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3 探索三角形全等的条件
第四章 三角形
3 探索三角形全等的条件
第1课时 边边边（SSS）
第四章 三角形
目录页
讲授新课
当堂练习
课堂小结
新课导入
新课导入
教学目标
教学重点
1.了解三角形的稳定性，掌握三角形全等的“SSS”
判定，并能应用它判定两个三角形是否全等；
（重点）
2.已知三边会作三角形．(重点，难点)
3.由探索三角形全等条件的过程，体会由操作、归
纳获得数学结论的过程．（难点）
学习目标
A
B
C
D
E
F
1. 什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
3.已知△ABC ≌△DEF，找出其中相等的边与角.
①AB=DE
③ CA=FD
② BC=EF
④ ∠A= ∠D
⑤ ∠B=∠E
⑥ ∠C= ∠F
2. 全等三角形有什么性质？
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
新课导入
如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC≌△DEF吗
想一想：
即：三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等．
讲授新课
典例精讲
归纳总结
探究活动1：一个条件可以吗？
（1）有一条边相等的两个三角形
不一定全等
（2）有一个角相等的两个三角形
不一定全等
结论：
有一个条件相等不能保证两个三角形全等.
讲授新课
三角形全等的判定（“边边边”）
6cm
300
有两个条件对应相等不能保证两个三角形全等.
60o
300
不一定全等
探究活动2：两个条件可以吗？
3cm
4cm
不一定全等
300
60o
3cm
4cm
不一定全等
30o
6cm
结论：
（1）有两个角对应相等的两个三角形
（2）有两条边对应相等的两个三角形
（3）有一个角和一条边对应相等的两个三角形
结论:三个内角对应相等的两个三角形不一定全等.
（1）有三个角对应相等的两个三角形
60o
30°
30°
60o
90o
90o
探究活动3：三个条件可以吗？
3cm
4cm
6cm
4cm
6cm
3cm
（2）三边对应相等的两个三角形会全等吗？
先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′ ,使A′B′= AB ,B′C′ =BC, A′ C′ =AC.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，他们全等吗？
A
B
C
A ′
B′
C′
想一想：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？
作法：
（1）画B′C′=BC；
（2）分别以B',C'为圆心，线段AB,AC长为半径画圆，两弧相交于点A'；
（3）连接线段A'B',A 'C '.
文字语言：三边分别相等的两个三角形全等.
（简写为“边边边”或“SSS”）
知识要点
“边边边”判定方法
A
B
C
D
E
F
在△ABC和△ DEF中，
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）.
AB=DE，
BC=EF，
CA=FD，
几何语言：
知识要点
已知三角形的三边，用尺规作这个三角形
作法 示范
1.作一条线段BC=a.
2.分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A.
3.连接AB，AC.△ABC就是所要作的三角形.
作法与示范：
如图，已知线段a，b，c，用尺规作△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a.
a
b
c
B
C
B
C
C
A
B
例1 如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，AD 是连接点A与BC 中点D 的支架．试说明：△ABD ≌△ACD ．
C
B
D
A
解题思路：
先找隐含条件
公共边AD
再找现有条件
AB=AC
最后找准备条件
BD=CD
D是BC的中点
解：∵ D 是BC的中点，
∴　BD =DC．
在△ABD 与△ACD 中，
∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
C
B
D
A
AB =AC (已知）
BD =CD （已证）
AD =AD （公共边）
准备条件
指明范围
摆齐根据
写出结论
例2
如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，
CB＝CD.试说明：∠B＝∠D.
在图中没有三角形，只有
连接AC，将∠B和∠D分
别放在两个三角形中，
通过说明两个三角形全等
来说明∠B和∠D相等．
导引：
如图，连接AC，在△ABC和△ADC中，
因为AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，
所以△ABC≌△ADC(SSS)．
所以∠B＝∠D.
解：
1.　如图，下列三角形中，与△ABC全等的是(　　)
C
练一练
2.
