线分线段成比例可得GE：CD=AE：AD=5：8，∠AGE=∠C，设GE=5x，CD=8x，利用勾股定理求出AE=12x，根据tanC = tan∠AGE=即可求解.由AG：GC=AE：DE=5∶3 ，可求出GC、DE，根据图1和图2得QR=GC=x，RN=GE=5x，QM=AE=12x，从而得出QN=QR+RN=x，FK=FO+OK=x，根据矩形MQNS的面积=矩形FHIK的面积+5建立关于x方程并解之，即可求FH、FK的长，利用矩形FHIK的面积=FH·FK即可求解.
19．【答案】；
【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；求正切值
【解析】【解答】解：设DF=2x，在图1中，
图1
∵AD//EF//BC，
∴.
∴CF=3x.
∴AB=DF+CF=5x.
在图2中，
图2
TQ=2x，QM=2x，
∴MN=AB=5x.
∴AN=MN-TQ-QM=x.
∵图形⑤的面积与图形④的面积同宽，
∴图形⑤的面积为15
设DG=a，
∴AG=PQ=OC+FH=3.5+a，
AN=BM=EH+FH+DG=2a+4.
∴OB=2a.
∵图形④的面积为15，
∴DF·DG=15.
∴2ax=15，
∵S梯形AOCD+=S梯形AOMN，
∴.
∴，解得x=3，
∴2a·3=15，解得.
∴AB=15，OB=5.
∴ tan∠BAO=
故答案为：；．
【分析】设DF=2x，根据平行线分线段成比例定理，可用x表示出CF，进而可用x表示出AB、TQ和QM，从而可用x表示出MN与AN，根据图形⑤的面积与图形④的面积同宽，可求得图形⑤的面积；
设DG=a，则可用a表示出AG与AN，从而可用a表示出OB，根据图形④的面积为15，可得到关于a、x的一个关系式，再根据S梯形AOCD+=S梯形AOMN，可求得x，从而可求得a，再利用正切的意义求出 tan∠BAO .
20．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴
∵点M为BC的中点，
∴
由折叠得，∠
∴∠，
设则有
∴
又在中，，
∵
∴
∴
在中，
∴
解得，（舍去）
∴
∴
∴
∵∠
∴∠
∴∠
又∠
∴△
∴即
∴
故答案为：
【分析】连接DF，利用正方形的性质，可证得∠A=∠B=∠C=∠CDA=90°，利用线段中点的定义可求出BM，CM的长；利用折叠的性质可得到ME，DE的长，同时可证得∠DEM=90°，设FE=x，利用勾股定理建立关于x的方程，可表示出DF2，从而可表示出FB的长，再表示出AF的长；在Rt△DAF中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，可得到FE，FM，FB的长；然后证明△FEG∽△FBM，利用相似三角形的对应边成比例，可求出FG的长.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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