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2025~2026 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 (二) 数 学 2026.5
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将答题卡交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的。
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
2. 设 为虚数单位,若复数 满足 ,则
A. 1 B. 2 C. 5 D. 10
3. 某市高三年级共有男生 20000 人，已知他们的身高 (单位:cm)近似服从正态分布 ，则身高落在区间 内的男生人数约为
(参考数据: 若 ,则 )
A. 3413 B. 5120 C. 6827 D. 10328
4. 在平行四边形 中, 为 的中点,若 ,则
A. B. C. D.
5. 已知 ,则 关于 的展开式中各项系数之和的最小值为
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
6. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 如图,已知圆锥的轴截面为正三角形 ,底面圆心为 , ,垂足为 . 线段 绕轴 旋转一周所得的曲面将圆锥分割成上下两个几何体, 则上下几何体的体积之比是
(第 7 题图)
A. B.
C. D.
8. 已知函数 ( 为自然对数的底数),若对任意 ,总存在 ,使得 ,则实数 的最大值为
A. B. C. e D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知 3 张奖券中只有 2 张有奖奖券,甲、乙 2 名同学依次随机抽取 1 张奖券. 记事件 为 “甲中奖”, 事件 为 “乙中奖”, 则下列说法正确的有
A. 若抽取后放回，则 B. 若抽取后不放回，则
C. 若抽取后放回，则 D. 若抽取后不放回，则
10. 已知在 中, . 设函数 , 则
A. B. 在区间 上单调递增
C. D. 在区间 上有且仅有 3 个零点
11. 在平面直角坐标系 中,已知 是双曲线 上任意一点,射线 上的点 满足 . 记 的轨迹为 ,则下列说法正确的有
A. 关于 轴、 轴、原点 都对称
B. 上的点到原点 的距离的最大值为 1
C. 存在 ,使得 到点 和点 的距离之差大于 2
D. 任意
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知数列 是各项均为正数的等比数列,设 , 若 ,则 .
13. 在平面直角坐标系 中,已知抛物线 的准线为 ,点 在 上，以 为圆心的圆与 相切且截 轴所得的弦长为 ，则 _____▲_____.
14. 甲、乙两人进行抽卡游戏: 每一局游戏中,将编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的 8 张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取 2 张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取 1 张卡片. 记 为甲抽取的 2 张卡片中较大编号者的编号， 为乙抽取的卡片的编号， 当 时，称该局为 “默契局”，则一局游戏成为 “默契局” 的概率为_____▲_____； 游戏规定:出现“默契局”时，乙得 2 分，甲得 0 分，否则乙得 0 分，甲得 1 分，则三局游戏后甲、乙两人得分之和 的数学期望 _____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
记 的内角 的对边分别为 ，已知 是锐角， .
(1)若 ，求 的值:
(2)若 ， ， 平分 ，求 的面积.
(第 16 题图)
16.(15分)
如图，在直三棱柱 中， 分别为 和 的中点， 平面 .
(1)证明: ；
(2)若 ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长.
17.(15分)
已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ( 为自然对数的底数).
(1)求 的极值；
(2)证明: .
18.(17分)
在平面直角坐标系 中,已知椭圆 的离心率为 ,右顶点和上顶点分别为 和 。
(1)求 的标准方程；
(2)设 为线段 上的动点，过 作平行于 轴的直线与 在第一象限内交于点 ， 点 满足 ,延长线段 交 于另一点 .
① 当 的横坐标为 1 时,记直线 和 的斜率分别为 和 ,求 的值;
② 当直线 的斜率为 1 时,直线 与线段 交于点 ,记 和 的面积分别为 和 ,求 的值.
19. (17 分)
我国北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中的隙积术，给出了二阶等差级数的求和方法， 通过 “构造” 来研究数列问题,体现了构造法在数列研究中的价值. 例如,在数列 中, 已知 ，可以通过两种思路来求解:一是构造 ，则数列 的奇数项和偶数项分别成等差数列; 二是构造 ,则数列 是等比数列或常数列. 请解决以下问题:
已知数列 满足 ，记 为 的前 项和.