如图，已知AB＝AC，AE＝AD，点B，D，E，C在同一条直线上，要利用“SSS”推理得出△ABE≌△ACD，还需要添加的一个条件可以是(　　)
A．BD＝DE
B．BD＝CE
C．DE＝CE
D．以上都不对
B
3.
如图，已知AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB，下列结论：
①∠C＝∠B；②∠D＝∠E；③∠EAD＝∠BAC；④∠B＝∠E. 其中错误的是(　　)
A．①②
B．②③
C．③④
D．只有④
D
4.如图，已知线段a，b，用尺规作△ABC，使AB=b，BC=AC=a．
解：如图所示，△ABC即为所求.

5.如图, C是BF的中点，AB =DC,AC=DF.
试说明:△ABC ≌ △DCF.
在△ABC 和△DCF中，
AB = DC，
∴ △ABC ≌ △DCF
(已知)
(已证)
AC = DF，
BC = CF，
解：∵C是BF的中点，
∴BC=CF.
(已知)
(SSS).
已知: 如图,点B、E、C、F在同一直线上 , AB = DE ,
AC = DF ,BE = CF .
试说明: （1）△ABC ≌ △DEF；
（2）∠A=∠D.
解:
∴ △ABC ≌ △DEF ( SSS ).
在△ABC 和△DEF中，
AB = DE，
AC = DF，
BC = EF，
(已知)
(已知)
(已证)
∵ BE = CF，
∴ BC = EF.
∴ BE+EC = CF+CE，
（1）
（2）∵ △ABC ≌ △DEF（已证），
∴ ∠A=∠D（全等三角形对应角相等）.
E
动手做一做
1.将三根木条用钉子钉成一个三角形木架.
2.将四根木条用钉子钉成一个四边形木架.
讲授新课
三角形的稳定性
请同学们看看:三角形和四边形的模型,扭一扭模型,它们的形状会改变吗
不会
会
1.三角形具有稳定性.
2.四边形没有稳定性.
发现
理解“稳定性”
“只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫作“三角形的稳定性”.
这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.
例3
空调安装在墙上时，一般都会按如图所示的方法固定
在墙上，这种方法应用的数学知识是_______________．
空调支架的形状是三角形，
易知应用了三角形的稳定性．
导引：
三角形的稳定性
5.
王师傅用4根木条钉成一个四边形木架如图所示．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？(　　)
A．0根
B．1根
C．2根
D．3根
B
练一练
当堂练习
当堂反馈
即学即用
△ABC≌ （SSS）.
（1）如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由.
解： △ABC≌△DCB.
理由如下：
AB = CD,
AC = BD,
=
（2）如图，D、F是线段BC上的两点，
AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD ，
还需要条件_________________.
BC
CB
△DCB
BF=CD
1.填空题：
A
B
C
D
=
=
A
E
B D F C
=
=
或 BD=FC
当堂练习
2.如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了 ( )
A.节省材料,节约成本
B.保持对称
C.利用三角形的稳定性
D美观漂亮
C
3.
如图是5×5的正方形网格，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形可以作出(　　)
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
（来自《典中点》）
B
4.已知AC=AD,BC=BD,试说明：AB是∠DAC的平分线.
AC=AD( )，
BC=BD( )，
AB=AB( )，
∴△ABC≌△ABD( )，
∴∠1=∠2
∴AB是∠DAC的平分线
A
B
C
D
1
2
（全等三角形的对应角相等），
已知
已知
公共边
SSS
（角平分线定义）.
解:在△ABC和△ABD中，
课堂小结
归纳总结
构建脉络
三边分别相等的两个三角形
三角形全等的“SSS”判定：三边分别相等的两个三角形全等.
三角形的稳定性：三角形三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了.
