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高二年级下学期第二次阶段总结 数 学
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:人教 A 版选择性必修第三册。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 某校开展阅读打卡活动，语文老师要求每个学生阅读中国名著和外国名著各一本，现有 6 本中国名著和 5 本外国名著可供选择，小明按照语文老师的要求进行选择，则不同的选法共有
A. 11 种 B. 15 种 C. 22 种 D. 30 种
2. 已知随机变量 的分布列为
1 2 3 4
则
A. B. C. D.
3. 若随机变量 ,且 ,则
A. 0.8 B. 0.6 C. 0.3 D.0.2
4. 某同学参加校园义卖活动,将自己制作的 8 个不同类型的手工艺品排成一排进行售卖,要求其中的甲、乙、丙 3 个手工艺品相邻排列, 则不同的排法总数为
A. 1440 B. 2160 C. 4320 D. 5760
5. 甲、乙两位旅游博主准备周末去 这 4 个景点中的某一个景点打卡,事件 表示甲、乙至少有 1 人去 景点,事件 表示甲、乙去相同的景点,则
A. B. C. D.
6. 的展开式中仅有第 30 项的二项式系数最大,则展开式中的有理项有
A. 21 项 B. 20 项 C. 10 项 D. 9 项
7. 端午节吃粽子是一大习俗,粽子,又叫角黍、简粽. 某礼盒中有 6 盒粽子,其中 3 盒是豆沙粽, 3 盒是鲜肉粽,从中任取 2 盒粽子,记取到的鲜肉粽有 盒,则 的方差为
A. B. C. D.
8. 某车企为了更好地设计开发新车型, 统计了近期购车的车主性别与购车种类 (新能源车或者燃油车)的情况，其中新能源车占销售量的 74%，男性占近期购车车主总数的 60%，女性购车车主有 80% 购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为
A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 通过随机抽样,得到变量 和变量 的 7 对数据,并绘制成散点图如图所示，已知变量 和变量 线性相关，且回归直线是图中直线 ，则下列说法正确的是
A. 直线 的斜率是负数
B. 变量 与变量 正相关
C. 相关系数
D. 若去掉图中点 后，剩余数据的相关系数 变大
10. 某高校安排男生甲、乙、丙和女生 、 到 3 家公司实习，每人只安排一家公司，则
A. 共有 种安排方式
B. 每家公司至少有一人的不同安排共有 150 种
C. 丙独自一人在一家公司的概率为
D. 、 在同一家公司，甲、乙不在一家公司的安排方式共有 30 种
11. 在 维空间中 ,以单位长度为边长的 “立方体” 的顶点坐标可表示为 维坐标 ,其中 . 定义: 在 维空间中两点 与 的曼哈顿距离为 . 在 6 维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点,记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量 ,则
A. 6 维“立方体”的顶点有 36 个 B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 若 ,则 _____.
13. 已知随机变量 ,若 ,则 _____.
14. 一质点在平面内每次只能向左或向右跳动 1 个单位，且第 1 次向左跳动. 若本次向左跳动， 则后一次向左跳动的概率为 ; 若本次向右跳动,则后一次向左跳动的概率为 . 记第 次质点向左跳动的概率为 ，则 _____；记前 次跳动中，质点累计向左跳动 次，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
某大学想了解本校学生对食堂的满意度情况，对该大学的 100 名学生进行食堂满意度调查， 调查结果如表所示:
满意 不满意 合计
大一或大二 20 20 40
大三或大四 40 20 60
合计 60 40 100
(1)根据小概率值 的独立性检验，分析该大学的学生对食堂的满意度是否与年级有关联;
(2)从样本中对食堂满意的学生中随机抽取 2 人，求这 2 人均是大三或大四学生的概率.
附: .
0.1 0.05 0.01
。 2.706 3.841 6.635
16. (本小题满分 15 分)
已知 的展开式中第 3 项与第 项的二项式系数之和为 30 .
(1)求 的值；
(2)记(2-x) ，从 中任取两个相乘，求积为负数的概率.
17. (本小题满分 15 分)
某公司投资某款电动玩具的宣传费 (单位:十万元)和销量 (单位:百万件) 如表所示:
宜传费 (十万元) 3 4 5 6
销量 (百万件) 2.5 3 4 4.5
(1)已知可用线性回归模型拟合 与 的关系，求 关于 的经验回归方程；
(2)若甲、乙两人购买这款电动玩具的概率分别为 ，且甲、乙是否购买这款电动玩具互不影响. 若每个电动玩具的售价均定为 80 元，且两人购买电动玩具的总金额的期望不超过 120 元,求 的取值范围.
