资源简介

吉林省2026届高考模拟质量检测试卷
数学试卷
分值：150分 时间：120分钟
注意事项
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，则中元素的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知数据，，的平均数为1，方差为0，则数据，，，，，的方差为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.记为等差数列的前n项和，若，，则( )
A. B. C. D.
5.若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，则的概率是( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆上存在到直线的距离为的点，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知数列满足，，则下列说法正确的是( )
A.
B.数列是等比数列
C.数列是等差数列
D.数列的前50项和为
10.定义在R上的偶函数，满足，则( )
A. B.
C. D.
11.已知点Q在圆上，，动点P满足在中，，则( )
A.点P的轨迹方程为
B.的最大值为
C.的最小值是
D.（O为坐标原点）的最小值为7
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知向量，，若，则_______________.
13.已知圆台的高为2，其母线与底面所成的角为，下底面半径是上底面半径的2倍，该圆台外接球的体积为______________.
14.设函数，若存在的极值点满足，则t的取值范围为_________________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上有2个零点，求实数a的取值范围.
16.（15分）为了解学生对某知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生进行答题测试，其中甲校学生答对人数为80，乙校学生答对人数为70.
（1）完成下面列联表，并根据小概率值0.10的独立性检验，判断正确率与学校是否有关.
学校 答题情况 合计
答对人数 答错人数
甲校 100
乙校 100
合计 200
（2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机选出一名同学，记A同学来自甲校，B同学来自乙校.A，B两位同学组队参加答题比赛，比赛分两轮，每轮三道题由同一位同学进行答题.若第一轮答对0道题，则比赛结束，全队得分为0分，否则进入第二轮，由另一位同学答题，答对一题得5分，答错得0分，全队得分为第二轮得分之和.用甲、乙两校学生的答对频率估计A，B两位同学每题的答对概率，假设学生之间答题相互独立.
（i）为使得全队得15分的概率最大，应该由谁参加第一轮比赛？
（ii）为使得全队得分的数学期望最大，应该由谁参加第一轮比赛？
附：，.
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
17.（15分）如图1是边长为4的菱形，，现沿将其折叠成如图2所示的三棱锥，点E为中点.
（1）证明：.
（2）当二面角等于时，点F在线段上，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围.
（3）当二面角的余弦值的取值范围为时，求三棱锥外接球半径R的取值范围.
18.（17分）已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若有2个极值点，且极大值为正数，求a的取值范围.
19.（17分）对于平面直角坐标系中任意一点，将其绕原点O逆时针旋转角度θ得到点，其中.现将函数的图象上所有点绕原点逆时针旋转得到曲线C.
（1）求C的方程；
（2）过C上任意一点P作C的切线，设与直线y=x，y= -x分别相交于点A，B，求的面积；
（3）已知点，过点的直线l与C分别交于点，，其中，，，设直线，的倾斜角分别为，，求证：.
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分
答案 D B B C C C C A ACD ABC ACD
1.答案：D
解析：由题可得集合，所以，所以中元素的最小值为4，故选D.
2.答案：B
解析：解法一：因为，所以，故选B.
解法二：由，得，故选B.
3.答案：B
解析：，，的平均数为1，方差为0，，数据，，，，，为1，1，1，3，3，3，其平均数为，所以方差为，故选B.
4.答案：C
解析：解法一：设的公差为d，由已知有解得则
.故选C.
解法二：易知是等差数列，，所以，即.故选C.
解法三：设等差数列的前n项和.已知，，代入得解得所以，.故选C.
5.答案：C
解析：方法一：因为函数在上单调递减，所以解得，故选C.
方法二：若，则当时，，不满足，故排除A，D；若，则当时，，且函数在上单调递减，满足题意，故排除B.故选C.
6.答案：C
解析：方法一：，，即，事件“”所包含的样本点有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个，样本空间包含的样本点的个数为，因此，事件“”发生的概率为.故选C.
方法二：，，即，一共有（种）不同的组合，满足的有（种），所求概率为.故选C.
7.答案：C
解析：由，可得，若l与椭圆相切，则判别式，即，可得，由于直线与之间的距离为，可得与直线的距离为的另一条平行直线为，与直线的距离为的另一条平行直线为，所以实数m的取值范围是，故选C.
8.答案：A
解析：解法一：由于，所以，则，所以，故选A.
解法二：由于，所以，得，所以
，则，所以，故选A.
9.答案：ACD
解析：因为，所以.所以.所以.所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.故B选项错误.
数列的通项公式为，则，故A选项正确.
令，则，所以.所以数列是等差数列，即数列是等差数列.故C选项正确.
，则前50项和为
，故D选项正确，故选ACD.
10.答案：ABC
解析：对于A，已知，令，则，解得，又为偶函数，所以，故A正确.
对于B，由A选项可得，则，在①式中，将x替换为，得，故B正确.
对于C，在②式中，将x替换为，得，则，故C正确.
对于D，由且，得的一个周期为2，且的图象关于直线对称，显然是满足题设的一个函数，但此时，故D错误.故选ABC.
11.答案：ACD
解析：由题意可知，设且，过点P作轴于点N，如图.
对于A，，，，又，，即，即，，故A正确；
对于B，由对称性不妨设点在第一象限，则，
，，当且仅当，即时取等号，，，的最大值为，当与圆F相切且点Q在第四象限时，最大，连接，此时，的最大值不是，，故B错误；
对于C，，由B选项分析知，，故C正确；
对于D，当Q在圆F与x轴的左交点处时，与同时取得最小值，此时|AQ|+4|OQ|=3+4=7，
故D正确.故选ACD.