课堂小结
3 探索三角形全等的条件
第2课时 角边角（ASA）或角角边（AAS）
第四章 三角形
目录页
讲授新课
当堂练习
课堂小结
新课导入
新课导入
教学目标
教学重点
1．探索并正确理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”．
2．已知两角及其夹边会作三角形．(重点，难点)
3．会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”证明两个三角形全等．
学习目标
如图,小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗 如果可以,带哪块去合适
你能说明其中理由吗
3
2
1
新课导入
讲授新课
典例精讲
归纳总结
问题：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
A
B
C
A
B
C
图一
图二
“两角及夹边”
“两角和其中一组等角的对边”
它们能判定两个三角形全等吗？
讲授新课
三角形全等的判定（“角边角”）
作图探究
先任意画出一个△ABC，再画一个△A ′ B ′ C ′ ， 使A ′ B ′ =AB， ∠A ′ =∠A， ∠B ′ =∠B (即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A ′ B ′ C ′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
A
C
B
A
C
B
A′
B′
C′
E
D
作法：
（1）画A'B'=AB;
（2）在A'B'的同旁画∠DA'B '=∠A，∠EB'A '=∠B，A'D，B'E相交于点C'.
想一想：从中你能发现什么规律？
知识要点
“角边角”判定方法
文字语言：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.
几何语言：
∠A=∠A′ （已知），
AB=A′ B′ （已知），
∠B=∠B′ （已知），
在△ABC和△A′ B′ C′中，
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）.
A
B
C
A ′
B ′
C ′
如图，已知 ， ，线段c，用尺规作△ABC，使∠A=
，∠B= ，AB=c.
c
已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这个三角形
知识要点
请按照给出的作法作出相应的图形．
作法 图形
（1）作 ；
A
F
（2）在射线AF上截取线段AB=c；
C
D
B
A
D
F
A
B
D
F
（3）以B为顶点，以BA为一边，
作 ，BE交AD于点C．
△ABC就是所求作的三角形．
E
例1 如图，已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，
试说明：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知），
解：
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
B
C
A
D
判定方法：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
例2
如图，已知AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.试说明：BC＝ED.
要说明BC＝ED，需说明
它们所在的三角形全等，
由于∠B＝∠E，AB＝AE，
因此需说明∠BAC＝∠EAD，
即需说明∠BAD＋∠1＝∠BAD＋∠2，易知成立．
导引：
因为∠1＝∠2，
所以∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，
即∠BAC＝∠EAD.
在△BAC和△EAD中，因为
所以△BAC≌△EAD(ASA)．
所以BC＝ED.
解：
练一练
1.
如图，AB∥FC，DE＝EF，AB＝15，CF＝8，则BD等于(　　)
A．8
B．7
C．6
D．5
B
2.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C,试说明：AD=AE.
A
B
C
D
E
分析：证明△ACD≌△ABE,就可以得出AD=AE.
解：在△ACD和△ABE中，
∠A=∠A（公共角 ），
AC=AB（已知），
∠C=∠B （已知 ），
∴ △ACD≌△ABE（ASA)，
∴AD=AE.
3.
如图，已知：∠α，∠β＝90°，线段a.
求作：Rt△ABC，使∠B＝∠α，∠C＝∠β，BC＝2a.
(不写作法，保留作图痕迹)
根据题意先画出草图，可
知原题可转化为已知两角
及其夹边，求作三角形的
问题．先画线段BC＝2a，再以B为顶点，BC为一边，
作∠B＝∠α，以C为顶点，BC为一边，在CB的同
侧，作∠C＝∠β，交∠B的另一边于A点．
导引：
如图所示，△ABC即为所求．
解：
问题：若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗
60°
45°
讲授新课
用“角角边”判定三角形全等
60°
45°
思考：
这里的条件与1中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为1中的条件吗？
75°
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.
归纳总结
∠A=∠A′（已知），
∠B=∠B′ （已知），
AC=A′C ′（已知），
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （AAS）.
A
B
C
A ′
B ′
C ′
例3 如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝ ∠E，BC=EF.试说明：△ABC≌△DEF．
∠B＝∠E，
BC＝EF，
∠C＝∠F.
解：
在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°.
∴△ABC≌△DEF（ASA ）.
∴ ∠C＝180°－∠A－∠B.
同理 ∠F＝180°－∠D－∠E.