参考公式: 经验回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
18. (本小题满分 17 分)
围棋起源于中国，古时称“弈”，属“琴棋书画”四艺之一，是古老的智力游戏和高雅的竞技运动，“对弈”特指下围棋. 现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是 ，甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是 . 在甲与乙对弈的三盘中，甲恰好赢一盘的概率高于甲恰好赢两盘的概率. 已知各盘棋的输赢相互独立.
(1)求 的取值范围;
(2)已知 ，在甲与丙对弈的三盘中，甲赢的盘数是 ，求 的分布列与数学期望；
(3)若在甲与丙对弈的三盘中，甲恰好赢一盘的概率低于甲恰好赢两盘的概率，设甲与乙的三盘对弈中恰好赢一盘的概率为 ，甲与丙的三盘对弈中恰好赢一盘的概率为 ,求证: 对任意的 ,存在 ,使得 .
19. (本小题满分 17 分)
某校在高中三个年级中抽取 个学生进行体能测试,且这 人中高一年级的学生有 人，将这 个学生编号为 ，并按照编号从小到大进行测试，直到所有学生测试完毕.
(1)求2号学生为高一学生的概率(用 与 表示)；
(2)若 ，记随机变量 为最后一个被测试的高一学生的编号，求 ；
(3)若 个学生中高二学生和高三学生的人数分别为 ， ，求高二学生先于高一学生和高三学生被测试完(高二学生被全部测试完时，高一学生和高三学生都有剩余)的概率.
高二年级下学期第二次阶段总结 - 数学 参考答案、提示及评分细则
1.D 由分步乘法计数原理,得不同的选法共有 种. 故选 D.
2.D 由随机变量分布列的性质知 ，解得 . 故选 D.
3.B 因为随机变量 ,所以正态曲线的对称轴是 ,所以 ,所以 . 故选 B.
4.C 若甲、乙、丙 3 个手工艺品相邻排列,则有 种情况,将甲、乙、丙 3 个手工艺品看作一个整体,和剩余的 5 个工艺品进行排列,则有 种情况. 综上,共有 种不同的排法. 故选 C.
5. A ,所以 . 故选 A.
6.C 因为展开式中仅有第 30 项的二项式系数最大,所以 ,所以当 为 6 的整数倍时, 为有理项,所以 的取值依次为0,6,12, 18,24,30,36,42,48,54,共 10 项. 故选 C.
7. 由题意知 服从超几何分布, . 故选 B.
8. 设男性中有 %购买了新能源车，则 ，解得 ，所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是 0.7 . 故选 D。
9. AC 由图可知直线 的斜率是负数,所以变量 与变量 负相关,相关系数 ,故 AC 正确, B 错误; 若去掉图中点 后,剩余的数据会更集中,相关程度会更高,相关系数的绝对值 变大,又 ,所以相关系数 变小,故 错误. 故选 AC.
10. BC 对 A 选项,5 人选 3 家公司,每人选一家共 种,故 A 错误; 对 B 选项,每家公司至少一人,则有 种，故 正确；对 选项,丙独自在一家公司有 种，所以丙独自在一家公司的概率 ,故 C 正确; 对 D 选项, 在同一家公司,甲、乙不在同一家有 种, 即 54 种,故 D 错误. 故选 BC.
11. BCD 对于 6 维坐标 ,其中 ,即 有 2 种选择 ,故共有 种选择,即 6 维“立方体”的顶点有 64 个,故 错误; 当 时,在 与 中有 3 个坐标值不同,即有 3 个 满足 ,有 3 个 满足 ,所以满足 的顶点有 组, ,故 B 正确; 满足 的顶点有 组,所以 ,即 , ,所以 ,故 正确; ,故 D 正确. 故选 BCD.
12.2 或 3 由组合数的性质知 ,或 .
13. 36 由题知 ,所以 ,解得 .
14. 由题意,得 ,设 ,则 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ,所以 . 设第 次质点向左跳动的次数是随机变量 ,则 服从两点分布,且 ,所以 ,又 ,所以 .
