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2025-2026 高三二模考试 数 学
注意事项:
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3. 本试卷命题范围:高考范围。
一、选择题:本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是 符合题目要求的.
1. 复数 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
3. 已知命题 的否定
A. B.
C. D.
4. 双曲线 的焦距为
A. 3 B. 6 C. D.
5.
A. B. -1
C. D.
6. 的展开式中二项式系数的和为 64,则展开式中的常数项为
A. 60 B. -60 C. 15 D. -15
7. 在 中, ,则
A. B. 1
C. D.
8. 关于 的方程 有两个不同的解,则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
二、选择题; 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列命题正确的是
A. 两个变量 的相关系数为 ,若 越小,则 与 之间的线性相关程度越弱
B. 设随机变量 ,若 ,则
C. 若 ,且 ,则
D. 已知 之间的关系满足 ,设 ,若 之间具有线性相关关系,且与之对应的线性回归方程为 ,则
10. 在 中,角 所对的边分别为 ,已知 ,则
A. B.
C. 的周长为 D. 的面积为
11. 已知正四棱台 上底面的边长为 ，下底面边长为 ，且高为3，则下列说法正确的有
A. 该四棱台的体积为 14
B. 若 为 的中点，则 平面
C. 该四棱台的侧面积为
D. 该四棱台的外接球表面积为
三、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知 ,则 _____.
13. 已知定义在 上的奇函数 ,当 时,有 ,则 _____.
14. 椭圆 的左、右焦点分别为 ,点 为椭圆 上位于第一象限内的一点且 的平分线交 轴于点 ,则椭圆 的离心率为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. (13 分)
人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让教师更加重视人工智能，某校随机抽取 30 名男教师和 20 名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查(满分 100 分)，若分数为 80 分及以上的为优秀,其他为非优秀,统计并得到如下列联表:
男教师 女教师 总计
优秀 20 10 30
非优秀 10 10 20
总计 30 20 50
(1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？
(2)从样本中成绩优秀的 30 名教师中，随机抽取 2 人进行调研，记抽取的 2 人中女教师的人数为 ,求 的分布列和数学期望.
附: ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.001
。 2.706 3.841 6.635 10.828
16. (15 分)
已知数列 中， ， .
(1)证明: 是等差数列；
(2)求数列 的前 项和 .
17. (15 分)
如图，在四面体 中， 平面 ， 是等边三角形， ， 是 的中点.
(1)证明: ；
(2)求二面角 的正弦值.
18.(17分)
已知抛物线 ，圆 ，点 (其中 )为抛物线 上一动点,过点 作圆 的两条切线分别与 轴交于点 .
(1)判断抛物线 与圆 的交点个数，并说明理由；
(2)求 的取值范围；
(3)求 周长的最小值.
19.(17 分)
已知函数 ，其中 .
(1)讨论 的单调性.
(2)若函数 有两个不同的零点 .
① 求实数 的取值范围；
② 证明: .
2025-2026 高三二模考试数 学参考答案、提示及评分细则
1. 根据复数的几何意义,复数 在复平面内对应的点为 ,所以复数 在复平面内对应的点位于第二象限.
2. 由 得 ,解得 ,即 ,故 .
3. 由存在量词命题的否定为全称命题,则原命题的否定为 .
4. D 由题知双曲线的标准方程为 ,故 ,得 ,故焦距为 .
5. A 由题意得 .
6. 由题可知: ,通项公式为 ,令 ,所以常数项为 .
7. 在 中,设角 对边分别为 ,因为 ,可得 ,即 ,即 ,又由 ,又因为 ,所以 ,即 ,因为 ,所以 ,所以 .
8. D 方程 可转化为 ,则 ,所以 ,设 ,则方程转化为 ,又 恒成立,所以 , 在 上为增函数,所以 ,即 . 令 ,所以 , 则 可得 ,当 时, ,函数 在 上单调递增,当 时, ,函数 在 上单调递减,所以 ,又 时, , 时, ,若方程 有两个不同的解,则实数 的取值范围为 .
