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高二数学
考生注意:
1. 满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。
3. 本卷命题范围:人教版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题 目要求的。
1. 已知 ,则
A. B. C. D.
2. 下列求导运算正确的是
A.
B.
C.
D.
3. 某质点的运动路程 (单位: ) 与时间 (单位: ) 的关系为 ,则该质点在 时的瞬时速度为
A. B. C. D.
4. 下列等式中成立的是
A. B.
C. D.
5. 如图，若关闭最少的开关使小灯泡发光，则不同的方法有
A. 5 种
B. 6 种
C. 8 种
D. 10 种
6. 已知函数 的导函数为 ,若 ,则 的极小值点为
A. -4 B. 0 C. D. 4
7. 二项式定理, 又称牛顿二项式定理. 二项式定理可以推广到任意实数次幂, 即广义二项式定理: 对于任意实数 当 比较小的时候,取广义二项式定理展开式的前两项可得: ,并且 的值越小,所得结果就越接近真实数据. 用这个方法计算 的近似值，可以这样操作: . 用这样的方法,估计 的近似值约为
A. 3.9375 B. 3.9675 C. 3.9875 D. 4.0075
8. 近年随着“双减”政策的实施，国家对体育教育越来越重视. 某中学响应号召，开设了“跳绳”“立定跳远”“跳高”“跑步”四门训练课程，要求学生初中阶段 3 学年中必须将四门训练课程学完，每位同学每学年最多选 3 门，则每位同学的不同选学课程的方式有
A. 56 种 B. 78 种 C. 96 种 D. 120 种
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合要求。 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知 的展开式中各二项式系数之和为 64,则
A. B. 常数项为 160
C. 含 项的系数为 240 D. 二项式系数最大的项为第 3 项
10. 1654 年法国数学家帕斯卡独立发明了下面的一个无穷方阵(只给出了方阵的前 5 行前 6 列的部分数字)，西方称之为帕斯卡三角，可以看出，从此方阵左上方切下一个等腰三角形(虚线部分) 恰为杨辉三角，帕斯卡这一发明比我国杨辉晚了 400 年左右. 记方阵中第 行第 列的数字为 ,认真观察方阵,下列结论正确的是
A.
B.
C.
D.
11. 已知函数 有 3 个零点 ,其导函数为 ,则
A. 不是定值
B.
C. ,使得曲线 关于点 对称
D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. _____. (用组合数表示)
13. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ,若 ,且 ,则不等式 的解集为_____.
14. 设 ,若 是大于 3 的偶数,则 除以 1225 的余数构成的集合是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
已知函数 .
(1)求 在 处的切线方程；
(2)已知 ,求 的单调区间.
16. (本小题满分 15 分)
已知 .
(1)分别求 的值；
(2)求 的值.
17. (本小题满分 15 分)
(1)将6个不同的小球放入编号分别为1、2、3 的三个不同盒子. 若要使每个盒子的球数不小于它的编号数,则共有多少种不同的放法
(2)有编号为1、2、3、4 的四个不同的盒子，编号为1、2、3、4 的四个不同的球，现把四个小球逐个随机放入四个盒子里. 若每盒放一个球, 且恰好只有一个球的编号与盒子的编号相同, 则有多少种不同的放法
(3)求方程 的正整数解 的组数.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)若 ，求 的最值；
(2)若方程 在 上有两个实数根，求实数 的取值范围；
(3)若 ，证明: .
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)当 时,求 的极值;
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)证明: .
高二数学 参考答案、提示及评分细则
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B D D C A B
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 AC ABD BCD
1. C 由题知, ,故选 C.
2. ,故选 B.
3.B 由题知, ,当 时, ,故选 B.
4. D 对于 错误;
对于 ,因为 ,
所以 , B 错误;
对于 错误:
对于 D,因为 ,所以 ,所以 , 所以 D 正确. 故选 D.
5.D 由题知,不同的方法有 种,故选 D.
6.C 由题知, ,所以 ,所以 ,由 得 或 ,由 得 ,故 在 , 上单调递增,在 上单调递减,则 的极小值点为 . 故选 C.
7. A . 故选 A.
8.B 由题意可知，三年学完四门训练课程，则每位同学每年所修课程数为 1,1,2 或 0,1,3 或 0,2,2 . ① 若是 1,1, 2,则先将 4 门课程分成三组,再分配到三个学年,有 种方法; ②若是 0,1,3,同理可得有 种方法; ③若是 0,2,2,同理可得有 种方法. 所以每位同学的不同选学课程的方式有 种. 故选 B.
