资源简介

高三数学
注意事项:
1、答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 设复数 ,则
A. B. C. D.
2. 已知函数 ,则
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
3. 设集合 且 ,则
A. B. C. D.
4. 过抛物线 上一点 作其准线的垂线,垂足为 的焦点为 ,且 的面积为 ,则
A. B. C. D. 3
5. 已知函数 的部分图象如图所示, , 是图象上的两个顶点, 为坐标原点,且 ,则
A. 1 B. 2
C. D.
6. 若直线 与双曲线 的交点为 ，且 大于 的虚轴长,则 的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
7. 某校举办校园科技节，需从 6 名男生和 4 名女生中选派 4 人，分别担任编程、航模、机器人、实验四项不同活动的主持人，要求所选派的 4 人中至少有 2 名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由 1 人主持，则不同的选派方案有
A. 504 种 B. 1080 种 C. 1224 种 D. 2304 种
8. 若 ,则
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 现有一组数据5,6,4,2,5,8,7,3,6,2,4,则
A. 这组数据的极差为 7 B. 这组数据的中位数为 5
C. 这组数据的平均数大于 4.8 D. 这组数据的第 60 百分位数为 5
10. 已知 分别是圆 与 轴的左、右交点,点 在圆 上,且 , 将圆 沿直线 翻折成一个二面角,使得点 、点 分别到达点 、点 的位置,该二面角的大小为 ,且 ,翻折前后点 的位置始终不动,则
A. 圆 的直径为 4 B. 当 时,
C. 当 时， D. 当 时,
11. 若函数 的定义域为 ,且 ,则
A.
B.
C. 为奇函数
D. 当 时,
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 设等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 _____▲_____.
13. 设函数 极值点的个数为 ，所有极值点之和为 ，则不等式 的解集为_____▲_____， _____▲_____.
14. 桌面上放置了 3 个小球,其中 1 个小球的半径为 3 , 另外 2 个小球的半径均为 2 , 它们两两相切且都与桌面相切, 在这 3 个小球的上方放置 1 个半径为 2 的小球, 使得这 4 个小球两两相切，则上面的小球的最高点到桌面的距离为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
如图，在正方体 中， 分别是棱 ， 的中点.
(1)证明: 平面 .
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
16.(15分)
在 中，角 的对边分别是 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 是边 的中点，且 ，求 面积的最大值.
17. (15分)
已知椭圆 的长轴长为 ，焦距为 2 .
(1)求Ω的方程；
(2)若直线 与 交于 ， 两点，过点 的直线 与 交于 , 两点,且 ,线段 的中点分别为 ,证明: 直线 过定点.
18.(17分)
已知函数 .
(1)求 的单调区间.
(2)设 有 3 个零点 ，且 ，
(1)求 的取值范围；
(1)证明: 且 .
19. (17分)
甲、乙两人进行一项比赛,初始时,甲有 个球,乙有 个球. 在每轮比赛中, 甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，且获胜方从对方那里拿走一个球(即获胜方增加一个球). 当任意一方的球的个数变为 0 时,比赛立即终止,另一方获胜. 设当甲有 个球时,甲最终获胜的概率为 .
(1)求 和 .
(2)求 的表达式，并证明 .
(3)已知当随机变量 与 相互独立时, . 设比赛进行 轮后甲有 个球. 若存在正实数 ，使得 与 无关，求 的值.
高三数学参考答案
1. .
2. D 因为 ,所以 .
3. B 因为 ,所以 . 因为 ,所以 ,则 .
4. D 根据抛物线的定义可知 ,取线段 的中点 ,连接 (图略),则 ,因为 ,所以 . 因为 的面积为 ,所以 ,得 ,所以 .
5. 由 ,得 ,结合 的图象可知 , . 由 ,得 . 因为 ,所以 .
6. 将 代入 ,得 ,则 , 则 ,即 ,令 ,得 ,则 5,故 的离心率 .