15. 解:(1)零假设 : 该校学生对食堂的满意度与年级无关. 2 分
经计算得 , 5 分
依据小概率值 的独立性检验,推断零假设 不成立,即该校学生对食堂的满意度与年级有关联,此推断犯错误的概率不大于 0.1 . 8 分
(2)对食堂满意的学生共 60 人，其中大一或大二学生: 20 人，大三或大四学生: 40 人，
抽取 2 人均为大三或大四学生的概率: . 13 分
16. 解:(1)第 3 项与第 项的二项式系数之和为 ， 3 分
即 , 5 分
又 ,所以 . 7 分
(2)由(1)得 ，(2-x) 的通项公式为 ，所以 ， ，6， 10 分
所以当 时, ,当 时, , 12 分
所以从 中任取两个相乘,积为负数的概率为 . 15 分
17. 解: (1) 由题知 , 1 分
2 分
所以 , 4 分
所以 , 5 分
所以 关于 的经验回归方程为 . 6 分
(2)设甲、乙两人中选择购买这款电动玩具的人数为 ，
则 的所有可能取值为0,1,2, 7 分
又 ,
9 分
所以 , 11 分
12 分
令 ,即 ,解得 . 14 分
又 ,所以 的取值范围为 . 15 分
18.(1)解:在甲与乙对弈的三盘中，甲恰好赢一盘的概率为 ，甲恰好赢两盘的概率为 , 2 分
因为甲恰好赢一盘的概率高于甲恰好赢两盘的概率,所以 , 3 分又 ,所以 ,解得 ,
即 的取值范围是 . 4 分
(2)解:已知在甲与丙对弈的三盘中，每盘甲赢棋的概率是 ，若甲赢的盘数是 ，则 ，
所以 ,
的分布列为:
0 1 2 3
27 125 54 25 36 2 1
8 分
所以 或 . 10 分
(3)证明:在甲与丙对弈的三盘中，甲恰好赢一盘的概率为 ，甲恰好赢两盘的概率为 ,
因为甲恰好赢一盘的概率低于甲恰好赢两盘的概率,所以 ,
又 ,所以 ,解得 . 12 分
由题意,得 ,
13 分
令 ,
因为 ,所以 ,
又 ,所以当 时, . 15 分
令 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
又 ,所以对任意的 ,存在 ,使得 . 17 分
19. 解: (1) 设事件 : 第 号学生为高一学生,
则 . 3 分
(2)根据题意，随机变量 的取值为4,5,6,7,8,9,10， 4 分
则
所以 的分布列为:
4 5 6 7 8 9 10
2 5
7 分
所以 . 9 分
(3)解法一:根据题目本题主要关注的问题是最后一个学生是哪个年级的学生.
问题 1: 如果最后一个学生为高一学生, 即高一学生测试完时, 高二学生和高三学生已经全部测试完, 此时的概率为 ,同理可得,最后一个学生为高二学生的概率为 ,最后一个学生为高三学生的概率为 . 11 分
高一学生,高二学生,高三学生的人数分别为 ,按照比例可以转化为高一学生 1 人,高二学生 1 人, 高三学生 2 人进行考查.
问题 2 : 最后一个学生为高一学生的概率为 ,最后一个学生为高二学生的概率为 ,最后一个学生为高三学生的概率为 ,所以问题 1 与问题 2 等价. 13 分
不妨令高一学生为 ,高二学生为 ,高三学生为 ,则全排列作为概率公式分母,即 .
记“高二学生先于高一学生和高三学生被测试完(高二学生被全部测试完时,高一学生和高三学生都有剩余)”为事件 ，现在对事件 进行分析:第一类: 在首位时， 全排列，有 种可能；第二类: 在第二位时， 必须在第三或第四位， ， 全排列，有 种可能.
所以 .
综上所述, 高二学生先于高一学生和高三学生被测试完 (高二学生被全部测试完时, 高一学生和高三学生都有剩余)的概率为 . 17 分
解法二: ① 若最后一个学生为高一学生,有 种方法:
先将全部高三学生排在此高一学生前面,共 种方法;
再将全部的高二学生一个一个地排入, 确保最后一个高二学生后面有高一学生和高三学生, 共有 种方法;
最后将剩余的 个高一学生一个一个地排入,共有 种方法. 综上所述,共有 种方法. 12 分
②若最后一个学生为高三学生，有 种方法:
先将全部高一学生排在此高三学生前面，共 种方法；
再将全部的高二学生一个一个地排入, 确保最后一个高二学生后面有高一学生和高三学生, 共有 种方法;
最后将剩余的 个高三学生一个一个地排入,共有 种方法. 综上所述,共有 种方法. 15 分
综合①②，得高二学生先于高一学生和高三学生被测试完(高二学生被全部测试完时，高一学生和高三学生都有剩余)有 种方法,
所以所要求的概率为 . 17 分

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