(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ，求满足不等式 的所有正整数 ；
(3)若 ，
证明: 当 时, .
2025~2026 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 (二) 数学(参考答案) 2026.5
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C D D A D B
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
题号 9 10 11
答案 ABC AC ABD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 26 13. 4
14. (第一空 3 分,第二空 2 分)
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分.
15.(13分)
解: (1) 因为 ,所以 .
因为 是锐角,所以 ,所以 , 2 分
所以 .
因为 ,所以由正弦定理 得 ,
又因为 ,所以 , 4 分
因为 ,所以 ,
所以由正弦定理得 6 分
(2)由余弦定理 得 ，解得 ， 8 分所以 . 9 分
因为 ,所以 ,
所以 . 11 分
因为 ,所以 ,所以 .
所以 的面积 . 13 分
16. (15分)
解: (1) 法一: 取 中点 ,连结 .
因为 是 的中点,所以 且 .
由直三棱柱的性质知 且 ,所以 且 ,
又因为 是 的中点，所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形,所以 . 3 分
因为 平面 ,所以 ,所以 , 6 分
又因为 是 的中点,所以 . 7 分
法二: 由直三棱柱的性质知 平面 ,
因为 平面 ,所以 ,
又因为 ,所以 两两垂直.
2 分
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 .
设 ,
则 .
因为 分别为 和 的中点,所以 . 因为 平面 ,所以 ,
又因为 ,所以 , 6 分由 解得 ,即 . 7 分
(2)法一:在等腰直角 中，因为 ，所以 ， .
由(1)知， 平面 且 .
设 到平面 的距离为 ，
则三棱锥 的体积 . 9 分又因为三棱锥 的体积 ，
所以由等体积法 ,得 ,解得 . 11 分因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，所以 13 分所以 ,因为 ,所以 ,即 的长为 2 . 15 分
法二: 因为 ,所以由 (1) 知 ,
9 分
设平面 的一个法向量为 ,
则 取 ，则 ，即 . 11 分
设直线 与平面 所成角为 ,则 , 13 分
即 ,化简得 ,
因为 ,所以 ,即 的长为 2 . 15 分
17. (15 分)
解: (1) 因为 ,所以 . 2 分
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增， 4 分所以 的极小值为 ,无极大值. 7 分
(2)因为 ，所以 在点 处的切线方程为 ， 即 ,所以 . 9 分
设 ，则 .
设 ,则 , 11 分
当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减,
所以 的最大值为 ,
即 ,所以 在 上单调递减. 13 分
因为 ,所以当 时, : 当 时, ,
所以 ,不等式得证. 15 分
18.(17分)
解:(1)设 的焦距为 .
因为离心率为 ,所以 .
因为 ,所以 , 2 分
所以 ,进而 , 4 分
所以 的标准方程为 . 5 分
(2)① 当 的横坐标为 1 时， ，
因为 为线段 的中点,所以 ,
所以 ,所以 . 8 分
② 设 ，直线 的方程为 .
由 得 ,
所以 . 10 分
因为 为线段 上的动点,直线 的方程为 ,所以 .
因为 ,所以 ,所以 .
因为 三点共线,所以 ,
又因为 ,所以 ,
将 代入上式并化简,得 , 即 ,解得 . 14 分
当 时， ，与点 在第一象限内矛盾，舍去；
当 时,直线 的方程为 , 因为 ,所以 ,
又由 得 , 15 分
所以 . 17 分
19.(17 分)
解:(1)因为 ，所以 ，
由 和 ，得 . 2 分
因为 ,所以 ,
所以 . 3 分
(2)因为 ，所以 ，
即 ,
因为 ,所以 ,即 ,
所以 ,因为 ,所以 , 5 分
所以 . 6 分
因为 ,所以 ,化简得 ,解得 ,
所以满足不等式 的所有正整数 为 2,3,4 . 8 分
(3)因为 ，
所以 ,
即 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,即 , 10 分
又因为 ,
所以 ,
又因为 ,所以 . 11 分
令 .
因为 ,所以 ,又因为 ,所以 .
所以 .
14 分
因为
,所以 .
综上所述， . 17 分

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