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2025-2026 学年山西高考适应性模拟 数学试题
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为 120 分钟, 满分 150 分
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 ,集合 ,则
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ，则复数 在复平面内所对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
3. 已知向量 ,若 ,则
A. B. C. D.
4.某智能制造企业生产一款圆台形精密模具，高为 2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的 2 倍，体积为 14π，则该圆台的母线长为
A. B. C. D.
5. 当直线 与圆 相交所得弦长最短时,实数 的值为
A. B. C. D.
6. 若 ,则
A. B. C. D.
7. 已知函数 的极大值点为 ,且 ,则
A. B. C. D.
8. 将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如 “对勾函数 ”的图象能由某条双曲线绕原点旋转得到，其渐近线分别为直线 与 轴,其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线. 现将双曲线 ) 绕原点旋转一个合适的角度,得到函数 的图象. 设 的离心率为 ,则下列结论正确的是
A. B. 点 是 的一个顶点
C. 的方程为 D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知随机变量 ,则
A. B.
C. D.
10. 在棱长为 1 的正方体 中， 为棱 的中点，则
A.
B. 点 到平面 的距离为
C. 直线 与平面 所成角的正弦值为
D. 动点 在正方体内部或表面上，且 平面 ，则动点 的轨迹所形成区域的面积是
11. 已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 在抛物线上， 为坐标原点,下列说法正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则 周长的最小值为 11
C. 若 三点共线,且 ,则
D. 若直线 过 ，且 ，则
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 的展开式中 的系数为_____.
13. 已知正项等比数列 的前 4 项和为 90， ，则 _____.
14. 当 时, ,则实数 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13 分)某校共有 1000 名高一学生，其中男生 250 人.为了解该校高一学生的数学学，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了 100 名学生进行调查,分数分布在 40~100 分之间. 将分数不低于 80 分的学生称为 “优等生”. 根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图.
(1)求实数 的值，并估计该样本中“优等生”的人数；
(2)若样本中属于“优等生”的男生有 10 人，完成下列 列联表；根据小概率值
0.01 的独立性检验, 能否认为这次成绩是否优秀 (分数不低于 80 分) 与性别有关
属于 “优等生” 不属于 “优等生” 合计
男生
女生
合计
附: .
0.1 0.05 0.01 0.001
. 2.706 3.841 6.635 10.828
16.(15 分) 已知函数 .
(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程；
(2)令 ，求函数 在 上的零点个数.
17.(15 分) 在 中,内角 的对边分别为 ,且 的面积为 .
(1)求角 ；
(2)若 外接圆的半径为 2，判断 的形状.
18.(17分)在四棱锥 中，平面 平面 ， 是线段 的中点.
(1)证明: .
(2)若二面角 的平面角的余弦值为 .
① 求线段 的长；
②若 为线段 的中点，点 在线段 上，是否存在实数 ，使得当 时， 平面 ？若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由.
19.(17分)已知椭圆 的左顶点为 ，右焦点为 ，离心率为 ，且点 在椭圆 上， 为坐标原点.
(1)求椭圆 的标准方程.
(2)不过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，点 在 轴上方，点 在 轴下方. 当直线 的斜率存在时,设直线 的斜率分别为 ,则 -3 .
①证明:直线 恒过定点;
②设①中的定点为 ，点 ， 分别满足 ， ，记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的取值范围.
2025-2026 学年山西高考适应性模拟 数学参考答案及评分意见
1.C 由题意,得 ,所以 . 故选 C.
2. A 因为 ,所以 ,则 , 所以 在复平面内所对应的点为 ,位于第一象限. 故选 A.
3.D 因为向量 ,且 ,所以 ,解得 . 故 ,所以 . 故选 D.
4. C 如图，作出圆台的轴截面 ，设上底面圆 ，的半径为 ，则下底面圆 的半径为 ， 所以圆台的体积为 ,解得 ,所以母线 的长是 . 故选 C.
5.B 直线 过定点 ,
圆 的标准方程为 ,则圆心为 ,半径为 .
当 时,直线 与圆 相交所得弦长最短,因为 ,
所以直线 的斜率为 ,故 ,解得 . 故选 B.
6.D 因为 ,所以 .①
又因为 ,所以 . ②
① +② 得 ，所以 .
又因为 ,所以 ,即 .
把 代入 中,得 ,则 ,即 .
把 代入 中，得 ，则 ，即 .
所以 . 故选 D.
7. 由函数 ,得 .
当 时, ,函数 没有极大值点;
当 时,函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ;
当 时,函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 .
若函数 的极大值点为 ,则 ,且 . 因为 ,
所以 ,整理得 .
又因为 ,所以 ,
整理得 ,即 ,所以 . 故选 C.
8.C 对于 A，“对勾函数” 图象的渐近线为直线 与 轴.
由题意知双曲线 的离心率与双曲线 的离心率相等,所以双曲线 的渐近线倾斜角为 ,由渐近线方程得 . 所以双曲线 的离心率 ,故 A 错误.
对于 ,双曲线 的两条渐近线分别为直线 和 .
所以双曲线 的实轴方程为 与方程 联立,得 .
故双曲线 的两个顶点为 ,
所以双曲线 的实轴长为 ,即 ,故 错误.
由 ,得 ,故双曲线 的方程为 ,故 C 正确. 故选 C.
9.AC 因为随机变量 ,所以正态曲线关于直线 对称,
所以 ,故 A 正确;
因为 ,且 ,
所以 ,故 B 错误;
,故 C 正确;
,故 D 错误. 故选 AC.
10.ABD 以点 为坐标原点, ,所在直线分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则 .
