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2026 年普通高等学校招生全国统一考试样卷 数 学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 本试卷共 4 页，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 是 的共轭复数. 则
A. B. C. 3 D. 5
3. 在平行四边形 中, 为 的中点. 记 ,则
A. B. C. D.
4. 已知函数 若 存在最小值，则 的最大值为
A. B. C. D.
5. 记以长方体 的四个顶点为顶点的一个三棱锥的体积为 . 若 ， ，则 的取值集合为
A. B. C. D.
6. 在 中， ， ，若满足上述条件的 恰有一解，则边长 的取值范围是
A. B. C. D.
7. 已知 为圆 的一条弦,弦 绕点 旋转一周扫过的区域为 . 若点 ，则 的取值范围为
A. B. C. D.
8. 设 ,则 的取值范围是
A.
B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 一组数据 ,记其中位数为 ,均值为 ,标准差为 ,由其得到新数据 的标准差为 ,则
A. B. C. D.
10. 已知函数 ,点 分别在函数 的 的图像上. 为坐标原点,则
A. 若关于 的方程 在 上无解,则
B. 存在 关于直线 对称
C. 若存在 关于 轴对称,则
D. 若存在 满足 ，则
11. 在棱长为 1 的正方体 中, 为正方体内(含表面)的动点， 为线段 上的动点,若直线 与 的夹角为 ,则
A. 的最小值为
B. 点 的轨迹形成图形的面积为
C. 点 的轨迹与正方体表面交线的长度为
D. 当点 在侧面 上时, 的最小值为 1
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 在 的展开式中， 的系数为_____.
13. 设函数 . 若对于任意的 ，函数 和 中至少有一个在 上具有单调性,则 的一个取值为_____.
14. 已知直线 的倾斜角为锐角,且过抛物线 的焦点,与抛物线交于 两点.若在该抛物线的准线上存在一点 ，使得 为正三角形，则直线 的斜率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)
如图所示，该几何体是由一个直三棱柱 和一个正四棱锥 组合而成， .
(1)证明:平面 平面 ；
(2) 求正四棱锥 的高 ,使得二面角 的余弦值是 .
16.(15 分)
已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，若 为函数 的正零点，证明: .
17.(15 分)
已知双曲线 的右焦点为 ，过点 的直线 交双曲线 右支于 、 两点 (点 在 轴上方),点 在双曲线 的右支上,直线 交 轴于点 (点 在点 的右侧).
(1)求双曲线 的渐近线方程:
(2)若点 ，且 ，求点 的坐标:
(3)若 的重心 在 轴上，记 、 面积分别为 、 ，求 的最小值.
18.(17 分)
已知锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，且 . (1)求角 的取值范围:
(2)证明: ;
(3) 求 的取值范围.
19.(17 分)
定义:若一个数列 满足其首项为 0,且对于 可所取 或 的概率均为 0.5 , 则我们称该数列为“可取数列”. 已知数列 为“可取数列”。
(1) 求证: ;
(2)在“可取数列” 中，设随机变量 是 的值，求:
①Y 的概率分布:
②|Y|的期望 E(|Y|).
2026 年普通高等学校招生全国统一考试样卷 数学试题参考答案
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.B 2. D 3. A 4. A
5.0 6. D 7. D 8. D
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. AD 10. BCD 11. ACD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. -18
13. (答案不唯一) 14.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
解: (1) 证明: 直三棱柱 - 中, 平面 ,
所以 ,又 ,
所以 平面 平面 ,
所以平面 平面 .
(2)由( I )知 平面 ，以 为原点， ， ， 方向为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ,如图
设正四棱锥 的高 ,则 , 设平面 的一个法向量 ,
则 取 ,则 ,所以 .
设平面 的一个法向量
取 ,则 ,所以 .
二面角 的余弦值是 ,
解得 .
16.解: (1) 函数 的定义域为 ,
① 当 即 时， ，函数 单调递增，增区间为 ，没有减区间；
② 当 ,令 ,解得 ,当 ,即 时, 可得函数 的减区间为 ，增区间为 ；
③ 当 ，则 ，即 ，可得 减区间 ，增区间 ；
综上,当 时,增区间为 ;
当 时,减区间为 ,增区间为 ;
当 时，减区间为 ，增区间为 ；
(2)由(1)可知当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 ，
可知 等价于 . 因为 为函数 的正零点,
所以 ,等价证明 ,
又 ,
令 ,有 ,
得
,
令 ,有 ,
可得函数 单调递减,有 ,
可得当 时, .
故有 ,可得 得证
17.
解: (1) 已知双曲线 ,则 ,所以双曲线方程为 ;
(2)双曲线 的右焦点 ，又 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，
则直线 ,即 ,
所以 ,解得 ,即 ,
则 ,所以点 的坐标为 ;
(3)设直线 ，
因为直线 过点 且与双曲线 右支交于 两点,所以 ,
又因为 的重心 在 轴上,所以 ,
由点 在点 的右侧,可得 ,所以 ,解得 ,所以 ,
而 ,代入可得 ,
所以
代入化简可得: ,
所以 ,
当且仅当 时等号成立,所以 的最小值为 .
18.解: (1) 因为 是锐角三角形,故 ,得 得 且 , ,由于对勾函数 在
单调递减,在 单调递增,
当 或 时, ,当且仅当 时,取等号,故当 时, ,故 ,由于 ,故 .
(2)由正弦定理可得， ， 即 , 通过和差化积可得, , 及 代入可得， ， 整理可得 ，因为 ， 所以两侧同时除以 ,可得 .
(3)设 ，则 ，令 ， 由在三角形中 , 所以 ,所以 , 即 ,则 ,且 , 化简 ,因为 ,所以 ,所以 所以 ,可得 ,由 可得 ,所以 .
19.解: (1) 解: 当 时概率为 ,
当 时概率为 ,
所以 的概率为 .
(2)(i)设 ，
则对任意正整数 取 1 或 1 的概率均为 ，且 ，
设 . 显然 ,
再设此时 中有 个 个 -1,则 ,
因此 只能取 之间的偶数值,所以 ,
对于偶数 ,
事件 相当于在 个数 中,有 个取 个取 -1,
所以 的概率分布可表示为 .
(ii) 对任意 ,可得 .
所以 ,
则

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