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高一数学测评
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容:人教 A 版必修第二册 6. 1-8. 6.1。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 与三棱台的顶点数相同的几何体可以是
A. 三棱锥 B. 四棱锥
C. 五棱锥 D. 四棱柱
2. 已知 ,则
A. B. C. D.
3. 如图，封闭图形 由线段 ， 和曲线 组成，其中 ， ， 三点共线， 曲线 是以 为圆心， 为半径的一段弧,且 所对的圆心角为 ,将该图形绕着 所在的直线旋转一周得到旋转体,则
A. 该旋转体由 个球体和 1 个圆锥体组成
B. 该旋转体由 个球体和 1 个圆锥体组成
C. 该旋转体由 个球体和 1 个圆台体组成
D. 该旋转体由 个球体和 1 个圆台体组成
4. 已知 ,则
A. 5 B. C. 25
D.
5. 已知向量 ，且 ，则
A. B. C. D.
6. 欧拉公式 是由数学家欧拉发现的,被誉为数学上最优美的公式之一. 已知 ,则
A. B. C. D.
7. 如图,测量河对岸的塔高 时,可以选择与塔底 在同一水平面内的两个测量点 与 ,先测得 米,并在点 处测得塔顶 的仰角为 ,则塔高
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
8. 如图，在直三棱柱 中， ，侧面 是正方形, 是线段 上的动点,当 取得最小值时, 的面积为
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若复数 在复平面内对应的点位于第四象限,则 的值可能是
A. -4 B. -3 C. 3 D. 4
10. 棱长为 2 的正方体的平面展开图如图所示, 则在这个正方体中, 下列结论正确的是
A. 该正方体外接球的体积为
B. 直线 与 异面
C.
D. 四面体 的表面积为
11. 已知 的内角 的对边分别为 ,若 ,且 的面积 ,则 A.
B.
C.
D. 关于 的方程 存在 2 个不相等的实数根
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 ，则 的虚部为_____▲_____.
13. 如图， 是用斜二测画法画出的水平放置的 的直观图， ， 分别在 ， 轴上，且 ,则在 中, _____▲_____.
14. 已知向量 满足 ，且 . ，则 的最大值为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知 的内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 5，求 的周长.
16.(15分)
一个有盖的圆柱体容器的轴截面是边长为 2 的正方形，容器的内部装满了水，容器壁厚度忽略不计.
(1)求该容器的表面积与容积；
(2)若另一个圆锥体容器的底面半径为 2,母线长为 ，将圆柱体容器内的水全部倒入圆锥体容器(水的损耗忽略不计)，且圆锥体容器的底面水平放置，求圆锥体容器中水面的高度.
17. (15 分)
如图，在正四棱锥 中， 分别是 的中点， 是棱 上的动点.
(1)若 为 的中点，证明: 平面 .
(2)若 ，证明:直线 与 相交于一点.
18.(17分)
如图，在长方形 中， 是 的中点， 是线段 上的点(含端点).
(1)若 ，用 ， 表示 ；
(2)求 的取值范围；
(3)延长 到点 ，使得 ，若 ，求 .
19.(17分)
如图，正方体 的棱长为 分别是 上的点，且 ， .
(1)求直线 与 所成角的余弦值.
(2)设 是线段 上的动点(含端点).
(i)判断三棱锥 的体积是否为定值. 若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值.
(ii) 当 平面 时,求 的值.
高一数学测评参考答案
1.C 三棱台的顶点数为 6，三棱锥的顶点数为 4，四棱锥的顶点数为 5，四棱柱的顶点数为 8，五棱锥的顶点数为 6 .
2. ,则 .
3.B 由题可知，该旋转体由 个球体和 1 个圆锥体组成.
4. .
5. A 因为 ,所以 解得 .
6. 由题可知 ,则 ,解得 ,则 .
7. A 由题可知 ，则 ，则 米. 因为 ，所以 米.
8.C 如图,将 沿着 翻折,使其与 共面,可知当 三点共线时, 取得最小值. 过 作 ,因为 ,侧面 是正方形,所以 ,易知 ,则 为 的中点,则 ,则 的边 上的高为 ,则 的面积为 .
9. 由题可得 解得 ,故选 AB.