又 ∠A＝∠D，∠B＝ ∠E,
∴ ∠C＝∠F.
在△ABC和△DEF中，
例4
如图，在四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE.
试说明：△ABC与△DEC全等．
如图，因为∠BCE＝∠ACD＝90°，
所以∠3＋∠4＝∠4＋∠5.
所以∠3＝∠5.
在△ACD中，∠ACD＝90°，
所以∠2＋∠D＝90°.
因为∠BAE＝∠1＋∠2＝90°，
所以∠1＝∠D.
在△ABC和△DEC中，
所以△ABC≌△DEC（AAS).
解：
4. 如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.试说明：(1)△BDA≌△AEC；
解：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°.
∵AB⊥AC，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∠ABD＝∠CAE.
在△BDA和△AEC中，
∠ADB=∠CEA=90°，
∠ABD＝∠CAE,
AB＝AC，
∴△BDA≌△AEC(AAS).
练一练
(2)DE＝BD＋CE.
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
解：∵△BDA≌△AEC,
方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
当堂练习
当堂反馈
即学即用
1. △ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使△ABC≌△DEF ，则下列补充的条件中错误的是（ ）
A．AC＝DF B．BC＝EF
C．∠A＝∠D D．∠C＝∠F
2. 在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69° ，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形（　）
A．一定不全等　 B．一定全等　 　
C．不一定全等　　 D．以上都不对
A
B
当堂练习
3.　如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中一定和△ABC全等的是(　　)
A．甲、乙　　
B．甲、丙　　
C．乙、丙　　
D．乙
C
4. 如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.
不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边.
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
5.如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一个条件 ，才能使△ABC≌△DEF （写出一个即可）.
∠B=∠E
或∠A=∠D
（ASA）
（AAS）
AB=DE可以吗？
×
AB∥DE
6.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2,
试说明：AB=AD.
A
C
D
B
1
2
解： ∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
∴ ∠ B=∠D=90 °.
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2 （已知），
∠ B=∠D（已证），
AC=AC （公共边），
∴ △ABC≌△ADC（AAS)，
∴AB=AD.
7.
〈厦门〉已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，∠A＝∠D，AC＝DF，且AC∥DF.
试说明：△ABC≌△DEF.
因为AC∥DF，所以∠ACB＝∠DFE.
又因为∠A＝∠D，AC＝DF，
所以△ABC≌△DEF(ASA)．
解：
8.已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD、A′ D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD＝ A′D′ ，并用一句话说出你的发现.
A
B
C
D
A ′
B ′
C ′
D ′
解：因为△ABC ≌△A′B′C′ ，
所以AB=A'B'（全等三角形对应边相等），∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）.
因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'.
在△ABD和△A'B'D'中，
∠ADB=∠A'D'B'（已证），
∠ABD=∠A'B'D'（已证），
AB=AB（已证），
所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.
A
B
C
D
A ′
B ′
C ′
D ′
全等三角形对应边上的高也相等.
课堂小结
归纳总结
构建脉络
角边角
角角边
内容
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“ASA”)
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“AAS”）
应用
为证明线段和角相等提供了新的证法
注意
注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别
课堂小结
3 探索三角形全等的条件
第3课时 边角边（SAS）
第四章 三角形
目录页
讲授新课
当堂练习
课堂小结
新课导入
新课导入
教学目标
教学重点
　1．探索并正确理解三角形全等的判定方法“SAS”.（重点）
2．已知两边及其夹角会作三角形；(重点，难点)
　3．会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．（重点）
4.了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条、件．（难点）　
学习目标
新课导入
如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种
可能的情况呢？每种情况下得到的三角形都全等吗？
讲授新课
典例精讲
归纳总结
问题：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？
A
B
C
A
B
C
“两边及夹角”
“两边和其中一边的对角”
它们能判定两个三角形全等吗？
讲授新课
三角形全等的判定（“边角边”）
尺规作图画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A （即使两边和它们的夹角对应相等）. 把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
A
B
C
探究活动1：SAS能否判定的两个三角形全等
A
B
C
A′
D
E
现象：两个三角形放在一起
能完全重合．
说明：这两个三角形全等．
画法：
(1)画∠DA′E =∠A；
(2)在射线A′D上截取
A′B′=AB，在射线
A′E上截取A′C′=AC；
(3)连接B′C′．
B′
C′
在△ABC 和△ DEF中，
∴　△ABC ≌△ DEF（SAS）．
文字语言：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
（简写成“边角边”或“SAS ”）．
知识要点
“边角边”判定方法
几何语言：
AB = DE，
∠A =∠D，
AC =AF ，
A
B
C
D
E
F
必须是两边“夹角”
如图，已知线段a, c, ，用尺规作△ABC，使BC=a AB=c, ∠ABC= .
