资源简介

江苏省苏州中学 2025-2026 学年度第二学期质量评估 高二数学
一、单选题
1. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. 在区间 上单调递减
B. B. 在 处取得极大值
C. 在区间 上单调递减
D. D. 在 处取得极小值
2. 设 ，则 为 上的增函数的充要条件是( )
A. B. C. D.
3. 已知函数 ,则 ( )
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
4. 已知车轮旋转的角度 (单位: ) 与时间 (单位: ) 之间的关系为 ,则车轮转动开始后第 10s 时的瞬时角速度大小为( )
A. B.
C. D.
5. 已知函数 ,若 ,都有 ,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. 已知函数 为 的导函数，则 ( )
A. 0 B. 2 C. -2 D. 2026
7. 若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知 ,且 ,则下列说法错误的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 已知函数 及其导数 ,若存在 ,使得 ,则称 是 的一个 “巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是( )
A. B.
C. D.
10. 已知函数 ，则( )
A. 当 时，曲线 在点 处的切线方程为
B. 当 时, ,都有
C. 当 时， 有三个零点
D. 当 时， 有极大值 3
11. 对于函数 ,下列说法正确的是( )
A. 当 时，
B. 若 是函数 的导数，则
C. 若 ,则 有两个解
D. 设 至少有三个整数解,则
三、填空题
12. 设函数 ，则曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为_____.
13. 已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的最小值为_____.
14. 已知关于 的方程 有三个不相同的实根，则实数 的取值范围为_____.
四、解答题
15. 已知函数 ,且曲线 在点 处的切线的斜率为 1 .
(1)求 ；
(2)若过点 的直线 与 的图象相切，求 的方程.
16. 已知函数 在 处取得极大值 10 .
(1)求 的值；
( 2 )求 在 上的最值.
17. 已知函数 .
(1)求 的极值;
(2)若 在 单调递增，求实数 的取值范围；
(3)当 时，若对任意的 ，总存在 ，使得 ，求实数 的取值范围.
18. 定义 “下凸函数” : 在区间 上,对任意 ,均有 ,当且仅当 时,等号成立. 若函数 在区间 上存在二阶可导函数,则 为区间 上的 “下凸函数” 的充要条件是 为 的导函数 .
(1)若 是 上的 “下凸函数”，求实数 的取值范围；
(2)证明:函数 在 上为 “下凸函数”；
(3)已知正实数 满足 ，求 的最小值(用含 的代数式表示).
19. 已知函数 ,且 .
(1)讨论函数 的单调性;
(2)若存在相异实数 ，使得 ，且 ，求 的取值范围.
江苏省苏州中学 2025-2026 学年度第二学期质量评估 高二数学参考答案
一、单选题
1.C 2.D 3.A 4.B 5.B 6.B 7.D 8.D
二、多选题
9. ABD 10. BC 11. BD
三、填空题
12. 13. 14.
8. 解; 由题设 且 ,则 ,
构造 且 ,则 ,
所以 在 上单调递增,则 ,
而 ,
所以 有唯一的正根,位于区间 ,则 ,故 ,
对于 ,
令 且 ,所以 ,
故 在 上单调递增,
所以 , A 对,
对于 , B 对,
对于 ,
且 在 上单调递增,则 ,即 ,
所以 ,而 ,则 对,
对于 在 上单调递增,
所以 , D 错.
11. 解:函数 的定义域为 , 对于 ,令 ,得 ,
当 ,所以 在 上单调递减,
故 时, ,即 , A 错误;
对于 ,要证 ,即 ,
所以 ,即 ,
令 ,则 ,令 ,则 ,
当 时, ,所以 在 上单调递增;
当 时, ,所以 在 上单调递减;
所以 ,所以 ,即 , B 正确;
对于 ,由 ,得 ,
