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数 学
满分 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 若 为虚数单位, ,则
A. -2i B. -i C. i D.
3. 已知实数 满足 ,且 ,则
A. B. C. D.
4. 已知函数 ,若方程 只有一个实数解,则 的取值范围为
A. B. C. D.
5. 已知事件 相互独立,且 ,则
A. B. C. D.
6. 设命题 ,命题 为定义在 上的奇函数,则 是 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分又不必要条件
7. 一个底面半径为 的圆柱形水槽中装有一半量的水，现放入一个木球后，水面上升 且无溢出，若木球体积的三分之二在水中，三分之一在水上，那么木球的半径为( )cm.
A. B. C. D.
8. 直角 斜边 ,动点 满足 ,则 的最大值为
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分。
9. 2026 年 1-2 月份,我国各地区各部门认真落实党中央、国务院决策部署,持续扩大内需、优化供给, 生产供给增长加快，市场需求稳中有升，新质生产力成长壮大，经济运行起步有力，实现良好开局. 下图是规模以上工业十种有色金属(简称十种金属)同比增速及日均产量的部分统计数据. 则
A. 十种金属增速数据的众数是 2.9 B. 十种金属增速数据的平均数是 3.57
C. 十种金属日均产量数据的极差是 -1.3 D. 十种金属日均产量数据的 80% 分位数是 23.25
10. 已知数列 满足 ,且 ,则
A. B.
C. D.
11. 棱长为 2 的正方体 中,点 为 的中点, 为侧面 内一动点 (含边界),且满足 面 ,则下面正确的是
A. 点 的轨迹长度为
B. 三棱锥 的体积为
C. 直线 与平面 所成角的正切值最大是 2
D. 存在点 使平面 平面
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 的展开式中 的系数为 15,则 _____.
13. 双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 是双曲线 右支上一点,若 ，且 ，则该双曲线的离心率是_____.
14. 方程 的正整数解 的个数为_____. 在所有正整数解中随机取一个，则取到的解恰好满足 的概率为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本题满分 13 分) 已知向量 .
(1)求函数 图象的对称轴方程；
(2)在 中，角 为锐角且 ，求 面积的最大值.
16. (本题满分 15 分) 学校餐厅每天中午都会提供 、 两种套餐 (每人每次只能选择其中一种),经统计分析发现:学生第一天选择 类套餐的概率为 、选择 类套餐的概率为 . 而前一天选择了 类套餐第二天选择 类套餐的概率为 、选择 套餐的概率为 ；前一天选择 类套餐第二天选择 类套餐的概率为 、选择 类套餐的概率也是 ,如此往复,记某同学第 天选择 类套餐的概率为 .
(1)证明; 数列 是等比数列,并求数列 的通项公式;
(2)记高三某宿舍的 3 名同学在开学第二天选择 类套餐的人数为 ，求 的概率分布列及数学期望.
17. (本题满分 15 分) 如图,在四棱锥 中,底面 为菱形, 为正三角形,平面 平面 是 的中点.
(1)证明: ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. (本题满分 17 分) 已知函数 .
(1)当 时,求曲线 在 处的切线方程;
(2)当 时,若存在正数 使 ，比较 的值与 1 的大小关系；
(3)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
19. (本题满分 17 分) 平面直角坐标系 中,动点 与定点 的距离和 到定直线 : 的距离的比是常数 ，记点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)已知过椭圆 外一点 引椭圆的两条切线，过两切点的直线方程为 . 现过曲线 外一点 作曲线 的切线,切点分别为 .
( i )证明:直线 平分 ；
(ii) 直线 与直线 交于点 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，直线 ， 的斜率分别为 ，探究 是否为定值,若为定值，求出该定值，若不为定值请说明理由.
数学参考答案
1.C 2.A
3. D
4. A
5. : 事件 相互独立, 事件 与 也相互独立,
,两式相除可得 ,解得 . ,得 . 故选:C.
6. B 7. D
8. B 【注】如图直角 斜边 ,可得 . 延长 到点 ,使 ,由题意 知动点 的轨迹为以 为圆心,2 为半径的圆. 过点 作直线 的垂线,垂足为 . 则得 . 所以当直线 与圆 相切时, 最大,最大值为 . 故选 B.
【法二】如图直角 斜边 ,可得 . 延长 到点 ,使 ,由题意 知动点 的轨迹为以 为圆心,2 为半径的圆. 建立如图坐标系, . 设 得 , ,则当 时, 的最大值为 . 故选 B.
9. ABD
10. 由题意,可知 ,可知该数列的周期为 4,可得 ,故 A 正确. 取 ,所以 ,故 B 正确. ,则 . 故 C 正确. . 故 D 错误. 故选 ABC.