7. C 若选派的是 1 名男生和 3 名女生，则有 种不同的选派方案; 若选派的是 2 名男生和 2 名女生,则有 种不同的选派方案. 故满足要求的不同的选派方案有 种.
8. A 设 ,则 ,因为 ,所以 ,整理得 ,即 . 因为 ,所以 ,则 .
9.BD 将这组数据按照从小到大的顺序排列为2,2,3,4,4,5,5,6,6,7,8，则这组数据的极差为 ,中位数为 错误, 正确. 这组数据的平均数为 错误. 因为 ,所以这组数据的第 60 百分位数为 5 , 正确.
10. 圆 的半径为 2,直径为 正确. 设直线 与圆 的交点为 ,则 ,则 为二面角的平面角. 当 时, ,则 为正三角形,则 正确. 因为 ,所以 为正三角形,则 . 当 时, , 又 ,则 平面 ,所以 ,则 , C 错误, D 正确.
11. 令 ,得 正确. 令 ,得 ,因为 ,所以 ,令 ,得 错误.
令 ,得 ,所以 ,
当 时, ,又因为 ,所以 为奇函数,则 为奇函数, 正确.
因为 ,所以 , 所以 ,
同理可得 ,故当 时, 正确.
12.34 由等差数列的性质可知 成等差数列. 因为 , 所以 ,所以 .
13. 由 ,得 . 当 ,即 时, ,则 ; 当 ,即 时, ,则 . 故不等式 的解集为 .
，因为 ，所以 0 不是 的极值点，所以 的极值点为方程 的两个解，由韦达定理得 的所有极值点之和为 ，则 .
14. 设半径为 3 的小球的球心为 ,下面 2 个半径为 2 的小球的球心为 ,上面小球的球心为 ,则 到桌面的距离分别为3,2,2,且 . 设 在桌面上的投影分别为 , 则 .
设线段 的中点为 ,连接 ,则 . 作 于点 于点 在线段 上,设 到桌面的距离为 ,则 ,即 ①. 由 ,得 ②，则 ，代入①，得 ，则 ，又 2,所以 . 故上面的小球的最高点到桌面的距离为
15.(1)证明:由正方体的性质可知 ， . 1 分因为 分别是棱 的中点,所以 , 2 分所以四边形 是平行四边形,所以 . 4 分因为 平面 平面 ,所以 平面 . 6 分
(2)解:由正方体的性质可知直线 ， ， 两两垂直，则以 为坐标原点, 的方向分别为 轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系.
因为 ,所以 , ,
则 . 8 分设平面 的法向量为 ,
则 令 ,得 . 10 分
因为 ,所以 与平面 所成角的正弦值为 . 13 分
16. 解:(1)因为 ,所以 ,即 . 2 分
因为 ,所以 . 4 分
因为 ,所以 . 6 分
(2)因为 是边 的中点，所以 ，所以 ， 即 . 9 分
因为 ,所以 ,即 , 11 分
当且仅当 时,等号成立, 12 分
则 的面积 , 14 分
即当 时, 的面积取得最大值 . 15 分
17.(1)解:由题可知 2 分
解得 , 4 分
所以 的方程为 . 5 分
(2)证明:将 代入 ，整理得 . 6 分
设 ,则 , 7 分
,所以 , 8 分
因为 ,所以 且 ,又 ,所以 的斜率存在且不等于 , 9 分
以 代替 可得 , 10 分
所以 , 12 分
所以直线 的方程为 ,即 . 14 分
故直线 过定点 . 15 分
18.(1)解:因为 ，所以 0). 1 分
由 ,得 或 ,则 在 和 上单调递增; 2 分由 ,得 ,则 在 上单调递减. 3 分
故 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 . 4 分
(2)(j)解:由(1)可知 在 和 上单调递增，在 上单调递减， 当 时, ,当 时, , 5 分且 . 6 分因为 有 3 个不同的零点,所以 7 分
解得 ,即 的取值范围是 . 8 分
(ii) 证明: 由 (1) 知 .
设 ,
则 , 9 分则 对 恒成立，即 在 上单调递增，
故 ,即 对 恒成立. 10 分
因为 ,所以 .
因为 ,且 在 上单调递减,
所以 ,即 . 12 分
设 ,则 13 分
则 对 恒成立,即 在 上单调递增,
故 ,即 对 恒成立. 14 分
因为 ,所以 .
因为 ,且 在 上单调递增,
所以 ,即 . 16 分
因为 ,所以 ,则 . 17 分
19. 解: (1) 依题意可得 . 2 分
(2)当 时,考虑下一轮比赛,甲赢,球数变为 ，此后甲获胜的概率为 ,
甲输,球数变为 ,此后甲获胜的概率为 ,得 , 4 分
整理得 ,即 , 5 分
设 ,则 , 6 分
则 , 7 分
又 ,所以 , 8 分
则 . 9 分
因为 ,
所以由二项式定理得 ,又 ,所以 分所以 ,所以 ,即 . 11 分
(3)设随机变量 表示第 轮比赛造成的甲持有的球个数的变化量，则 ， 12 分
比赛进行 轮后, 可以表示为 ,
由 与 相互独立,及 ,
得 . 14 分
因为 与 无关,所以对任意的 ,都有 , 15 分由 且初始状态 ,得 ,则 ,
16 分
整理得 ,因为 ,所以 . 17 分

展开更多......

收起↑