资源简介

临门押题实战演练 数学(一)
120 分钟 150 分)
一、单项选择题(本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。)
1. 已知集合 ,若 ,则实数 的取值集合为 ( )
A. B. C. D.
2. 已知复数 ,若 ,则 ( )
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
3. 已知随机变量 服从正态分布 ,且 ,则 - 的最大值为 ( )
A. B. C. D.
4. “水韵江苏·家门口享非遗”展示活动中，主办方从全省遴选 70 余项极具地方特色的非遗代表性项目，并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大主题板块. 甲、乙、丙 3 名游客每人至少从中选择一个主题体验, 每个主题都恰有 1 人体验, 则不同的体验方法一共有 ( )
A. 36 种 B. 48 种 C. 72 种 D. 81 种
5. 已知点 是圆 上一点,点 为坐标原点,则 的最大值为 ( )
A. 2 B. C. D. 6
6. 一化工厂产生的废气中含二氧化硫的浓度为 ,经过第 分钟净化后,废气中二氧化硫的浓度为 ,并满足 . 根据环保要求,当废气中二氧化硫的浓度降至 0.1% 时，达到排放的标准，则该化工厂的废气达到排放标准需要至少净化(参考数据: . 708, ) ( )
A. 136 分钟 B. 140 分钟 C. 142 分钟 D. 150 分钟
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 是双曲线 右支上一点,且 轴,若直线 与以 为圆心, 为半径的圆相切,则双曲线 的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
8. 已知 ,则 的最大值为 ( ) - A.0 -_____ B.e-2 -_____ C.1_____ - C.1
二、多项选择题 (本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 有选错的得 0 分, 部分选对的得 3 分。)
9. 已知数列 满足 ,记 为数列 的前 项和,下列说法正确的是 ( )
A. B.
C. 数列 是等差数列 D.
10. 已知函数 ,方程 的根为 ,方程 的根为 ,下列说法正确的是 ( )
A. 函数 与 的图像关于直线 对称
B. 当 时，
C. 若函数 在 上的极小值为 ，则
D. 若 ,则 的最小值为 1
11. 已知点 是曲线 上一点,圆 ,下列说法正确的是 ( )
A. 若曲线 表示圆,则实数 的取值范围是
B. 若 ，则 的最大值为
C. 若点 在圆 上,则点 到直线 的距离的最小值为
D. 若 ，过点 作圆 的切线，切点分别为 、 ，则 的最小值为
三、填空题(本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。)
12. 已知 的展开式中 的系数为 37,则实数
13. 已知椭圆 的右焦点为 ,若椭圆 上存在点 使得 , 则椭圆 离心率的取值范围是_____.
14. 已知集合 ,若集合 为有限集合,将集合 中的元素个数记为 . 设 ，数列 的前 项和为 ，则 _____.
四、解答题 (本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。)
15. (本小题满分 13 分)
新能源汽车越来越受到年轻人的青睐。某品牌新能源汽车有限公司为了了解新能源汽车爱好者对本公司生产的新能源汽车 款和 款的满意度进行了市场调研，在社会上随机调查了 200 名新能源爱好者,得到如下 列联表:
满意 不满意 合计
新能源汽车 A 款 80
新能源汽车 B 款 30
合计 150 200
(1)请完善上述 列联表,并判断能否有 90% 的把握认为新能源汽车的款型对满意度有影响;
(2)从这 200 位新能源爱好者中任选两人，在被调查的两人选择新能源汽车款型一致的条件下，试求他们对该新能源汽车款型均满意的概率.
附: ，其中 .
0.15 0.10 0.05 0.025
2.07 2.71 3.84 5.024
16. (本小题满分 15 分)
在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若点 是 上一点，且 平分 :
① 求 的长；
② 求 的取值范围.
17. (本小题满分 15 分)
如图,四棱锥 中,底面 是边长为 2 的正方形, 平面 分别是 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
( i )求 的值;
(ii)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. (本小题满分 17 分)
在平面直角坐标系 中,动点 到点 的距离与点 到 轴的距离之差为 1,点 .
(1)求动点 所在曲线 的方程；
(2)动点 在直线 上，过点 作以 为直径的圆的切线，切点为 ，当 的面积取最大值时,求点 的坐标;
(3)已知点 ， ， ， 在曲线 上,直线 与曲线 的另一个交点为 ,若 成等差数列,试问: 是否成等差数列 并证明你的结论.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)当 时,求曲线 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的零点个数；
(3)若 恒成立，求实数 的取值范围.