9. ACD 由题意, A 项,两个变量 的相关系数为 越小, 与 之间的线性相关程度越弱,故 A 正确; 对于 B,随机变量 服从正态分布 ,由正态分布概念知若 ,则 ,故 B 错误; 对于 ,又 ,故 ,故 正确; 对于 0. ,则 ,故 .
10. BD 因为 ,所以 ,由正弦定理可得: ,即 ,则 ,得 ,则 ,所以 ,所以 的周长 ,所以 的面积为 ,由上可知 错误, 正确.
11. ABD 设棱台的上下底面中心分别为 ,对于 A 选项,由台体体积公式可知,该正四棱台的体积为 , A 对; 对于 B 选项,当点 为 的中点时,易知 为 的中点,所以 ,因为 平面 平面 ,故 平面 对; 对于 选项,侧面的斜高为 ,所以此四棱台的侧面积为 ,所以 C 错; 对于 D 选项,易知该正四棱台外接球球心 在直线 上,设球 的半径为 ,因为正方形 的边长为 ,正方形 的边长为 ,所以 ,设点 ,则 ,由 可得 ,解得 ,故 ,因此,该四棱台的外接球表面积为 , D 对.
12. 因为 ,所以 ,所以 .
13. -7 因为奇函数 满足,当 时,有 ,所以 . 14. 如图，作 轴于 ，由题设令 ，所以 ,又 , 所以 ,所以设 ,则 ,在 中,
,即 ,得 . 又 ,故 ,所以椭圆 的离心率为 .
15. 解:(1)由 列联表中的数据，
可得 ， 4 分
因为 ,所以根据 判断,不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. 6 分
(2)由题意得，随机变量 的可能取值为 0,1,2, 7 分
则 , 10 分所以随机变量 的分布列为:
0 1 2
38 40 │ 87
11 分
所以期望为 . 13 分
16. 解:(1)因为 ，所以 ，
而 ,则 ,
即 ,得到 是首项为 ,公差为 的等差数列. 6 分
(2)由(1)可得 ，即 ，则 ， 9 分得到
12 分 15 分
17. ( 1 )证明:因为 平面 ， 平面 ，所以 .
在等边 中， 是 的中点，所以 .
因为 平面 . 所以 平面 .
因为 平面 ,所以 . 5 分
(2)解:不妨设 平面 平面 ,则平面 平面 ,在等边 中,作 ，则 平面 ，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ,
所以 . 8 分
设平面 的法向量为 ,则
取 ,得 , 9 分
设平面 的法向量为 ,则
取 ,得 . 10 分
又 , 13 分
所以 , 14 分
所以二面角 的正弦值为 . 15 分
18. 解: (1) 联立 得: 1 分
所以抛物线 与圆 只有唯一交点 ,即抛物线 与圆 的交点个数为 1 . 2 分
(2)显然 斜率存在，
设 的方程分别为 ,
直线 与圆 相切, 1,
化简得: ①
于是 为 ① 式的两个根， ， ②. 6 分
,
把②代入，可化简得: ,
的取值范围为 . 10 分
(3)设 的周长为 ，因为圆 为 的内切圆(该内切圆的半径 )，
所以 ，
由 . 13 分
令 ,
,
当 即 时,取等号, 周长的最小值为 16 . 17 分
19.(1)解:函数 的定义域为 ，当 0 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增；当 时，函数 在 上单调递增,在 上单调递减; 当 时函数 在 上单调递增; 当 时,函数 在 , 上单调递增,在 上单调递减. 3 分
(2)① 解: 有两个不同的零点 ，即 有两个不同的零点 .
当 时, 只有一个零点,不符合题意,故 ,
即 有两个不同实根 ,得 . 5 分
令 ,令 ,得 ,
当 时, ,可知 在 上单调递增,
当 时, ,可知 在 上单调递减,
当 时, 取得最大值 ,且 ,当 时, ,
得 的大致图象如图所示.
可得 ,所以实数 的取值范围为 . 9 分
② 证明: 当 时, 有两个不同的零点 .
两根满足 ,
两式相加得: ,两式相减得: ,
上述两式相除得 , 11 分
不妨设 ,要证: ,只需证: ,
即证 ,设 . 13 分
令 ,
则 ,可知函数 在 上单调递增,且 .
可得 ,即 ,所以 . 17 分

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