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高二数学测评
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容: 人教 A 版选择性必修第二册第五章占 50%, 选择性必修第三册第六章至第七章第 4 节占 50%。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知 ,则
A. -8 B. -2 C. 2 D. 8
2. 某天食堂供应 4 种不同的主食和 8 种不同的菜品, 小张这天从该食堂选择 1 种主食和 2 种不同的菜品,则不同的搭配方案有
A. 32 种 B. 60 种 C. 84 种 D. 112 种
3. 若函数 在 上单调递增,则 的取值范围是
A. B. C. D.
4. 假设书包里仅有 4 支水笔和 6 支铅笔，现从该书包中不放回地依次(每次取一支)取出两支笔， 记事件 表示“第一次取出的笔是铅笔”,事件 表示“第二次取出的笔是水笔”,则
A. B. C. D.
5. 已知奇函数 ,则
A. -9 B. -5 C. 5 D. 9
6. 若随机变量 的分布列如下:
1 2 3 4
0.4 0.3 0.2 0.1
则随机变量 的方差
A. 1 B. 1.4 C. 2 D. 2.4
7. 已知定义在 上的函数 的导函数为 ,若 ,且 ,则不等式 的解集是
A. B.
C. D.
8. 某校举办校园科技节，需从 6 名男生和 4 名女生中选派 4 人，分别担任编程、航模、机器人、实验四项不同活动的主持人，要求所选派的 4 人中至少有 2 名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由 1 人主持，则不同的选派方案有
A. 504 种 B. 1080 种
C. 1224 种 D. 2304 种
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列函数求导正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
10. 将 这五名实习医生分别安排到内科、外科、急诊科三个科室进行轮岗学习，要求每个科室至少安排一名实习医生,且每个实习医生只到一个科室轮岗学习,则下列判断正确的是
A. 若急诊科要安排两名实习医生，则有 60 种不同的安排方法
B. 若每个科室至多安排两名实习医生，则有 180 种不同的安排方法
C. 若 被安排在同一科室,则有 36 种不同的安排方法
D. 若 被安排在内科,则有 56 种不同的安排方法
11. 已知函数 ,则下列判断正确的是
A. 的极大值点为 0
B. 曲线 与 不存在公切线
C. 若 ，则 的最小值为 1
D. 当直线 与 的图象的交点个数之和最多时， 的值可以为
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 一质点沿直线运动,位移 (单位: ) 与时间 (单位: )之间的关系为 , 则该质点在 时的瞬时速度为 .
13. 某农场计划建造一个底面是正方形,且体积为 216 立方米的长方体形无盖蓄水池. 已知池底每平方米的造价为 200 元，池壁每平方米的造价为 100 元，当该蓄水池的高为_____▲_____米时，建造该蓄水池的总造价(池底和池壁的造价之和，单位:元)最低.
14. 已知 ,则 _____▲_____， _____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
某奶茶店推出一款新奶茶——抹茶奶绿. 已知从该店在售的奶茶中随机购买 1 杯, 买到抹茶奶绿的概率是 .
(1)若顾客甲从该店在售的奶茶中随机购买 3 杯奶茶, 求顾客甲购买的奶茶中恰好有 2 杯是抹茶奶绿的概率;
(2)若顾客乙从该奶茶店已经做好的 10 杯奶茶(其中抹茶奶绿有 3 杯)中随机购买 4 杯，记顾客乙购买的奶茶中抹茶奶绿的数量为 ,求 的分布列与数学期望.
16. (15分)
已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程是 .
(1)求 ， 的值；
(2)求曲线 过点 的切线方程.
17. (15分)
已知 展开式中前三项的二项式系数和为 46 .
(1)求 的值；
(2)求 展开式中含 的项的系数；
(3)求 展开式中系数最大的项.
18.(17分)
某校社团联合会开展“招新闯关挑战”，规则如下:闯关挑战由甲、乙两名同学接力完成，第一关的挑战者由抽签决定，甲、乙被抽中的概率均为 0.5 . 若挑战者闯关成功，则由本人继续挑战下一关；若闯关失败，则换另一名同学挑战下一关. 直到两名挑战者闯关都失败，挑战结束. 已知甲每次闯关成功的概率是 0.7 , 乙每次闯关成功的概率是 0.8 , 且甲、乙每次闯关是否成功都是相互独立的. 记第 关的挑战者是甲的概率为 .
(1)求 ；
(2)求第二关和第三关的挑战者是同一人的概率；
(3) 求 .
19.(17分)
已知函数 .
(1)求 的单调区间.
(2)设 有 3 个不同的零点 ，且 .
(1)求 的取值范围；
(II)证明: .
高二数学测评参考答案
1. A 因为 , 所以 .
2.D 第一步,选择主食,有 种不同的搭配方案; 第二步,选择菜品,有 种不同的搭配方案. 故不同的搭配方案有 种.
3.C 由题意可得 . 因为 在 上单调递增,所以 在 , 3]上恒成立，即 在 上恒成立，即 .