a
c
知识要点
已知三角形的两边及其夹角，用尺规作这个三角形
作法 图形
（1）作一条线段BC=a；
（2）以点B为顶点，以BC为一边，作角 ；
B
C
B
C
B
C
B
C
（3）在射线BD上截取线
段BA=c；
（4）连接AC．△ABC就是
所求作的三角形．
A
D
D
A
请按照给出的作法作出相应的图形．
例1 如果AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD，那么
△ ABD 和△ CBD 全等吗？
分析:
△ ABD ≌△ CBD.
边:角:边:
AB=CB(已知)，
∠ABD= ∠CBD(已知)，
？
A
B
C
D
(SAS)
BD=BD(公共边).
解：
在△ABD 和△ CBD中，
AB=CB(已知)，
∠ABD= ∠CBD(已知)，
∴ △ ABD≌△CBD ( SAS).
BD=BD(公共边)，
变式1:
已知：如图,AB=CB,∠1= ∠2.
试说明:(1) AD=CD；
(2) DB 平分∠ ADC.
A
D
B
C
1
2
4
3
在△ABD与△CBD中，
解:
∴△ABD≌△CBD（SAS），
AB=CB (已知），
∠1=∠2 （已知），
BD=BD （公共边），
∴AD=CD，∠3=∠4，
∴DB 平分∠ ADC.
A
B
C
D
变式2:
如图，已知:AD=CD，DB平分∠ADC ，试说明:∠A=∠C.
1
2
在△ABD与△CBD中，
解:
∴△ABD≌△CBD（SAS），
AD=CD (已知），
∠1=∠2 （已证），
BD=BD （公共边），
∴∠A=∠C.
∵DB 平分∠ ADC，
∴∠1=∠2.
例2 已知:如图, AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，
试说明:∠A=∠D.
解:∵ ∠1＝∠2(已知)，
∴∠1+∠DBC＝ ∠2+ ∠DBC(等式的性质)，
即∠ABC＝∠DBE.
在△ABC和△DBE中,
AB＝DB(已知)，
∠ABC＝∠DBE(已证)，
CB＝EB(已知)，
∴△ABC≌△DBE(SAS).
∴ ∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).
1
A
2
C
B
D
E
练一练
1.
【中考·广州】如图，点E，F在AB上，AD＝BC，∠A＝∠B，AE＝BF.
试说明：△ADF≌△BCE.
因为AE＝BF，
所以AF＝AE＋EF＝BF＋EF＝BE.
在△ADF和△BCE中，
所以△ADF≌△BCE(SAS)．
解：
2.
小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH＝∠FDH，ED＝FD. 将上述条件标注在图中，小明不用测量就能 知道EH＝FH吗？与同伴进行交流.
标注略．小明不用测量就能知道EH＝FH.
因为根据“SAS”可以得到△EDH≌△FDH，所以EH＝FH.
解：
E
　想一想：
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？
B
A
C
D
△ABC和△ABD满足AB=AB ,AC=AD,
∠B=∠B,但△ABC与△ABD不全等.
探究活动2：SSA能否判定两个三角形全等
画一画：
画△ABC 和△DEF，使∠B =∠E =30°， AB =DE
=5 cm ，AC =DF =3 cm ．观察所得的两个三角形是否全等？

A
B
M
C
D
A
B
C
A
B
D
有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
结论
例3 下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是(　　)
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF
D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.