12.答案：2
解析：由题可得，因为，所以，解得.
13.答案：
解析：如图，设圆台的高为h，母线长为l，上底面半径为r，则下底面半径为，由题意得，解得.由题可得母线，，所以为等边三角形.所以.所以该圆台外接球的球心就是下底面圆心O.所以该圆台外接球半径.所以其外接球体积.
14.答案：
解析：根据题意得，则，所以，即，.因为，，所以，即.所以
.所以，即.所以或.则t的取值范围为.
15.答案：（1），
（2）
解析：（1）由题意，得
. ………………………………………………3分
所以的最小正周期. ……………………………………………………………4分
令，，解得，，
所以的单调递增区间为，.…………………………………………6分
（2）将的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数.…………………………………………8分
令，得.………………………………………………………………9分
因为，所以，
令，则当时，关于t的方程有2个不同的实数根，
即当时，函数与的图象有2个不同的交点， …………………11分
所以，解得，即实数a的取值范围是. …………………………13分
16.答案：（1）正确率与学校无关
（2）（i）B同学参加第一轮比赛
（ii）B同学参加第一轮比赛
解析：（1）完成列联表如表所示.
学校 答题情况 合计
答对人数 答错人数
甲校 80 20 100
乙校 70 30 100
合计 150 50 200
……………………………………………………………………………………………………2分
零假设为：正确率与学校无关，
根据表中数据可得，， …………………3分
根据小概率值的独立性检验，没有充分理由推断不成立，即认为正确率与学校无关.
（2）由题意得，A，B两位同学每题的答对概率分别为0.8，0.7.……………………………5分
（i）若A同学先参加第一轮比赛，则全队得分为15分的概率，
若B同学先参加第一轮比赛，则全队得分为15分的概率，……………7分
.
.故应该由B同学参加第一轮比赛.……………………………………………………8分
（ii）若A同学先参加第一轮比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15，
，，
，， …………………………12分
.………………………………………………………………………13分
若B同学先参加第一轮比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15，
同理，
则，. …………………………………………………14分
应该由B同学参加第一轮比赛.………………………………………………………………15分
17.答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）证明：如图1，连接，，
由题可知，，
因为四边形为菱形，所以，.
如图2，连接，，
因为，，，，平面，
所以平面.
又因为平面，所以. ………………………………………………………3分
（2）当二面角等于时，平面平面.
因为，且平面平面，平面，
所以平面.所以.
所以，，两两相互垂直.
以点E为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立如图3所示的空间直角坐标系，
则，，，.
设，
则，，，.……………5分
设平面和平面的法向量分别为，，
则即
令，则.
设平面与平面所成角为，
①当时，可取，则；
②当时，可取，则，………………7分
则. ………………………………………8分
解法一：因为，所以，
则，当且仅当时等号成立.
则，则.
综上所述，平面与平面所成角的余弦值的取值范围为.…………………10分
解法二：令，则，
令，解得或（舍），
则当时，单调递增，当时，单调递减，
则函数的最大值为，此时，即.
又因为，，则，此时，则.
综上所述，平面与平面所成角的余弦值的取值范围为.…………………10分
（3）如图4所示，连接，，令，分别为，的三等分点且，，分别过点，作平面，的垂线交于点O，则点O为三棱锥的外接球球心，连接，.
因为，所以，
设θ为二面角的平面角，则.易知.
在中，，
在中，. …………12分
又因为，所以.
易证在上为单调递减函数，
当时，，当时，，
所以三棱锥外接球半径R的取值范围是. ……………………………15分
18.答案：（1）当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
（2）
解析：（1）由题可得，.
……………………………………………………………………………………………………2分
若a≥0，则，所以当时，，单调递增，…………………3分
当时，，单调递减.……………………………………………………4分
若，则，所以在上单调递增.
若，则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增. ………………………………………………5分
若，则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.……………………………………………………6分
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
……………………………………………………………………………………………………7分
（2）由（1）可知.
若，此时，
故符合题意. …………………………………………………………………………10分
若，此时，
令，，
则，所以在上单调递增， ……………………14分
又，所以当时，. ……………………………………………16分
综上，a的取值范围为.………………………………………………………17分
19.答案：（1）
（2）2
（3）证明见解析
解析：（1）设点是函数图象上一点，则，
设点绕原点逆时针旋转后得到的点为，
则，得，…………………………………………………2分
代入xy=1中，得， …………………………………………………………………3分
故C的方程为. ………………………………………………………………………4分
（2）设，直线的方程为，
代入，得， ………………5分
由，
得，
将和代入上式中，
得，得，
所以，故. …………………………………………………7分
联立直线y=x与直线l0的方程，解得，
联立直线y=-x与直线l0的方程，解得.…………………………………8分
易知，则的面积
. …………………………………10分
①当直线的斜率存在时，可设直线l的方程为，易知，
由，得，
所以，. ……………………………………………………11分
由题意知，则，所以且.
当时，易得，，
又，所以，直线QN的斜率不存在，
所以，，得.…………………………………………………………12分
设直线，的斜率分别为，，则，，
当时，，则，同理，所以，
，………………………………………13分
所以.
因为M在第一象限，所以，所以，所以. …………14分
②当直线的斜率不存在时，得，，
则，， …………………………………………………………………15分
所以，由①知，故.
综上可得，.…………………………………………………………………………17分
数学试卷·第4页（共4页）

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