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高三模拟演练 数 学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容: 高考全部范围。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 在复平面内,复数 对应的点的坐标为 ,则
A. 5-5i B. 5+5i C. D.
2. 设集合 ,则
A. B.
C. D.
3. 从1,2,3,4,5,6这 6 个数中随机选取 3 个不同的数,则这 3 个数的中位数为 4 的概率为
A. B. C. D.
4. 若直线 与圆心为 的圆相离，则该圆的半径的取值范围是
A. B. C. D.
5. 如图，在 中， 是 边上靠近点 的三等分点,则
A. -4
B.
C.
D.
6. 若 ,则 的值可以为
A. B. C. D.
7. 已知函数 的大致图象如图所示,则
A.
B.
C. 1
D.
8. 在人工智能的图象识别算法优化过程中,模型的准确率提升倍数 与训练数据量 (单位: ) 的关系式为 ，其中 为常数. 当训练数据量为 GB时，模型的准确率提升倍数为 22. 5. 当准确率提升倍数 达到 135 时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准,应该选择的训练数据量约为 (参考数据: )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 ,且 的展开式中所有项的二项式系数之和为 ,则
A. B.
C. D. 为奇数
10. 已知函数 ,关于 的方程 在 上恰有 14 个不同的实数根,则 的值可能为
A. 4
B.
C. 5
D.
11. 在空间直角坐标系 中,已知正四面体 的四个顶点的坐标为 , ,点 在四面体 外接球的球面上,且 平面 ,点 在四面体 内切球的球面上,则
A.
B. 的最大值是最小值的 2 倍
C. 四面体 外接球的体积为
D. 当 取得最小值时,点 的坐标为
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知 的内角 的对边分别为 ,若 ,则 _____▲_____.
13. 已知 分别为椭圆 的左、右焦点,位于第三象限的点 在 上, . 将 沿其短轴翻折,使得 的左半部分所在平面与右半部分所在平面互相垂直,则翻折后 与 之间的距离为_____▲_____.
14. 某挑战赛设置了 个连续关卡,分别记为第 1 关卡,第 2 关卡,……,第 关卡,每个参赛团队的选手人数均为 ,每 2 名选手组成一个双人挑战组,共 个双人挑战组, 每个关卡均由其中 1 个双人挑战组进行挑战, 各关卡参赛选手均不相同, 关卡挑战从第 1 关卡开始依次挑战,每个关卡至少有 1 名选手挑战成功 (即该关卡挑战成功),才能进入下一个关卡的挑战. 若某参赛团队这 个连续关卡均挑战成功,则该参赛团队的挑战赛通关. 已知参赛团队 的每名选手挑战成功的概率均为 ，且各选手的挑战结果相互独立，若在 挑战赛通关的情况下，记 内挑战不成功的选手总人数为 ，则 _____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
秦腔是陕西最具代表性的戏曲艺术，2006 年被列入第一批国家级非物质文化遗产名录. 为研究是否喜爱秦腔与年龄之间的关系，并为传统文化保护提供数据支持，某文化调研队在西安市随机抽取了 200 名当地居民进行调查，得到如下列联表:
单位:人
秦腔 年龄 合计
40 岁以下 40 岁及以上
喜爱 45 45 90
不喜爱 75 35 110
合计 120 80 200
(1)在年龄在 40 岁及以上的当地居民中，喜爱秦腔的概率为 ，求 的估计值；
(2)根据小概率值 的独立性检验，能否认为是否喜爱秦腔与年龄有关？
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
附: .
16. (15分)
将正方体 截去三棱锥 后得到如图所示的几何体，且 为 的中点.
(1)证明: 平面 .
(2)求二面角 的正弦值.
17. (15分)
已知等差数列 满足 ,且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的通项公式；
(3)求数列 的前 项和 .
18.(17分)
已知函数 ，其中 .
(1)证明:当 时， 仅有一个零点.
(2)设 的三个零点为 .
( i ) 证明: .
(ii) 证明: 为定值.
19.(17 分)
设抛物线 的顶点为坐标原点 ,焦点为 ,且线段 的中点为 .
(1)当 时,求 的准线方程.
(2)A为Ω上一动点，过点 作， 的准线 的垂线，垂足为 ，设过 ， ， 三点可作双曲线 ,且 的两个焦点均在 轴上.
( i ) 若 过点 ,求 的方程;
(ii) 求 的离心率的取值范围.
高三模拟演练 数学参考答案
1.C 由题意知 ,则 .
2.B 因为 ,所以 .
3.D 若这 3 个数的中位数为 4 ,则 4 被选且需从1,2,3中选 1 个数,从 5,6 中选 1 个数,故这 3 个数的中位数为 4 的概率为 .
4. A 因为点 到直线 的距离 ,所以该圆的半径的取值范围是 .
5.B 因为 是 边上靠近点 的三等分点,所以 ,
6. 依题意得 ,
则 ,则 ,或 ,则 ,或 ,则 的值可以为 .
7. 由图可知, ,解得 ,所以 ,则 ,则 是方程 的两个不同实数根,则 .
8. D 当 时， ，即 . 当 时， ，即 13. ,则 ,即 .
因为 ,所以 . 令 ,则 ,所以 ,则 .
9. BCD 因为展开式中所有项的二项式系数之和为 ,所以 错误.
令 ,得 正确.
令 ,得 ,所以 正确. 令 ,得 ,所以 ,因为 为偶数,所以 为奇数, D 正确.