11. BD 分别取棱 的中点 ,知平面 与面 的交线为 ,又 面 面 面 , ,同理得 面 ,又 ,所以平面 平面 , 由题意 面 ,知点 在 的轨迹为线段 ,且 ,故 错误, 正确. 直线 与平面 所成角即直线 与平面 所成角, 在 中， ，所以 距离最小时直线 与平面 所成角的正切值最大是 ，故 错误。当点 是线段 的中点时,可证明 ,所以 平面 ,又 ,所以平面 平面 ,又平面 平面 ,所以平面 平面 ,故 D 正确. 故选 BD.
12.6 ,即 ,故填 6 .
13. 【法一】设 ,则 ,
由 ，知点 是圆 的一点，联立 ，解得 ，
又因为 ,所以 ,则 ,得 .
则 ,得 ,所以离心率为 .
【法二】设 ,由 可得 ,
所以 ,
两式相减得 ,
.
14.406 提示: 首先易知 的正整数解的个数为 .
把 满足 的整数解分为三类:
均相等的整数解的个数显然为 1 个,是 ;
② 中有且仅有 2 个相等的正整数解的个数为 13 个,分别为 ,
22) ;
③ 设 两两均不相等的正整数解为 ，易知 ，所以 ，即 . 从而满足 的正整数解的个数为 . 所以在所有正整数解中随机取一个,则取到的解恰为满足 的解的概率为 .
15. 解: (1) 依题意, ,
即 (2 分)
令 ,即 ,
所以函数 的对称轴方程为 . (5 分)
(2)由(1)及 得: ，
即 ,
由 ,则 ,
因此 ,则 , (8 分)
得 ,又 .
, (10 分)
因为 ,则 ,
当且仅当 时,等号成立. (12 分)
此时 面积最大值为 . (13 分)
16. 解: (1) 依题意, ,
则 , (3 分)
(4 分)
当 时,可得 , (5 分)
数列 是首项为 ,公比为 的等比数列.
(7 分)
(2)【法一】某同学第二天选择 类套餐的概率 ;
第二天选择 类套餐的概率 , (9 分)
【法二】由 (1) 知某同学第 2 天选择 类套餐的概率 ,
第二天选择 类套餐的概率 , (9 分)
记 3 名同学在开学第二天有 个人选择 套餐,
的所有可能取值为 ,
有 , (10 分)
的分布列为
0 1 2 3
(13 分)
故 . (15 分)
17. 解: (1) 设 的中点为 ,又 是 的中点.
连接 ,则在 中,有 ,
又因为在菱形 中有 ,所以 ; (2 分)
因为 为正三角形， 为 中点，所以 ；
又因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,所以 ; (4 分)
因为 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以 . (6 分)
(2)连接 ，因为 ，所以 为等边三角形，所以 ；
由(1)知， 平面 ，故以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
设 ,
则 ,
则 ,
(8 分)
设面 的一个法向量为 ,
则 ,即 .
可取 ; (10 分)
设面 的一个法向量为 ,
则 ,
可取 ; (12 分)
因为 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . (15 分)
18. 解: (1) 当 时, ,则 , (1 分)
,又 ,
所以曲线 在 处的切线方程为 . (3 分)
(2)当 时， ，
设 ,则 ,
得 ,又 单调递增,
所以当 时, ,函数 在区间 单调递减,
当 时, ,函数 在区间 单调递增, (6 分)
又 ,
因为 ,故 .
设 , (8 分)
故 单调递增,
则 ,
得 . (10 分)
(3)【法一】若不等式 恒成立，知 .
且 恒成立,
即 , (12 分)
设 ,得 ,
故函数 在 单调递增,
所以由 ,得 恒成立,
又 ,即 恒成立, (13 分)
设 ,得 ,
又 ,
所以当 时, ,函数 在区间 单调递减,
当 时, ,函数 在区间 单调递增, (15 分)
故函数 的最小值为 ,
所以 .
综上若不等式 恒成立，实数 的取值范围为 . (17 分)
【法二】若不等式 恒成立,知 .
且 恒成立,
即 , (12 分)
设 ,得 ,
故函数 单调递增,
所以由 ,得 恒成立,
即 ,得 , (13 分)
设 ,
得 ,
又 ,
所以当 时, ,函数 在区间 单调递减,
当 时, ,函数 在区间 单调递增, (15 分)
故函数 的最小值为 ,
所以 .
综上若不等式 恒成立，实数 的取值范围为 . (17 分)
19. 解: (1) 依题意得 ,即 ,
整理得 ,即 . (3 分)
(2)(i)设 ，
则由题意直线 的方程为 .
则 ,且 . (5 分)
整理得 .
则由题意知 到定点 的距离和 到定直线 的距离的比是常数 ,
故 ,同理 .
又 (7 分)
将 代入上式，
得 (9 分)
同理, , (10 分)
欲证直线 平分 ,可证 ,
即证 ,显然成立. 所以直线 平分 成立. (12 分)
(ii) 由 (i) 知 平分 ,由题意,
设 ,得 ,
则 , (13 分)
得 ,整理得 ,
又 , (15 分)
所以 ,
则 为定值 0 . (17 分)

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