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泰山教育联盟 2026 届高三考试模拟
数学试题
注意事项:
1. 答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码。
2. 本试卷满分 150 分, 分为选择题和非选择题两部分。
3. 选择题的作答: 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
4. 非选择题的作答: 用 黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知向量 ， ，则 “ 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 集合 的真子集的个数为
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
3. 若函数 ,则
A. B. C. D.
4. 已知变量 和 有较强的线性相关关系,根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为 ,则
2 3 5 6
5 7 9 15
A. 经验回归直线必过点 B.
C. 对应的样本点的残差为 -0.4 D. 当 时,预测值
5. 将 5 个互不相同的球全部放入 3 个彼此不同的盒子中，每个盒子至少 1 个球，则不同的放球方法共有
A. 36 种 B. 72 种 C. 108 种 D. 150 种
6. 已知函数 在 上单调递减,则 的最小值是
A. B. 2 C. D. 5
7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,过 的直线 与椭圆 交于 两点,与 轴交于点 ,若 ,则 的离心率为
A. B. c. D.
8. 已知正方体 的棱长为 2,点 分别是正方形 和 的中心，过 的平面 与直线 垂直，则平面 截正方体 所得的截面周长为
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每个小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知复数 ,且 ,则
A. 是纯虚数 B.
C. 若 ，则 D. 若 ，则 是实数
10. 若函数 的部分图象如右图所示,且 ,则
A. B. 是 的一个对称中心
C. D.
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于点 ,则
A. 直线 斜率的取值范围是
B. 当直线 过原点时, 的面积为
C. 若 ,则
D. 若直线 的斜率为 ，且 ，则
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 记等差数列 的前 项和为 ,若 ，则 _____.
13. 在等边三角形 中， ，点 在边 上，且满足 ，点 是边 (包括端点)上的一个动点，则 的最小值为_____.
14. 某学校组织数学、物理学科答题竞赛活动,该学校准备了 个相同的箱子,其中第 个箱子中有 个数学题, 个物理题. 规则如下: 任选一个箱子, 依次抽取三个题目(每次取出不放回)，若第三次抽取的题目恰为物理题的概率是 ，则 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
如图所示，在平面四边形 中， ， .
(1)求 的值；
(2)求 的面积.
16. (15 分)
如图所示，已知圆台 ， ， ， 均为母线，四边形 为圆台的轴截面，且 .
(1)证明: ；
(2)若圆台的体积为 ，求平面 与平面 所成角的余弦值.
17. (15 分)
设抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率小于 0 的直线 交 于 两点，点 ，当直线 垂直于 轴时， 。
(1)求 的方程；
(2)若直线 平分 ，求直线 的方程.
18. (17 分)
已知编号为 的盒子中,1 号盒子有 2 个红球、1 个白球,剩下的盒子均有红球、白球各 1 个. 现从 1 号盒子中随机取 1 个球放入 2 号盒子中，再从 2 号盒子中任取 1 个球放入 3 号盒子中，重复上述操作，将 n-1 号盒子中取 1 个球放入 n 号盒子中后,再从 号盒子中随机选 1 个球弃置.
(1)求从 2 号盒子拿出的球为白球的概率；
(2)当 时，记 为 2 号盒子最终的红球的个数，求 的分布列和数学期望；
(3)求最终 号盒子剩余 2 个红球的概率.
19.(17分)
已知函数 ，函数 ，曲线 过点 的切线方程为 .
(1)求 的值；
(2)证明: ；
(3)记 ， ，设 ，是否存在正整数 ，对任意 ,以 的值为边长能构成三角形,若存在,求 的值,若不存在,请说明理由.
泰山教育联盟 2026 届高三考试模拟 数学试题答案 2026.04
一、选择题
ACCD DBDA
二、选择题
9. AD 10. ABD 11. ACD
三、填空题
12.40 13.2 14.50
四、解答题
15.(1)由余弦定理可得 ，则 . 3 分因为 ，所以 .
由正弦定理可得 ，则 . 6 分
(2)在 中，由正弦定理可得，
则 ， 8 分
在 中. . 10 分
则
所以 . 13 分
16.
(1)在圆台 中，由 为该圆台的母线，得 延长线交于一点， 2 分
而平而 平而 ，平面 ，平面 ，平面 平面 ，
所以 . 5 分
(2)设 ，因为 ，所以 ， 7 分
连接 ，由直线 为圆台 的轴，得 延长线交于一点，
由(1)同理得 . 由 ,得 .
则 _____内 ，因此 ，直线 两两垂直，
以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系， 8 分
则 ,
,
设平而 的法向量为 ,
则 . 取 ,得 , 10 分
设平面 的法向量为 ,
,取 ,得 , 12 分
所以 .
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 . 15 分
17.
(1)由题意，当直线 垂直于 轴时，点 的坐标为 2，
因为 ，所以点 到准线 的距离为 3，即 ，解得 ，
所以抛物线 的标准方程为: . 4 分
(3)设直线 的方程为: ，
将其与抛物线方程 联立得: .
韦达定理为 ， .6 分
由题意得 . 即 . .8 分
设 ,则 ,
所以 ,
, 10 分
将 代入得 ,易知 ,
所以 , 12 分
韦达定理代入. .
所以直线 的方程为 . 15 分
18.
(1)设事件 ，为“ 号盒子拿出的球是红球”， ，为“ 号盒子拿出的球是白球”。
若 1 号盒子拿出的是红球. 此时 2 号盒子 2 个红球、 1 个白球,此时拿出白球的概率为 ; 若 1 号盒子拿出的是白球,此时 2 号盒子 1 个红球、 2 个白球,此时拿出白球的概率为 ,
则 ; .4 分
(2)由题意得，随机变量 的取值为 0,1,2, 5 分
6 分
, 7 分
.8 分
所以 的分布列如表: 9 分
0 1 2
1 2 2 9
所以 : 10 分
(3)由题意， ，
又 ,所以 , 12 分
即 . 所以 ,
又 ,所以 是首项为 ,公比为 的等比数列,
所以 , 15 分
若最终 号盒了剩余 2 个红球,则需 号盒子拿出红球,且 只盒了拿出白球弃置,
即 . 17 分
19.
(1) ，设切点为 ，
则切线斜率为 ,即 , 2 分
因为切点 在切线方程为 上,所以 ; 故 . .4 分
(2)令 ，则 ，
又因为 , 在 内单调递增,可知 在 内单调递增, 5 分
当 趋近于 0 时. 趋近于 ; 且 ;
可知 在 内有且仅有 1 个零点 ,当 时, ; 当 时, 7 分可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 ,又因为 ,可得 ,
则 , .9 分
当且仅当 ,即 时,等号成立,但这是不成立的,
所以 . 故 . 10 分
(3)
只带 12 分
14 分
令
在 单调递增,在 单调递减 1.5 分
16 分
综上可知，正整数 为 4 . 17 分

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