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(共65张PPT)
1 两条直线的位置关系
第二章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
第二章 相交线与平行线
第1课时 对顶角、余角和补角
目录页
讲授新课
当堂练习
课堂小结
新课导入
新课导入
教学目标
教学重点
1.理解对顶角、余角、补角的概念；
2.掌握对顶角、余角、补角的性质，并能运用它们的
性质进行角的运算及一些实际问题.（重点、难点）
学习目标
北京立交桥
相交线
平行线
新课导入
生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁.在大自然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相交线和平行线.
在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.
讲授新课
典例精讲
归纳总结
如图，直线AB与CD相交于点O，∠1和∠2的位置有什么关系？
2
1
A
B
C
D
O
3
4
对顶角的概念及性质
一
探究一:
1.有公共顶点，
2.两边互为反向延长线.
讲授新课
直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角.
请你观察图中∠1和∠2这组对顶角，你发现它们的大小有什么关系
2
1
A
B
C
D
O
探究二:
∠1=∠2
对顶角相等
如图，直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶点O，并且它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角.∠2和∠4也是对顶角.
对顶角：
A
O
C
B
D
1
3
2
4
总结归纳
对顶角相等
对顶角的性质：
例1 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
1
2
C
1
2
D
D
1
2
A
1
2
B
典例精析
方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，
只有两条直线相交时，才能构成对顶角．
例2 如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数.
解：因为∠1＝40°，
∠BOC＝110°(已知)，
所以∠BOF＝∠BOC－∠1
＝110°－40°＝70°.
因为∠BOF＝∠2(对顶角相等)，
所以∠2＝70°(等量代换)．
注意：隐含条件“对顶角相等”.
3
4
一般地，如果两个角的和是180°(平角)，那么称这两个角互为补角(简称互补).可以说∠3是∠4的补角或∠4是∠3的补角.
定义：
补角和余角的概念
二
2
1
一般地，如果两个角的和是90°(直角)，那么称这两个角互为余角(简称互余).可以说∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角.
定义：
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
5°
32°
45°
77°
62°23′
27°37′
117°37′
85°
175°
58°
148°
45°
135°
103°
13°
x°(x<90)
90° x°
180° x°
观察可得结论：
同一个锐角的补角比它的余角大________.
做一做
90°
图1
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图2
如图1，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图1简化成图2，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2.
补角和余角的性质
三
小组合作交流，解决下列问题：在图2中
问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？
问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？
问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
因为∠1= ∠2，
∠1+∠AOC=180°,
∠ 2+∠BOD=180°，
所以∠AOC=∠BOD.
同角(或等角)的补角相等
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图2
因为∠1= ∠2，
∠ 1+∠3=90° ,
∠ 2+∠4=90°，
所以 ∠ 3=∠4.
同角(或等角)的余角相等
归纳总结：同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等.
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图2
例3 如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝
90°，OM、ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，
∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．
解：∵∠AOB与∠COM互补，
∴∠AOB＋∠COM＝180°，
即∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝180°.
∵∠COB＝90°，
∴∠AOB＋∠BOM＝90°.
∵OM是∠AOB的平分线，
∴∠BOM＝ ∠AOB，即∠AOB＋ ∠AOB＝90°，解得∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°.
∵ON平分∠AOC得∠AON＝ ∠AOC
＝ ×150°＝75°.
由角的和差，
∴∠BON＝∠AON－∠AOB
＝75°－60°＝15°.
当堂练习
当堂反馈
即学即用
1.如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数.你能说出所量角是多少度吗？你的根据是什么？
解：40°，
根据是对顶角相等．
当堂练习
2.判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角，并说明
理由？
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
√
×
×
×
×
×
3.图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
4.图中给出的各角，哪些互为余角？
15o
24o
66o
75o
46.2o
43.8o
5.如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与
∠AOC互余的角有__________________.
∠BOC和 ∠AOD
6.如图已知：直线AB与CD交于点O, ∠EOD=900,
回答下列问题：
（1）∠AOE的余角是 ；补角是 ；
（2）∠AOC的余角是 ；补角是 ；
对顶角是 ；
C
A
B
D
O
E
∠AOC
∠BOE
∠AOE
∠BOC
∠BOD
7.如图,∠COD=∠EOD=90°, C、O、E在一条直线上, 且∠2= ∠4, 请说出∠1与∠3之间的关系 并试着说明理由
O
∠1与∠3相等
(等角的余角相等).