C
方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
练一练
3.
【中考·新疆】如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能说明△ABC≌△DEF，这个条件是(　　)
A．∠A＝∠D
B．BC＝EF
C．∠ACB＝∠F
D．AC＝DF
D
当堂练习
当堂反馈
即学即用
1.在下列图中找出全等三角形进行连线.
Ⅰ

30
8 cm
9 cm
Ⅵ

30
8 cm
8 cm
Ⅳ
Ⅳ
8 cm
5 cm
Ⅱ
30

8 cm
5 cm
Ⅴ
30
8 cm

5 cm
Ⅷ
8 cm
5 cm

30
8 cm
9 cm
Ⅶ
Ⅲ

30
8 cm
8 cm
Ⅲ
当堂练习
2.如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是 ( )
A.∠A＝∠D B.∠E＝∠C
C.∠A=∠C D.∠ABD＝∠EBC
D
3.已知：如图，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，
试说明：BD=CD.
解：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SAS）.
(已知），
(已证），
(已证），
∴ BD=CD.
4.如图，已知CA=CB,AD=BD, M，N分别是CA，CB的中点，试说明：DM=DN.
在△CAD与△CBD中
解:
CA=CB (已知）
AD=BD （已知）
CD=CD （公共边）
∴△ACD≌△BCD（SSS）
连接CD，如图所示；
∴∠A=∠B
又∵M，N分别是CA，CB的中点，
∴AM=BN
在△AMD与△BND中
AM=BN (已证）
∠A=∠B （已证）
AD=BD （已知）
∴△AMD≌△BND（SAS）
∴DM=DN.
课堂小结
归纳总结
构建脉络
边角边
内容
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成 “SAS”)
应用
为证明线段和角相等提供了新的证法
注意
1.已知两边，必须找“夹角”
2. 已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边
课堂小结
3 探索三角形全等的条件
第4课时 灵活选择方法判定两个三角形全等
第四章 三角形
目录页
讲授新课
当堂练习
课堂小结
新课导入
新课导入
教学目标
教学重点
　掌握由已知条件分析图形的方法,挖掘隐含信息,
并选择适当的判定方法.（重点，难点）
学习目标
新课导入
F
A
B
C
E
D
AD=AE
∠AEB=∠ADC
∠B=∠C
新课导入
一般三角形全等的证题思路
讲授新课
典例精讲
归纳总结
例1 如图，AB∥CD，并且AB=CD，那么△ABD与△CDB全等吗？请说明理由.
讲授新课
因为AB∥CD，
根据“两直线平行，内错角相等”，
所以∠1=∠2.
在△ABD和△CDB中，
因为AB=CD，∠1=∠2，BD=DB，
根据三角形全等的判定条件“SAS”，
所以△ABD≌△CDB.
解：
例2 如图，AC与BD相交于点O，且OA=OB，0C=OD.
讲授新课
（1）△AOD与△BOC全等吗？请说明理由.
（1）因为∠AOD与∠BOC是对顶角，
根据“对顶角相等”，
所以∠AOD=∠BOC.
在△AOD与△BOC中，
因为OA=OB，∠AOD=∠BOC，OD=OC，
根据三角形全等的判定条件“SAS”，
所以△AOD≌△BOC.
解：
（2）△ACD与△BDC全等吗？为什么？
解：
由（1）可知，△AOD≌△BOC，
根据“全等三角形的对应边相等”，
所以AD=BC.
AC=OA+OC，BD=OB+OD，
因为OA=OB，OC=OD，
所以AC=BD.
在△ACD和△BDC中，
因为AD=BC，AC=BD，DC=CD，
根据三角形全等的判定条件“SSS”，
所以△ACD≌△BDC.
练一练
1.
如图，下列条件不能证明的△ABC≌△DCB的是（ ）　　
A．AB=DC，AC=DB
B．AB=DC，∠ABC=∠DCB
C．BO=CO，∠A=∠D
D．AC=BD，∠A=∠D
D
2.