两边除以 ,得 ,所以 ,
令 ,则 ,
令 ,则 ,
所以 在 上单调递减,又 ,
当 时, ,所以 在 上单调递增,
当 时, ,所以 在 上单调递减,
又 ,当 时, ; 当 时, ;
当 时, 有两个解,当 或 时, 有一个解,
因此不等式 成立,方程 不一定有两解, 错误;
对于 ,又 ,
所以 ,变形可得 ,
令 ,则 ,令 ,得 ,
当 时, ,函数 在 上单调递增,
当 时, ,函数 在 上单调递减, ,
又 ,
因此当 时, 取整数2,3,4满足 ,
所以要使 至少有三个整数解,则 正确.
14. 解:由方程 ,得 ,且 . 令 .
① 当 时， ，所以 ， ， 令 ,得 ,即 .
当 时, ;
当 时, ;
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,在 处取得极大值也是最大值, ,当 .
② 当 时， ， ，
所以 在 单调递增,且 .
因方程 有三个不相同的实根,所以函数 与 有三个不同的交点,如图:
所以 .
即实数 的取值范围为 .
四、解答题
15. 解: (1) ,因为曲线 在点 处的切线的斜率为 1, 所以 ,解得 .
(2)由(1)知， ，
设切点坐标为 ,则 ,切线 的方程为 ,
又点 在曲线 上,所以 ,代入得 ,
即 ,
整理可得 ,故 的方程为 ,即 .
16. 解: (1) ,
故 且 ,解得 ,
则 ,
令 ,则 ,
当 时, ,当 时, ,当 时, ,
故 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,
故 在 处取到极大值,故 满足题意,
(2)由(1)知: 在 和 单调递增，在 单调递减，
且 ,
故最大值为 10 , 最小值为 2 .
17. 解: (1) ,求导得 ,
因为 时, ,所以 在 上单调递增,
因为 时, ,所以 在 上单调递减,
又 ,故 在 处取极小值 0,无极大值.
(2)函数 ，
求导得 ,由 在 单调递增,
得 在 上恒成立,即 在 上恒成立,因此 ,
设 ,则 在 上单调递增,
于是 ,即 ,所以 的取值范围为 .
(3)若对任意的 ，总存在 ，使得 ，
则当 时， ，
当 时, ,
即 在 上单调递增, ,
函数 ,
求导得 ,
由 ，得 ，函数 在 上单调递减，
则 ，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
18. 解: (1) 由 ,可得 ,则 .
因为 是 上的 “下凸函数”,
所以 对任意的 恒成立,
即 恒成立,所以 在 上恒成立.
令 ，则函数 在 上单调递减，
所以 ,
所以 ,即实数 的取值范围为 .
(2)由 ，可得 ， .
令 ,
当 时, ,所以 在 上单调递增,
所以 ,即 ,
根据 “下凸函数” 的充要条件可知,函数 在 上为 “下凸函数”.
(3)令 ，
则 ,即 是增函数,所以 .
又 ,
考虑函数 ,求导得 ,
则 .
当 时, ,则 ,
故 在 上为 “下凸函数”,
所以 ,
即 ,
即 ,
所以 ,
当且仅当 时,等号成立,
因此 的最小值为 .
19. 解: (1) 因 ,
则 ,
当 时, 在 上单调递增;
当 时,令 ,解得 ,
所以当 时, 在 上单调递减,
当 时, 在 上单调递增,
综上所述,当 时, 在区间 上单调递增;
当 时, 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增.
(2)依题意， 且 . 由 得 ，代入 得 ， 即 . 设 ,则 ,代入上式得 ,
整理得 .
同理,设 ,可得 . 因为 ,所以 ,即 .
故问题转化为函数 至少有两个零点.
则 ,设函数 ,则 ,
因 ,当 时, ,当 时, ,
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，且 ，
若 ,则 在 上单调递减, 至多 1 个零点,不符题意; 若 ，即 ，则函数 存在两个零点，记为 ，
且 ,其中 ,
所以 在区间 和 上单调递减,在区间 上单调递增,
同理,可得 ,
设 ,则 ,
所以 在 上单调递减, ,即 ,
所以 ,
因为 ,且 ,
所以 ,且 ,
所以 ,且 ,
所以 在区间 上各存在一个零点,所以 符合题意;
综上所述， 的取值范围是 .

展开更多......

收起↑