8.若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数.
解：设这个角是x°，则它的补角是(180°－x°),
余角是(90°－x°) .
根据题意，得180°－x°= 4 (90°－x°).
解得 x=60.
答：这个角的度数是60 °.
9.要测量两堵墙所成的角的度数，但人不能进入
围墙，如何测量？
A
B
O
C
D
你能想到几种方法？
课堂小结
归纳总结
构建脉络
互余 互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
同角（或等角）的余角相等
同角（或等角）的补角相等
对顶角性质：对顶角相等.
课堂小结
1 两条直线的位置关系
第二章 相交线与平行线
第2课时 垂 直
目录页
讲授新课
当堂练习
课堂小结
新课导入
新课导入
教学目标
教学重点
1.了解垂直的有关概念、性质及垂线的画法，了解点到直线的距离的概念；
2.能够运用垂直的有关性质进行运算，并解决实际
问题.（重点、难点）
学习目标
情境引入
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
新课导入
日常生活中，如图中的两条直线的关系很常见，你能再举出其他例子吗？
讲授新课
典例精讲
归纳总结
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的
位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
垂线的概念
一
讲授新课
a
b
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直.
垂足
垂 线
垂
线
知识要点
定义：在两条直线AB和CD相交所成的4个角中，
如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直；
记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”；其中
一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点O
叫作垂足．如图.
例1 如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
解：∵∠BOE＝∠NOE，
∴∠BON＝2∠EON＝40°，
∴∠NOC＝180°－∠BON
＝180°－40°＝140°，
∠MOC＝∠BON＝40°.
∵AO⊥BC，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，
∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
活动1：
如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
活动2：
折一折，试一试
你能用纸折出两条互相垂直的直线吗
问题:
(1)画已知直线l的垂线能画几条
(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能
画几条
(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能
画几条
垂线的画法及基本事实
二
A
.B
l
.
问题：这样画l的垂线可以画几条？
1.放
2.靠
3.画
l
O
如图，已知直线 l,作l的垂线.
A
无数条
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
问题：这样画l的垂线可以画几条？
一条
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
根据以上操作，你能得出什么结论
垂线的性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意：
1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可
以在已知直线外；
2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指
唯一性.
总结归纳
C
D
E
l
点到直线的距离
三
1.线段AB, AC, AD , AE谁最短？
2.你能用一句话表示这个结论吗？
说一说：
如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
B
A
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短
线段AD的长度叫作点A到直线l的距离.
总结归纳
特别规定：
D
l
A
例2 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
m
垂线段最短
当堂练习
当堂反馈
即学即用
1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能
判定两条直线垂直的是( )
A. 有两个角相等
B.有两对角相等
C. 有三个角相等
D.有四对邻补角
C
当堂练习
2.过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ ）
A B C D
C
4.找出图中互相垂直的线段：
AO ⊥ CO
BO ⊥DO
A
B
C
D
O
3.如图, AC⊥BC, ∠C=90° ,线段AC、BC、CD中最短
的是 ( )
A. AC B. BC
C. CD D. 不能确定
D
A
B
C
C
5.（1）如图，若直线m、n相交于点O，∠1＝
90°，则 ；
（2）若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，
那么∠BOD = _________；
（3）如图，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数
之比为1:5，那么∠COA＝_____,∠BOC的
补角为 .
O
m
n
1
B
C
A
O
m⊥n
90°
72°
162°
6.下列说法正确的是（ ）
A.线段AB叫做点B到直线AC的距离
B.线段AB的长度叫作点A到直线AC的距离
C.线段BD的长度叫作点D到直线BC的距离
D.线段BD的长度叫作点B到直线AC的距离
A
B
C
D
D
7.如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射
线，若∠1＝35°,∠2＝55°，则OE与AB的位置关
系是 .
C
A
B
O
E
1
2
D
垂直
8.已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A.相等 B.互余
C.互补 D.互为对顶角
A
B
C
D
E
F
O
1
2
D
课堂小结
归纳总结
构建脉络
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.
1.垂线的定义
2.垂线的画法
3.垂线的性质
(1)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直
线垂直.
(2)垂线段最短.
4.点到直线的距离
课堂小结

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