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2025-2026 学年第二学期高一阶段检测 数学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:北师大版必修第一册，第二册 1．1－2．5。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 若 是第四象限角，则 是
A. 第四象限角 B. 第三象限角 C. 第二象限角 D. 第一象限角
2. 集合 的子集数为
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
3. 在平面直角坐标系 中,角 以 为始边,它的终边经过点 ,则
A. B. C. D.
4. 已知 ,则
A. B. C. D.
5. 将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的两倍,纵坐标不变,得到函数 的图象,则 图象的一个对称中心为
A. B. C. D.
6. 已知正数 满足 ,则 的最小值为
A. 17 B. 21 C. 25 D. 29
7. 已知 是 的重心， ， ， ，则 在 上的投影向量为
A. B. C. D.
8. 函数 的所有零点的和为
A. B. C. 3 D. 5
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知向量 满足 ,则 可能为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10. 已知函数 ,则
A. 在 上单调递增 B. 的值域为
C. 的图象关于直线 对称 D. 恰有 1 个零点
11. 已知函数 ,下列命题正确的是
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于原点对称
C. 当 时,
D. 在 上单调递减
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 某志愿者团队共有 50 名男性志愿者和 70 名女性志愿者, 现按比例用分层随机抽样的方法选取 24 名志愿者, 则男性志愿者被选中的人数为_____▲_____.
13. _____▲_____.
14. 已知向量 满足 ，且 ，则 的最大值为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)
已知向量 .
(1)若 三点共线，求 的值；
(2)若 ，求 的值.
16. (15分)
不透明的袋子中装有红球、绿球各 1 个，黄球 个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出 1 个球,且每次黄球被取出的概率为 .
(1)求 的值.
(2)现进行两次取球.
(1)求恰好有一次取出黄球的概率；
(ii)求这两次取出的球的颜色相同的概率.
17. (15 分)
已知函数 的部分图象如图所示,点 ,点 .
(1)求 的解析式;
(2)求 的单调递增区间;
(3)求 在 上的值域.
18. (17分)
定义:若函数 的图象上存在关于原点对称的点，则称 为定义域上的“临奇函数”.
(1)判断定义域为 的函数 是否为 “临奇函数”，并说明理由；
(2)若函数 是定义在区间 上的“临奇函数”, 求 的取值范围.
19.(17 分)
如图，在长方形 中， 是 的中点， 是线段 上的点(含端点).
(1)若 ，用 ， 表示 ；
(2)求 的取值范围；
(3)延长 到点 ，使得 ，若 ，求 .
2025-2026 学年第二学期高一阶段检测 数学参考答案
1.B 因为 是第四象限角，且一 与 的终边关于 轴对称，所以 是第一象限角，将 的终边按逆时针方向旋转 ，角的终边落在第三象限.
2. 由题意得 ，其元素个数为 3，子集个数为 .
3. A .
4. B 因为 ,所以 .
5. 由题可知, ,令 ,得 ,令 ,得 .
6. C 因为 ,所以 ,当且仅当 时,等号成立.
7. A 因为 是 的重心,所以 ,则 在 上的投影向量为
8. 由 ，得 ，则 所有零点的和等价于函数 与 的图象所有交点的横坐标之和. 易得 与 的图象均关于点 对称. ,结合 与 的图象(图略),可知 与 的图象在 内共有 2 个交点,则 与 的图象共有 5 个交点,且关于点 对称,则这 5 个交点的横坐标之和为 ,即 所有零点的和为 .
9. BCD 由题可得 ,从而 .
10. 的定义域为 ,因为 ,所以 的图象关于直线 对称, 正确. 因为 ,且函数 在 上单调递增, 在其定义域内单调递增,所以 在 上单调递增, 正确. 当 时, ,所以 的值域为 错误. 令 ,易得方程 在 内有两解, D 错误.
11. ,显然 的图象不关于原点对称, 错误. 当 时, ,所以 正确.
同理可得,当 时, 的最小正周期为 正确. 当 时, . 函数 在 上单调递减，函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递减，所以函数 在 上单调递减， 在 上单调递减，D 正确.
12.10 由题可知,男性志愿者被选中的人数为 . 13. .
14.5 如图，记 ， ， ， ，则 ， ,可得 . 取 的中点 ,则 ,则 ,则 ,故 是以 为圆心,2 为半径的圆上的动点, . 易得 ,所以 .
15. 解: (1) 因为 ,所以 . 2 分又 三点共线,所以 , 3 分
则 , 5 分
解得 . 6 分
(2)由 ，得 . 7 分
因为 ,所以 , 9 分
则 , 12 分
解得 . 13 分
16. 解:(1)由题可知， , 3 分
解得 . 5 分
(2)(j)因为每次黄球被取出的概率为 ，且两次取出的球的颜色相互独立，所以恰有一次取出黄球的概率为 . 10 分
(ii)由题可知，每次红球和绿球被取出的概率均为 ，且两次取出的球的颜色相互独立，所以这两次取出的球的颜色相同的概率为 . 15 分
17. 解: (1) 由图可得 ,所以 ,即 , 1 分
解得 . 2 分
将 的坐标代入 中，得 ，即 所以 ,因为 ,所以 . 4 分
故 . 5 分
(2)令 ， 7 分
得 , 9 分
所以 的单调递增区间为 . 10 分
(3)设 ，由 ，得 ， 12 分
所以 , 13 分
所以 , 14 分
故 在 上的值域为 . 15 分
18. 解:(1)假设 是 上的“临奇函数”，则存在 ，使得 2 分
整理得 , 4 分
这与 相矛盾,
所以函数 不是 上的“临奇函数”. 6 分
(2)因为 是区间 上的“临奇函数”,
所以存在 ,使得
0 , 8 分
化简得 , 10 分
所以 ,即 , 12 分
因为 ,所以 , 14 分
所以 ,则 , 15 分
因为 恒成立,所以 ,即 , 16 分
所以 ,即 的取值范围为 . 17 分
19. 解: (1) 因为 ,所以 . 2 分
又 是 的中点,所以 , 3 分
从而 . 4 分
(2)(方法一)因为 是线段 上的点，所以 . 6 分
又 ,所以 7 分
. 8 分
由 ，得 ，故 的取值范围为 . 10 分
(方法二) , 5 分
分别记 在 上的射影为 .
由向量的投影可知,当 运动到点 处时, 取得最小值 ,当 运动到点 处时, 取得最大值 . 6 分
记 ， 的交点为 ，易得 ， ， 7 分
则 , 8 分则 , 9 分
则 ,故 的取值范围为 . 10 分
(3)由题可知 ， 11 分
因为 ,所以 . 12 分
又 ,所以 , 13 分
则 ,从而 , 14 分
15 分
则 , 16 分
则 . 17 分

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