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2023 级高三下学期定时练习 数 学
本卷满分 150 分，练习时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时, 必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮探干净后, 再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米黑色签字笔, 将答案书写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答, 在本卷上答题无效。
5. 定时练习结束后，只将答题卡交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ,则
A. B. C. 1 D. 2
3. 已知点 为函数 图象上的两个相邻对称中心,则 的最小正周期为
A. B.
C. D.
4. 某校高三年级有男生 300 人，女生 200 人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该校全体高三学生中抽取一个容量为 100 的样本，如果样本按比例分配，得到男生、女生的平均身高分别为 和 ，则估计该校高三年级学生的平均身高为
A. B. C. D.
5. 已知数列 满足 ,则
A. B. C. D.
6. 若圆 过点 ，且与 轴相切，则圆心 的轨迹方程为
A. B. C. D.
7. 已知 ,则
A. B. C. D.
8. 若函数 在区间 上有最大值,则正整数 的值有
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知平面向量 ,则
A. B.
C. D.
10. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 为双曲线上一点,若 中有且仅有 3 个点在双曲线上,则
A. 双曲线的渐近线斜率为 B.
C. 的面积为 6 D. 的最小值为
11. 若定义在 上的函数 满足 是偶函数， ，则 A.
B. 是奇函数
C. 的图象关于直线 对称
D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知 成等比数列,且 ,若 ,则 _____.
13. 已知圆台的底面半径分别为 1 和 2,高为 ,底面圆周均在球 的球面上,则球 的表面积为_____.
14. 已知集合 ，若函数 满足: ，都有 ,则符合条件的函数共有_____个.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
在 中,角 所对的边分别为 ,且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积.
16. (本小题满分 15 分)
2025 年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的 30.4%，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障. 某学习小组收集了 2021 年至 2025 年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图.
年 份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码 1 2 3 4 5
我国全口径发电量 (单位:万亿千瓦时) 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58
注:年份代码1-5分别对应2021-2025
(1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立 关于 的经验回归方程，并预测 2026 年我国全口径发电量.
参考数据: .
参考公式:回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,相关系数 .
17. (本小题满分 15 分)
如图，在菱形 中， ，将 沿 _____，且其 ，连接 构成四棱锥 .
(1)证明: 平面 ；
(2)若二面角 的余弦值为 .
① 求 的长；
②设 在平面 上的射影为 ，直线 与 交于 点， 为 的中点， 证明: 平面 .
18. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 的左焦点为 .
(1)求 的离心率；
(2) 为 上一点， 在 处的切线为 .
①证明: 的方程为 ；
②设 的右顶点为 交直线 于点 与 交于点 为坐标原点， 求 的最小值.
19. (本小题满分 17 分)
设函数 .
(1)当 时,证明: ；
(2)已知函数 在区间 内存在极值点 .
① 求 的取值范围;
②是否存在 ，使 ？若存在，比较 与 的大小；若不存在，请说明理由.
2023 级高三下学期定时练习 数学试题参考答案及评分意见
一、选择题:(每小题 5 分，共 40 分)
1. C; 2. B; 3. B; 4. C; 5. C; 6. D; 7. A; 8. C.
二、选择题:(每小题 6 分, 共 18 分)
9. ABD; 10. ACD; 11. ABD.
三、填空题:(每小题 5 分, 共 15 分)
12.2 ; 13. ; 14. 454.
四、解答题:(共 77 分)
15. 解: (1) 由正弦定理 ,
且 ,
所以 . 3 分
即 ,由于 ,
故 ,因为 ,所以 ; 6 分
(2)由(1)知， ，因为 ，由余弦定理得
9 分
即 ,故 . 11 分
所以 的面积 . 13 分
16. 解: (1) 由题知 ,
2 分
4 分
所以 . 7 分
因为 与 的相关系数近似为 0.99,说明 与 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合 与 的关系. 8 分
(2) ， 10 分
12 分
所以 关于 的回归方程为 . 13 分
将 2026 年对应的年份代码 代入回归方程得 (万亿千瓦时).
所以预测 2026 年全国全口径发电量为 11.108 万亿千瓦时. 15 分
17. 解: (1)连接 交 于点 ,因为四边形 为菱形,所以对角线 ,故 . 2 分
又因为 平面 ,所以 平面 ; 4 分
(2)①由(1)知， 平面 平面 ，
故二面角 的平面角为 ，故 . 6 分
因为在菱形 中, ,
所以在 中, .
故 ,即 ; 8 分
②由①知， 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 ，又因为 在平面 上的射影为 ,平面 平面 ,所以 .
10 分
由 ①知, ,故 ,从而 .
又因为 与 相似,所以 ,即 为 的中点.
12 分
又因为 为 的中点,所以 ; 又因为 平面 平面 ,所以 平面 .
因为 为 的中点,所以 ; 又因为 平面 平面 ,
所以 平面 . 14 分
由于 平面 ,故平面 平面 ,因为 平面 ,所以 平面 . 15 分
18. 解: (1) 由椭圆 知 . 2 分
故 ,所以 的离心率 ; 3 分
(2)由 ,得 ,所以 满足方程 . 5 分
联立 得 .
即 ,
即 .
由 ,即 . 8 分
因为 ,
所以 为 在 处的切线. 10 分
②由①知， 的方程为 ，当 时， . 12 分
由于 ,故直线 的斜率 .
由于 ,故直线 的斜率 .
所以 .
设 ,则 ,
化简得 的轨迹方程为 . 14 分
16 分
所以当 ,即 或 时,
取得最小值 . 17 分
19. 解: (1) 设函数 , 1 分
则 ,故 在 上单调递减. 2 分
所以 ,即当 时, . 3 分
(2)① 因为 ,
所以 . 4 分
当 时, 在 上恒成立,故 在区间 上单调递减,所以 无极值; 5 分
当 时,令 ,则
在 上恒成立,故 在 上单调递减.
若 ,即 ,故 在区间 上单调递减, 所以 无极值; 7 分
若 ,因为 ,所以存在 ,使得 ,且当 时, 在区间 上单调递增; 当 时, 在区间 上单调递减. 故 在 处取得极大值, 无极小值. 9 分
综上所述， 的取值范围是 . 10 分
②由①知， ，且 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
当 时, ,故 在 上单调递减.
11 分
因为 ,
由零点存在定理知,存在唯一 ,使 . 12 分
由 ,得 .
所以
13 分
由 (1) 知 ,且 ,故
14 分
令 ,则
故 在 上单调递减,从而 ,即 .
15 分
令 ,则 ,故 在 上单调递增,所以 ,即 .
16 分
故 . 由于 在 上单调递减，所以 . 17 分

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