临门押题·数学 1参考答案 数学
1.C 因为 ，解得 或 10，所以 ，因为 ，所以 或 ，解得 或 或 ,经检验:当 时, 与集合中元素的互异性矛盾,所以实数 的取值集合为 ,故选 C.
2. 因为 ,所以 ,所以 ,则 ,故选 B.
3. 因为随机变量 服从正态分布 , ,所以 , 所以 ,所以 ,因为 ,所以当 时,取得最大值为 ,故选 A.
4. A 3 名游客，4 个主题，每人至少从中选择一个主题体验且每个主题都恰有 1 人体验，则必有 1 名游客选择 2 个主题，其余 2 人各选择 1 个主题,则体验方法的总数为 种,故选 A.
5.D 设 ,所以 ,因为 ,所以 , 所以 ，所以当 时， 取得最大值 6 ，故选 D.
6.C 依题意， 时， ，则 0.9=0.05 + ，解得 ，所以 ，当 时，可得 ，所以 ,所以 ,故 ,故降至 0.1% 需要至少 142 分钟. 故选 C.
7. 因为直线 与以 为圆心, 为半径的圆相切,所以圆的半径 ,又 ,所以 ,所以 ,因为 轴,所以当 时, 有 ,解得 ,所以 ,因为 ,所以
,所以 ,整理得 ,因为 ,所以 ,解得 ,故选 B.
8.C 因为 ,所以
,令 ,所以 ,因为 恒成立,所以 在 上单调递增,所以 ,所以 ,所以 ,令 ,所以 ,当 0 时, ,所以 在 上单调递增,当 时, ,所以 在 上单调递减，所以 时， 取得最大值为 ，故答案为 C.
9. 对于 ,由 ,又 ,所以 ,易得 ,故 A 正确; 对于 B，因为 - ,所以 ,所以 ,故 正确; 对于 ,由 得 ,两边同时取以 2 为底的对数得 ,即 ,又 ,所以 ,所以 ,所以数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，故 C 不正确; 对于 D,由 C 知 ,故 D 正确; 故选 ABD.
10. 对于 ,在函数 的图像上任取一点 ,设点 关于直线 对称的点为 ,则 ,因为 ,所以 ,所以 , 所以点 在函数 的图像上, 所以函数 与 的图像关于直线 对称,故 正确; 对于 ,当 时,设函数 ,所以 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递增,又 ,所以函数 的零点有且只有一个,为 ,即方程 的根为 0 ; 设函数 ，所以 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递增, 又 ,所以函数 的零点有且只有一个,为 ,即方程 的根为 ,所以 ,故 正确; 对于 ,令 ,所以 ,显然函数 在 上单调递增,又 ,所以存在唯一的 ,使得 ,此时 ,则 ,当 时, ,当 时, ,所以当 时,函数 取得极小值,所以 ,令 ,所以 在 上恒成立,所以函数 在 上单调递减,所以 ,即 ,故 不正确; 对于 D,令 ,得 , 所以 在 上单调递增,令 ,得 ,且 ,所以 在 上单调递增,因此对任意 和 都是唯一的,由题意 ,即 ,则 ,故 ,故 ,根据 的 是唯一的,得 ,即 ,故 ,令 0,则 ,由 得 ,当 时, 在 上单调递减; 当 时, 在 上单调递增; 故当 时, 取得最小值 ,故 D 正确; 故选 ABD. 11.BC 对于 ，因为曲线 表示圆，所以 36 ，解得 ，故 不正确；对于 ，
当 时， ，即， ,其圆心 ,半径 ,设 ,即 ,所以点 , 在直线 上,所以直线 和圆 有交点，所以圆心 到直线 的距离 ,化简得 ,解得 ,故 正确; 对于 ,因为圆心 到直线 的距离 ,所以点 到直线 的距离的最小值,等于圆心 到 的距离减去其半径,所以最小值为 ,故 正确; 对于 ,设点 到圆心 的距离为 , 圆的半径为 ,则 ,所以 ,则 ,所以 . ,因为 ,所以 ,即 ,所以 ,因为 ,当且仅当 ,即 时,等号成立,因为 ,所以最小值取不到,又因为 在 上单调递增,所以当 时,取最小值为 ,故 不正确,故选 .