对于 ,因为 ,所以 ,则 ,故 正确. 对于 ,设平面 的法向量为 . 因为 ,
所以 令 ,则 ,所以 .
因为 ,所以点 ,到平面 的距离 ,故 正确.
对于 ,设直线 与平面 所成角为 .
因为 ,平面 ,的法向量 ,
所以 ,故 错误.
对于 ,如图,设 : 的中点分别为点 、点 ,连接 ,则 .
因为 之平面 二平面 ,
所以 平面 平面 ,又 平面 ,
所以平面 平面 ,故点 的轨迹为 .
因为 ,所以 ,故 D 正确. 故选 ABD.
11.BD 抛物线 的焦点为 ,由题意得 ,解得 . 对于 ,如图,设点 在第一象限,由 ,得 .
在 Rt 中,因为 ,则 ,
所以 ,故 错误.
对于 ,抛物线 的焦点为 ,过点 作数物线 的准线的垂线,垂足为 .
的周长为 .
当 三点共线时, 的周长取得最小值,最小值为 ,故 B 正确.
对于 ,设直线 的方程为 .
由 消去 ,得 ,则 ,所以 .
所以 .
所以 ,解得 .
所以
,故 C 错误.
对于 ,设过点 的直线 的方程为 .
联立 消去 ,得 ,则 ,解得 或 ,
所以 .
将 ,代入得 ,即 ,解得 或 .
当 时, ,此时 与 重合,舍去;
当 时, ,则 ,则 .
因为 ，所以 。
又 ,所以 ,
所以 .
所以 .
所以 ,故 D 正确. 故选 BD.
12.8 的展开式中,含 的项为 ,所以 的展开式中 的系数为 8 .
13.72 设等比例 的公比为 ,则 . 由题意,
得 ,
,两式相除,得 ,解得 (负值已舍去). 所以 .
14. 由题意,原不等式可化为 .
令 ,则 ,显然 ,原不等式可化为 .
令 ,则 ,当 时, ,当 时, ,
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减.
又因为当 时, ,当 时, ,当 时, ,
所以 ,所以 ,即实数 的最小值为 .
15. 解:(1)由频率之和为 1，得 ，解得 . 2 分属于“优等生”的有 人. 3 分
(2)由题意，样本中男生有 人，则女生有 人.
属于“优等生”的男生有 10 人，则属于“优等生”的女生有 人. 5 分不属于“优等生”的男生有 人，不属于“优等生”的女生有 人. 7 分
所以得到 列联表如下:
属于“优等生” 不属于“优等生” 合计
男生 10 15 25
女生 15 60 75
合计 25 75 100
9 分
零假设 ；这次成绩是否优秀与性别无关.
根据表中数据,计算得 . 11 分
根据小概率值 的独立性检验,推断 。成立.
所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. 13 分
16. 解: (1) 由题意, ,则 ,
. 3 分
曲线 在点 处的切线方程为 . 5 分
(2)由题意， .
令 ,则 .
令函数 ,则函数 的零点个数即直线 与函数 的图象的交点个数. 7 分
令 ,则 . 9 分
令 ,则 . 当 时, ; 当 时, ,
在 处取得极大值,也是最大值. 恒成立. 12 分 在 上单调递减,且 .
当 时, ,则 在 上单调递减. 14 分
当 时, ,当 时, ,
直线 与函数 的图象有且只有一个交点,即函数 在 上只有一个零点, 15 分 17. 解: (1) 由余弦定理,得 ①,
由三角形的面积公式,得 ②. 2 分
② ①,得 ,即 . 4 分
由 ,得 . 5 分
(2)由题意，得 外接圆的直径为 4，则由正弦定理，得 ，
所以 . 7 分
因为 的面积为 ,
所以 ,化简得 .③ 9 分
因为 ,所以 ,
化简得 .④ 11 分
因为 ,所以由③④,得 ,
所以 .⑤ 12 分
由 ③⑤ 解得 ，所以 ，所以 是等边三角形. 15 分
18.(1)证明:在 中， 是线段 的中点， . 1 分
平面 平面 ,平面 平面 平面 平面 .
又 平面 . 3 分
(2)解:①取 的中点 ，连接 ，则 ， . 由 (1) 可知， ， 上平面 .
平面 ,即 两两互相垂直.
以点 为坐标原点, 所在的直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设 , ,则 . 5 分设平面 的法向量为 ,
则 即 令 ,则 . 7 分
设平面 的法向量为 ,
则 即 令 ,则 . 9 分
.
设二面角 的平面角为 ,
则 . 11 分
解得 ,即 . 12 分
② 假设实数 存在,设点 ,则 .
由 ,得 则 14 分
由 ,得 ,则 . 15 分
由 ① 知平面 的一个法向量 .
由 平面 ,得 ,解得 .
存在实数 ,使得当 时, 平面 . 17 分
19.(1)解:由题意，得 3 分
所以椭圆 的标准方程为 . 4 分
(2)①证明:由题意，直线 的斜率存在且不为 0 .
设直线 的方程为 .
由 消去 ,整理得 ,
则 ,
6 分
又 ,则 ,
则
8 分
又因为 ,所以 ,解得 ,
所以直线 的方程为 ,所以直线 恒过定点 . 10 分
②解:由①可知，直线 的方程为 .
由 消去 ,整理得 ,则 .
由题意,得 . 因为 ,即 ,所以点 的坐标为 ,
因为 ,所以 ,所以点 的坐标为 . 12 分
则
.
所以 . 14 分
因为 ,
所以当 时, .
当 时, ,所以 ,所以 .
设 ,则 ,由对勾函数的性质,解得 .
即 ,代入 式,得 .
所以 的取值范围为 . 17 分

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