9. AC 由题知 ,解得 . 故 A 正确; 常数项为 ,故 B 错误; 展开式的通项公式为 ,令 ,解得 ,所以含 项的系数为 . ,故 C 正确; 二项式系数最大的项为第 项,故 D 错误,故选 AC.
10.ABD 观察帕斯卡方阵可知，把杨辉三角做成一个等腰直角三角形，且使其顶角数字在左上角，一条直角边成水平. 即得帕斯卡无穷方阵, 所以数字的规律和杨辉三角中的类似. 方阵关于左上右下对角线对称的数字均相等,故 A 正确; 从第二行第二列开始,每个数等于其左边第一个数和上面第一个数相加,即 ,故 B 正确; 重复 中的规律,可得 ,故 错误; 由组合数公式知 选项即为 ,由帕斯卡方阵和杨辉三角的关系归纳可得第 行第 列数字就是 ,故 D 正确 (或带入 的特殊值进行检验也可得出 D 正确). 综上, 选 ABD.
11. BCD 设 ,所以 错误;
,当 时, ,当 时, ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,要使 有三个零点,因为 ,所以 解得 正确;
令 ,得 ,又曲线 关于点 对称,则 ,解得 ,满足 ，所以 ，使得曲线 关于点 对称， 正确；
由 得, ,
,
所以 , D正确,故选 BCD.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 原式 .
13. 令 ,因为 ,所以 ,即 在 上单调逆减,又 ,所以 . 因此不等式 等价于 ,所以 ,解得 .
14.【0】因为 ,所以 ,若是大于 3 的偶数,令 ,则 ,而 ,所以 能被 1 225 整除故余数为 0 . 即余数构成的集合是 .
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15. 解:(1)由 ，得 ， 2 分
所以 , 3 分
又 , 4 分
所以 在 处的切线方程为 ,即 . 6 分
(2) .
则 , 8 分易知 时, 恒成立, 9 分
由 ,得 ,此时 ; 10 分
由 ,得 ,此时 , 11 分
故 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . 13 分
16. 解: (1) 设 ,
则 , 1 分
,① 2 分
,② 3 分
由①+②得 , 4 分
所以 . 5 分
9 分
(2)因为 , 10 分
所以 , 11 分
又 , 13 分
所以 , 14 分
所以 . 15 分
17. 解:(1)当每个盒子的球数不小于它的编号数时,1 号盒 1 个球,2 号盒 2 个球,3 号盒 3 个球,共有 种不同的放法. 4 分
(2)每盒放一个球，且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则1、2、3、4 号盒子里对应的球编号可能为 1,3 ， 共 8 种不同放法. 9 分
(3)将 看作 4 个不同盒子，8 分成 8 个 1，8 个 1 看作 8 个相同的小球，8 个小球一字排开，它们之间形成 7 个空挡 (不算两端的), 现将三块挡板插入 7 个空挡中的三个空挡中, 将小球分成 4 部分, 然后将每部分对应放到 4 个盒子中，易知每一种插入挡板的方法对应一组正整数解，故共有 组正整数解. 15 分
18.(1)解:若 ，则 ，其定义域为 ， 1 分
2 分
所以当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减, 4 分所以 的最大值为 ,无最小值. 5 分
(2)解:由 ，得 ，
所以 在 上有两个实数根,等价于曲线 与直线 在 上有两个不同的交点, 6 分
又 ,令 ,解得 ,
所以当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减, 8 分
又 , 9 分
当 时, ,当 时, ,其大致图象如图所示.
10 分
由题意知,实数 的取值范围为 . 11 分
(3)证明: 若 ,
要证 ,即证 .
令 ,则 ,
易知函数 在 上单调递增, 12 分
又 ,所以 在 上有唯一的实数根 ,且 ,
当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增,
所以当 时, 取得最小值, 14 分
由 ,得 ,则 , 15 分
所以 , 16 分
所以 . 17 分
19.(1)解:当 时，函数 ，定义域为 ，
1 分
所以当 时 ,当 时, ,
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 3 分
所以 在 处取得极小值，无极大值，且极小值为 . 4 分
(2)解:当 时， 恒成立等价于 恒成立， 5 分
令 ,求导得 , 7 分
令 ,则 .
当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,
则 ,即 恒成立, 9 分
所以当 时, ,当 时, ,
即 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 ,所以 的取值范围为 . 11 分
(3)证明:由(2)知， ，所以 ， 13 分
则 ,当且仅当 时取等号, 14 分
所以 , 15 分
将以上 个不等式左右两边分别相加得
. 证毕. 17 分

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