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2024 级高二下学期 4 月期中考试试题 数 学
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. ( )
A. 14 B. 21 C. 42 D. 49
2. 可以表示为( )
A. B. C. D.
3. 5 名学生站成一排，若学生甲乙都不站两端，则不同站法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4. 5 名运动员争夺 4 项比赛冠军(每项比赛无并列冠军)，获得冠军的可能种数为( )
A. B. C. 4 D.
5. 已知某厂甲、乙两车间生产同一批商品，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的 70%，30%，甲、乙车间的优品率分别为90%，85%. 现从该厂这批产品中任取一件， 则取到优品的概率为( )
A. 86.5% B. 88.5% C. 90% D. 93%
6. 的展开式中 的系数为( )
A. -40 B. -10 C. 30 D. 40
7. 镇江西津渡元宵节灯展后，悬挂的 2 串(7 盏)不同的花灯需要取下，如图所示，每次取 1 点,第一串最下面的花灯标记为 ,第二串最下面的花灯标记为 ,若 7 盏等都需要取下,则花灯 与花灯 被相邻取下的概率为 ( )
A. B. C. D.
8. 已知 ,则
( )
A. B.
C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知一组数据如下:2023，2024，2025，2025，2026，2027，则()
A. 这组数据的极差为 4
B. 这组数据的方差为 2
C. 这组数据的众数等于平均数
D. 这组数据的第 70 百分位数为 2026
10. 已知事件 满足 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 如果 ,那么
B. 如果 与 相互独立,那么
C. 如果 与 互斥,那么
D. 如果 ,那么
11. 若 ，则( )
A. B.
C. D. 被 除的余数为 4
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 某班学号1-8 的学生铅球测试成绩如下表:
学号 1 2 3 4 5 6 7 8
成绩 9.2 7.9 8.5 6.8 5.2 7.2 8.1 8.2
可以估计这 8 名学生铅球测试成绩的第 25 百分位数为_____.
13. 已知多项式 , 则 的值为_____.
14. 镇江中学教学区含有三个年级的教学楼与养德楼共四座楼, 有学生建议在这 4 座楼的第五层位置建 3 个连廊，将这 4 座楼宇连接起来。若采纳建议的话，则共有_____种不同的方案.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. (13 分) 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动, 现从中抽取 200 名学生, 记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题:
(1)若从成绩不高于 60 分的同学中按分层抽样方法抽取 5 人成绩，求 5 人中成绩不高于 50 分的人数:
(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
(3)若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为 ，乙复赛获优秀等级的概率为 ,甲、乙是否获优秀等级互不影响,求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率.
16. (15分)镇江某商场开展购物抽奖活动，在袋中装有标有数字 1 到 6 的六个大小、形状相同的小球, 从袋中任取 3 个小球, 每个小球被取出的可能性都相等, 用 表示取出的 3 个小球上的最大数字,奖励的金额为三个小球上的最大数字的 50 倍人民币,用 表示获得的奖金数额.
(1)求取出的三个球的标号和为奇数的概率；
(2)在已知取出的三个小球的标号和为奇数的条件下，求 的概率；
(3)计算随机变量 的分布列与数学期望.
17. (15 分) 已知在 的展开式中,只有第 6 项的二项式系数最大.
(1)求 ；
(2)求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项.
18. (17分)已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过椭圆 上异于椭圆顶点的点 作两条直线，分别与椭圆 相交于异于点 的点 ,若四边形 为平行四边形,探究四边形 的面积是否为定值. 若是, 求出此定值; 若不是, 请说明理由.
(3)在(2)的条件下，直线 必与一个定椭圆相切，请写出此椭圆方程并证明.
19. (17分)已知函数 ，
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)求函数 的最小值
(3)当 时, ,求实数 的取值范围.
2024 级高二下学期 4 月期中考试试题 数学参考答案
1. B 2. C 3. A 4. D
5. B 6. C 7. A 8. D
9. ACD 10. BC 11. ABD
12. 7
13. -255
14.16
15. 解: (1) 由 ,得 , 因为 (人), (人).
所以不高于 50 分的抽 (人); 4 分
(2)平均数 . 因为在 内共有 80 人，则中位数位于 内，设中位数为 ，
,解得 ; 9 分
(3)法一:记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件 ，则
至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为 . 13 分法二: 记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件 ,
至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为 . 13 分
16. 解: (1) 记事件 : 取出的三个球的标号和为奇数, .1 分
4 分
(2)事件 ,
8 分
(3)随机变量 的取值为:30,40,50,60,
12 分
的分布列为:
150 200 250 300
1
15 分
17. 解: (1) 因为二项式展开式中间项的二项式系数最大, 而只有第 6 项的二项式系数最大,所以展开式共有 11 项,得 . 2 分
(2) 展开式的通项是 ,
1) 系数的绝对值为 ,若它最大,则
解得 . 6 分
因为 ,所以 . 此时第 4 项系数绝对值为 15,
而第 1 项系数绝对值为 1,第 11 项系数绝对值为 , 8 分
所以系数绝对值最大的项是第 4 项,
即 . .9 分
2) 系数最大的项应在项数为奇数的项之中,即当 取偶数0,2,4,6,8,10时, 相应各项系数分别为
故系数最大的项是第 5 项为 . 15 分
说明: 若学生用上面求绝对值系数最大时对应的项的系数是负数后, 就下结论系数最大项为检查它相邻两项谁的系数大就确实是谁, 这种做法缺少逻辑性, 扣 4 分.
18. 解: (1) 由题意得: 得 ,
故椭圆 的标准方程为: . .3 分
(2)设直线 ，
联立 可得 ,
则 ,
.5 分
四边形 为平行四边形, ,
, .6 分
点 在椭圆上, ,
整理得 , .7 分
原点 到直线 的距离 , .9 分
四边形 的面积为定值 . 10 分
(3)一个定椭圆方程为 12 分
证明如下:
,可得 .14 分
则 ,
由(2)可知:
16 分
直线 与定椭圆 相切. .17 分
19. 解: (1) 当当 时, ,
当 时, ,当 时, ,
函数 单调递减区间是 ,单调递增区间是 .3 分
(2)
1) 当 时, 恒成立
在 上递减 4 分
2) 当 时, 时,
时,
在 上递减,在 上递增
当 时, ,得到
当 时, ,得到
当 时, ,得到
当 时, 在 上递减,
当 时, 在 上递减,在 上递增
当 时, 在 上递增,
综上: .9 分
(3)
令
当 ,即 时,由 ,
,而
恒成立 .11 分
当 ,即 时
取 .13 分
不恒成立
综上: .17 分

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