10. 关于 的方程 即为 ,得 或 . 由 ,得 ,因为关于 的方程 在 上恰有 14 个不同的实数根,所以根据正弦函数的图象得 ,解得 .
11. ABD 四面体 的直观图如图所示. 设顶点 在底面 上的射影为 ,连接 ,则 平面 ,连接 并延长,交 于点 ,易得 为 的中点. 因为 ,所以 ,所以 ,则 ,则 正确.
设四面体 外接球的球心为 ,则 在 上,设 ,则 ,解得 ,所以四面体 外接球的半径为 3,四面体 外接球的体积为 错误.
易得四面体 内切球的半径 ，内切球的球心为 ，则 的最大值为 ,最小值为 , B 正确.
因为 平面 ,所以 ,又因为 ,所以 ,解得 或 (舍去), . 当 取得最小值时, ，即 ，得 ，D 正确.
12. (或 ) 由余弦定理得 . 因为 , ,所以 .
13. 因为 ,且 为 的中点,所以 . 设 为 的短轴的一个端点,翻折后 (如图所示),因为平面 平面 ,且平面 平面 ,所以 上平面 ,则 ,所以 .
14.8 设第 个双人挑战组的挑战不成功的选手人数为 ,则 ,则得 . 在 M 挑战赛通关的情况下,第 个双人挑战组进行了关卡挑战,且挑战成功的概率 , ,则 ,所以 .
15. 解:(1)因为年龄在 40 岁及以上的当地居民喜爱秦腔的频率为 ， 3 分所以 的估计值为 . 4 分
(2)由题意可知 , 10 分
因为 , 11 分
所以根据小概率值 的独立性检验,可以认为是否喜爱秦腔与年龄有关. 13 分
16.(1)证明:取 的中点 ，连接 ， . 1 分易证 ,且 , 2 分又 为 的中点，所以 ，且 ， 3 分则四边形 是平行四边形,所以 . 4 分因为 平面 平面 ,所以 平面 . 6 分
(2)解:以 为坐标原点， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所示.
设 ,则 8 分
设平面 的法向量为 ,则 令 ,得 . 10 分
设平面 的法向量为 ,则 令 ,得 . 12 分
设二面角 的平面角为 ,则 14 分
所以二面角 的正弦值为 . 15 分
17. 解: (1) 设 的公差为 ,则 , 1 分
解得 , 2 分
所以 . 4 分
(2)当 时， , 5 分
所以 . 7 分
当 时, ,满足 , 8 分
所以 . 9 分
(3)依题意得 ， 10 分
11 分
两式作差得
13 分
故 . 15 分
18. 证明: (1) 令 ,则 . 令 , 1 分则 ,所以 在 上单调递增, 3 分由 , 4 分得 2 为 的唯一零点,即 仅有一个零点. 5 分
(2)(i) 的定义域为 . 令 ，得 ，
设 ,易得 有 3 个零点. 6 分
,因为 有三个零点,所以 至少有两个极值点,
所以 在 上至少有两个不相等的实数根,即关于 的方程
在 上至少有两个不相等的实数根, 8 分则 11 分
(ii) 由 (i) 得当 或 时, 单调递增;
当 时, 单调递减. 12 分
易得 ,因为 ,所以 , 13 分
设 ,则 ,设 ,所以 在 内存在唯一零点 . 14 分
因为 ,所
以由 ,得 ,且 ,所以 ,
16 分
所以 ,即 为定值 17 分
19. 解: (1) 当 时,依题意得 的坐标为 , 1 分所以 的准线方程为 . 2 分
(2)(j)因为 的两个焦点均在 轴上，且 经过 ， ， ， ，所以由对称性可知, 的中心为线段 的中点,即 ,实半轴长为 . 4 分
设 的方程为 . 5 分
的横坐标为 均在 上,则 的横坐标为 , 6 分设 ,又 在 上,所以 ,代入 的方程,得 ,解得 8 分
的方程为 . 9 分
(ii) 由题知, ,设 ,则 .
当 时,过 三点不能作双曲线. 10 分
当 时,线段 中点的横坐标与 的横坐标相等,过 三点不能作双曲线, 则 且 . 11 分
因为 的两个焦点均在 轴上,所以可设 的方程为 ,
将 的坐标代入 的方程,得 ①, ②, ③, 12 分
②-③得 ，因为 ，所以 ， 13 分
由①得, ,
由 ③ 得， ，而 ，则 ，代
,得 , 15 分
16 分
由 且 ,得 且 .
故 的离心率的取值范围为 . 17 分
注:第(2)问还可以这样解答:
设点 的坐标为 ,则 , 3 分
因为 的两个焦点均在 轴上,所以 关于 轴对称,又点 与 均在 上,所以由对称性可知 的中心在线段 的中垂线上,则 的中心 的坐标为 . 4 分
(i) 若 过原点,则 与 为 的两个顶点,此时 的中心为线段 的中点,即 , 则 ,解得 ,此时 的实半轴长为 . 6 分
依题意知 的方程为 ,则 , 7 分
设 的方程为 ,将点 的坐标代入,得 ,解得 8 分
所以 的方程为 ,即 . 9 分
(ii) 设 的方程为 ,其中 ,
将点 的坐标代入得 , 10 分
其中 , 11 分
,则 , 12 分
因为 ,所以 .
13 分
消去非零项,得 ,所以 . 14 分当 时,过 三点不能作双曲线, 15 分
当 时,线段 的中点的横坐标与 的横坐标相等,则过 三点也不能作双曲线,则 且 , 16 分
所以 且 ,则 且 ,则 的取值范围是 . 17 分

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