10. 因为正方体的棱长为 2,所以正方体外接球的半径为 ,体积为 , A 不正确. 原正方体还原如图所示,易得直线 与 异面, 均正确. 易知 ，则可得 与 的面积均为 与 的面积均为 2,故四面体 的表面积为 正确.
11. ACD 因为 ,所以 ,则 .
由 ,可得 正确. 因为 ,所以 ,当且仅当 时,等号成立,则 , B 不正确. . 由 ,得 ,因为 ,所以 正确. ,则 . 由 ,得 ,则 或 ,得 或 , D 正确.
12. ,虚部为-3.
13.9 由题可知, ,则在实物图中, ,则
14. 5 如图,记 ,则 , ,可得 . 取 的中点 ,则 ,则 ,则 ,故 是以 为圆心,2 为半径的圆上的动点, . 易得 ,所以 .
15. 解: (1) 因为 ,所以 . 2 分
又 ,所以 . 3 分
由 ,可得 . 5 分
因为 ,所以 . 6 分
(2)因为 的面积为 5，所以 ， 7 分
得 . 8 分 9 分
则 . 11 分
因为 ,所以 , 12 分则 ,则 的周长为 10 . 13 分
16. 解:(1)因为圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形，所以圆柱的底面半径为 1，高为 2 ， 2 分则该容器的表面积为 , 4 分
容积为 . 6 分
(2)由题可得圆锥体容器的高为 2 . 7 分
设水面的高度为 ,半径为 ,则 ,即 , 9 分
则 , 11 分
则 , 12 分
整理得 , 14 分
则 ,即圆锥体容器中水面的高度为 . 15 分
17. 证明: (1) 因为 为 的中点, 为 的中点,所以 . 2 分
又四棱锥 为正四棱锥，所以底面 为正方形，则 ， 3 分从而 . 4 分
因为 平面 平面 ,所以 平面 . 6 分
(2)连接 ,使 ,则 . 7 分
延长 ,使得他们交于点 ,则 ,得 . 8 分
取 的中点 ,连接 ,则 . 9 分
延长 并与 的延长线交于点 , 10 分
则 . 11 分
因为 ,所以 , 12 分
则 , 13 分
则 ，则 ， 重合， 14 分故直线 与 相交于一点. 15 分
18. 解:(1)因为 ，所以 . 2 分
又 是 的中点,所以 , 3 分
从而 . 4 分
(2)(方法一)因为 是线段 上的点，所以 . 6 分
又 ,所以 7 分
. 8 分
由 ,得 ,故 的取值范围为 . 10 分
(方法二) , 5 分
分别记 在 上的射影为 .
由向量的投影可知，当 运动到点 处时， 取得最小值 ，当 运动到点 处时, 取得最大值 . 6 分
记 的交点为 ,易得 , 7 分
则 , 8 分则 , 9 分
则 ，故 的取值范围为 . 10 分
(3)由题可知 ， 11 分
因为 ,所以 . 12 分
又 ,所以 , 13 分
则 ,从而 , 14 分
15 分
则 , 16 分
则 . 17 分
19. 解: (1)过点 作 ,连接 ,可知 即为直线 与 所成的角. - 1 分
由正方体的棱长为 ,可得 2 分
则 ， 3 分
故直线 与 所成角的余弦值为 . 4 分
(2)(1)三棱锥 的体积不是定值. 5 分
假设三棱锥 的体积是定值，则 平面 . 6 分
由(1)可知 ，且 平面 ，则 平面 . 7 分
因为 ,所以平面 平面 . 又 平面
,所以 平面 ,这显然不成立,故假设不成立,即三棱锥 的体积不是定值. 8 分
由图可知,线段 在平面 的同侧,且在线段 的所有点中, 到平面 的距离最小,所以当 与 重合时,三棱锥 的体积最小, 9 分
且 ,则三棱锥 体积的最小值为 . 10 分
(ii) 连接 ,易得 ,且 平面 ,所以 平面 . 同理可得 平面 ,则平面 平面 . 11 分
此时线段 平面 ,满足 平面 . 12 分
设 到平面 的距离分别为 ,则 . 13 分
是边长为 的等边三角形,则 . 14 分
由 ,可得 ,解得 . 15 分
由 ,可得 ,解得 , 16 分则 . 17 分

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