12. 因为 的展开式中 的系数为 的展开式中 的系数为 的展开式中 的系数为 ,所以 的展开式中 的系数为 ,所以 ,即 , 解得 ，故答案为 .
13. 由椭圆的性质知 ,所以 ,所以 ,因为 ,所以 , 即 ,整 理 得 ,所以 ,因为 ,且 ,所以 1,故答案为 .
14. 由题意知 ,所以 所以 ; 故答案为 .
15. ( 1 ) 列联表如下:
满意 不满意 合计
新能源汽车 款 80 20 100
新能源汽车 款 70 30 100
合计 150 50 200
零假设 : 新能源汽车的款型对满意度没有影响.
<2.71,
根据小概率值 的独立性检验,推断 成立，
所以没有 90% 的把握认为新能源汽车的款型对满意度有影响; 6 分
(2)记事件 为“被调查的两人选择新能源汽车款型一致”,事件 为“他们对该新能源汽车款型均满意”,则
所以
所以在被调查的两人选择新能源汽车款型一致的条件下, 他们对该新能源汽车款型均满意的概率为 . 13 分
16.(1)因为 ，所以由正
弦定理 ,得
因为 ,所以
,代入 式得 -
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,因为 ,所以 5 分
(2)①因为 平分 ，所以 ， 即 ,解得 ,
所以 ,
又 ,所以 ,
因为 ,所以 ,所以 , 所以 ,所以 ;
10 分 ② 由 ① 知 因为 ,所以 ,所以
,所以 ,
所以 ,即 ,
所以 的取值范围是 .
15 分
17. ( 1 )因为四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形, 平面 ,
所以以 , 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ,
,所以
, ,
所以 ,
所以 ，
即 ,又 , 平面 ,
所以 平面 ； 5 分 (2)(1)由(1)知 , ,
设平面 的一个法向量为 , 则 ,
所以 ,取 ,则 ,所以 ,
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以
化简得 ,解得 或 ,所以 或 分 ( ii )因为 ，所以由( i )知 ，所以 ,
由( 1 )知 ，平面 的一个法向量为 ,
设平面 的一个法向量为 , ,则 ,
所以 ,取 ,则 ,所以 ,
设平面 与平面 夹角为 ,
所以
所以 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
18.(1)因为动点 到点 的距离与点 到 轴的距离之差为 1,
所以 ,所以
两边平方得 ，当 时， 0,这与 矛盾,故舍去,
当 时, ,
所以动点 所在曲线 的方程为 ; 4 分 (2)设 ，以 为直径的圆的方程为 ,
化简得 ,其圆心为 ,半径为 ,
设点 到直线 的距离为 ,则
因为 ,所以 ,
因为当且仅当 时, 最大,此时 的面积取得最大值,
所以 ,
所以直线 的方程为 , 即 ,
所以 ,解得 或 , 所以点 的坐标为 或 ;
10 分
(3)设直线 的方程为 ,
得 0,且 ,
所以
则 ,
所以 ,
所以
,其
中
所以 ,即
所以 不成等差数列. 17 分
19. ( 1 )当 时， ，
所以 ,则 ,
又 ，所以曲线 在 处的切线方程为 ,
即 ; 4 分 (2)由 得 ，即
令 ,则转化为 的解的个数, ,
当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减.
则 在 处取得极大值,也是最大值
当 时, ; 当 .
当 时, ,解得 个零点;
当 时, 与 有 1 个交点,此时 1 个零点;
当 时, 与 有 2 个交点,此时 2 个零点;
当 时, 与 有 2 个交点,此时 2 个零点;
综上,当 或 时,1 个零点;
当 或 时,2 个零点. 分 (3) 恒成立，等价于 恒成立，
即 恒成立,
当 时， ，因为 不恒成立，所以不满足题意；
当 时，由 得 ， 即 恒成立,
等价于 恒成立,
因为曲线 与 关于直线 对称,
所以 .
令 ,则 ,
令 ,又因为 单调递增,
所以当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增,
所以当 时, 取极小值,也是最小值,
所以 的最小值为 ,其中 ,
由 ,得 ,即 ,所以 .
综上可得, 的取值范围是
17 分

展开更多......

收起↑