如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF=CE，AC=DF．
（1）在下列条件①AB∥DE；②∠ACB=∠DFE；③AB=DE中，只添加一个条件就可以证得△ABC≌△DEF，则所有可以添加的条件的序号是 　　
______________.
②③
（2）根据已知及（1）中添加的一个条件，证明∠A=∠D．
解：
添加②，
在△ABC和△DEF中，
因为AC=DF，∠ACB=∠DFE，BC=EF，
根据三角形全等的判定条件“SAS”，
所以△ABC≌△DEF.
根据“全等三角形的对应角相等”，
所以∠A=∠D.
在△ABC和△DEF中，
因为AB=DE，AC=DF，BC=EF，
根据三角形全等的判定条件“SSS”，
所以△ABC≌△DEF.
根据“全等三角形的对应角相等”，
所以∠A=∠D.
添加③，
3.如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.
（1）试说明：△ABC≌△ADC；
解：
在△ABC和△ADC中，
因为AB=AD，BC=DC，AC=AC，
根据三角形全等的判定条件“SSS”，
所以△ABC≌△ADC.
（2）测量OB与OD，∠BOA与∠DOA，你有何猜想？证明你的猜想.
解：
由（1）可知，△ABC≌△ADC，
因为AB=AD，∠BAC=∠DAC，AO=AO，
根据三角形全等的判定条件“SAS”，
所以△ABO≌△ADO.
根据“全等三角形的对应边相等，对应角相等”，
所以OB=OD，∠BOA=∠DOA.
OB=OD，∠BOA=∠DOA.
根据“全等三角形的对应角相等”，
所以∠BAC=∠DAC.
在△ABO和△ADO中，
当堂练习
当堂反馈
即学即用
当堂练习
1.如图，AD=CB，AB=CD，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.
（1）试说明：AB∥DC；
解：
因为AD=CB，DC=BA，AC=CA，
所以△ADC≌△CBA.
根据“全等三角形的对应角相等”，
所以∠ACD=∠CAB.
在△ADC和△CBA中，
根据三角形全等的判定条件“SSS”，
所以AB∥DC.
（2）试说明：BE=DF．
解：
因为∠FCD=∠EAB，∠CFD=∠AEB,CD=AB，
所以△CFD≌△AEB.
根据“全等三角形的对应边相等”，
在△CFD和△AEB中，
根据三角形全等的判定条件“AAS”，
所以DF=BE.
∴∠CFD=∠AEB=90°.
∵DF⊥AC，BE⊥AC，
2.如图，点B，F，C，E在一条直线上，AC∥FD，AB∥ED，AD与BE交于点O，且点O是BE的中点，写出图中的全等三角形（不再添加辅助线），并说明理由.
解：
因为AB∥DE，
在△AOB和△DOE中，
因为∠B=∠E，BO=OE，∠AOB=∠DOE，
所以BO=OE.
所以∠B=∠E.
所以△AOB≌△DOE（ASA）.
因为点O是BE的中点，
△AOB≌△DOE，△ABC≌△DEF，△AOC≌DOF，理由如下：
因为AC∥DF，
在△ABC和△DEF中，
因为∠ACB=∠DFE，∠B=∠E，AB=DE，
所以AB=DE.
所以∠ACB=∠DFE.
所以△ABC≌△DEF（AAS）.
因为△AOB≌△DOE，
所以AC=DF.
在△AOC和△DOF中，
因为∠ACB=∠DFE，∠AOC=∠DOF，AC=DF，
所以△AOC≌△DOF（AAS）.
课堂小结
归纳总结
构建脉络
课堂小结
1.在证明全等三角形或利用它证明线段或角的相等时,首先要寻找我们已经知道了什么（从已知条件,公共边,公共角,对顶角等隐含条件中找对应相等的边或角）,其次要搞清我们还需要什么,而这一步我们就要依照判定方法去思考了.
2.注意正确地书写证明格式(顺序和对应关系).
THANKS！
侵权必究
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