4. B 由题意可得 ,则 .
5. A 因为 是奇函数，所以 ，所以 ，则 ，所以 ,解得 ,故 .
6. A 因为 ,所以
7. 设 ,则 . 因为 ,所以 , 即 ,所以 在 上单调递增. 不等式 等价于不等式 ,即 . 因为 ,所以 ,所以 . 因为 在 上单调递增,所以 ,解得 或 .
8.C 若选派的是 1 名男生和 3 名女生,则有 种不同的选派方案; 若选派的是 2 名男生和 2 名女生，则有 种不同的选派方案. 故满足要求的不同的选派方案有 种.
9. ABD 由 ,得 , A 正确. 由 ,得 , B 正确. 由 ,得 , C 错误. 由 ,得 , D 正确.
10. 若急诊科要安排两名实习医生,则有 种不同的安排方法, 正确. 若每个科室至多安排两名实习医生,则有 种不同的安排方法, B 错误. 若 被安排在同一科室,则有 种不同的安排方法, 正确. 当内科只安排一名实习医生时,有 种不同的安排方法; 当内科安排两名实习医生时,有 种不同的安排方法; 当内科安排三名实习医生时,有 种不同的安排方法. 故 A 被安排在内科,有 种不同的安排方法, D 错误.
11. ACD . 当
时, ; 当 时,
; 当 时, ; 当 时, . 所以 的极大值点为 正确.
可以作出曲线 与 的一条公切线 ,如图所示, 错误.
若 ,则 图象上的每个点都不在直线 的下方,因为 为直线 的横截距,由图可知,当直线 与曲线 相切于点 时, 的值最小,且最小值为 1 , 正确.
由图可知,直线 与 的图象的交点个数之和最多为 6,因为 , 且 ,所以当直线 与 , 的图象的交点个数之和最多时, 的值可以为 , 正确.
12. -6 由题意可得 ,则 .
13.6 设该蓄水池的底面边长为 米,则该蓄水池的高为 米,所以建造该蓄水池的总造价 ,所以 . 由 ,得 ,则 在 上单调递增; 由 ,得 ,则 在 上单调递减. 故当 时, 取得最小值,即当该蓄水池的高为 6 米时, 建造该蓄水池的总造价最低.
14. 展开式的通项 ,令 ,得 ,则 ,即 . 设 ,则 . 令 ,得 .
15. 解: (1) 由题意可得顾客甲购买的奶茶中恰好有 2 杯是抹茶奶绿的概率 . 4 分
(2)由题意可知 的所有可能取值为0,1,2,3， 6 分
则 , 7 分
8 分
9 分
10 分
所以 的分布列为
0 1 2 3
11 分
故 . 13 分
16. 解:(1)因为 ,所以 , 1 分
则 3 分
解得 . 5 分
(2)由(1)可知 ,则 . 6 分
当 是切点时,所求切线斜率 , 7 分
则所求切线方程为 ,即 . 8 分
当 不是切点时,设与曲线 相切的切点为 ,
由导数的几何意义可得 , 9 分
整理得 ,即 ,
解得 舍去 , 12 分
则所求切线斜率 , 13 分
故所求切线方程为 ,即 . 14 分
综上,所求切线方程为 或 . 15 分
17. 解: (1) 由题意可得 ,即 , 1 分
所以 ,即 , 2 分
解得 . 3 分
(2) 展开式的通项 . 5 分
令 ,解得 , 6 分
所以 ,即 展开式中含 的项的系数为 144 . 8 分
(3)设 展开式中的第 项的系数最大，
则 10 分
解得 . 12 分
因为 ,所以 , 13 分
即 展开式中的第 4 项的系数最大,且系数最大的项为 . 15 分
18. 解: (1) . 3 分
(2)第二关和第三关的挑战者都是甲的概率为 , 5 分
第二关和第三关的挑战者都是乙的概率为 , 7 分
则第二关和第三关的挑战者是同一人的概率为 . 8 分
(3)由题意可得 ,即 , 10 分
所以 . 12 分
因为 ,所以 , 13 分
则 是首项为 0.1,公比为 0.5 的等比数列, 14 分
所以 , 16 分
故 . 17 分
19.(1)解:因为 ，所以 ( 0). 1 分
由 ,得 或 ,则 在 和 上单调递增; 2 分由 ,得 ,则 在 上单调递减. 3 分
故 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 . 4 分
(2)(i)解:由(1)可知 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
当 时, ,当 时, , 5 分
且 . 6 分
因为 有 3 个不同的零点,所以 7 分
解得 ,即 的取值范围是 . 8 分
(ii) 证明: 由 (1) 知 .
设 ,
则 分则 对 恒成立，即 在 上单调递增，
故 ,即 对 恒成立. 10 分
因为 ,所以 .
因为 ,且 在 上单调递减,
所以 ,即 . 12 分
设 ,则 13 分
则 对 恒成立，即 在 上单调递增，
故 ,即 对 恒成立. 14 分
因为 ,所以 .
因为 ,且 在 上单调递增,
所以 ,即 . 16 分
因为 ,所以 ,则 . 17 分

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