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秘密★启用前
高三数学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
2. 复数 的虚部为
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
3. 已知向量 满足 ，且 的夹角为 ，则
A. 1 B. C. D.
4. 曲线 在点 处的切线方程为
A. B. C. D.
5. 已知函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
A. B. C. D.
6. 记椭圆 的上顶点为 ,右焦点为 ,则以 为圆心, 为半径的圆与 的交点个数为
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
7. 已知函数 ,若 恒成立，则实数 的最大值为
A. B. C. D. 1
8. 已知球 的半径为 2,其表面上有 三点,满足 ,则四面体 的体积为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 在 中, ,则
A. B.
C. D.
10. 已知三棱台 的上、下底面相似比为 . 在 中， ,侧棱 ,且 与下底面 所成的角为 . 则
A. 直线 与直线 相互垂直
B. 直线 与直线 相互垂直
C. 侧面 与底面 相互垂直
D. 侧面 与侧面 相互垂直
11. 已知随机变量 ,设函数 ,记 ,则
A. 对任意 恒成立
B. 对任意 恒成立
C. 存在 ,使得方程 在区间 内有解
D. 存在 ,使得函数 在区间 内单调
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知抛物线 ， 为坐标原点，直线 与抛物线交于 ， 两点，且 ,则 _____.
13. 若 ,则 _____.
14. 将标有1,2,3,4,5的五张数字牌摆放成一排,则前三张牌上的数字按顺序构成等差数列的排法总数为_____、(用数字回答)
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
记 为数列 的前 项和, .
(1)求数列 的前 项和；
(2)求 .
16.(15 分)
如图，在直四棱柱 中， ， .
(1)证明: 平面 ;
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. (15分)
某商场对商品售卖的情况进行统计，已知该商场共六层.
(1)当各楼层的商品种类相近时,得到该商场各楼层的销售额 (单位:万元)的值:
楼层 1 2 3 4 5 6
销售额 700 500 400 200 100 100
记销售额 与楼层 之间的经验回归方程为 .
(1)求 (用分数表示)；
(ii)求 (用分数表示).
(2)由于网络热点影响，销售利润 (单位:万元)近似服从正态分布 ，求销售利润在(75,90)的概率.
附:回归直线 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
若 ,则 . 参考数据: .
18.(17分)
已知双曲线 上有两点 .
(1)求 的标准方程；
(2)过点 的直线 与 交于 ， 两点.
(1)证明:直线 与 的斜率之积为定值；
(ii)若 ，求 的外接圆的标准方程，并判断点 是否在圆上.
19.(17 分)
设函数 ，其中 .
(1)当 时,证明: .
(2)设 为等腰三角形，其中 为底边，顶角 . 若存在满足条件的
的三个顶点 均在曲线 上，且顶点 的纵坐标为 1 .
( i )证明:点 关于定直线对称;
(ii)记 的面积为 ,证明: 是关于 的单调递减函数.
高三数学 参考答案
1. A由 得 ,由 得 ,于是 .
故选 A.
2. A由题意可得 ,可知其虚部为 -2 .
故选 A.
3. ,故 故选 D.
4. C设 ,而 1,可得切线方程为 .
故选 C.
5. A由条件知 ,可得 . 由 得 .
故选 A.
6. B显然半焦距 ,故 ,而 ,故圆的方程为 ,联立 得 或 ,由 得 ,结合对称性知有两个交点.
故选 B.
7. D即
设 是增函数,故 ,当且仅当 时等号成立.
故选 D.
8. C取 的中点 ,
由 得 ,由 得 ,
由 平面 平面 ,得 平面 ,
于是 ,
而
故由余弦定理得
,
由 ,得 ,
故 ,于是 .
故选 C.
9. AC对于 选项,由正弦定理得 ,即 , A 正确，
对于 选项,由余弦定理得 错误,
对于 选项,由余弦定理可得 ,由 得 正确,
对于 选项,注意到 ,由大边对大角得 ,故 , D 错误.
故选 AC.
10. ABD将直线 与 以及 延长交于点 ,由上下底面相似比为 ,得 与 以及 分别为 与 以及 的中点, 因为 ,所以 ,在 中,由 得到 ,取 的中点 ,连接 与 ,
则 且 ,
在等腰三角形 中， 且 ,
因为 ,所以 平面 ,故平面 平面 ,两平面的交线为 ,
过点 作 于点 ,则 平面 , 从而 或 (舍),
在 中,由余弦定理得到 ,即 ,解得 ,
此时 ,所以 ,又 ,且 ,所以 平面 ,故 且 ,即 与 以及 两两垂直.
由 平面 得到 ,即直线 直线 正确;
由 且 ,
故 平面 ,
又 平面 ,所以 ,即直线 上直线 ,故 正确;
侧面 所在平面即平面 ,二面角 的平面角为 ,
在直角三角形 中,由 ,得到该平面角为 ,则两平面不垂直, 错误;
侧面 与 所在平面即平面 与平面 ,
由 平面 且 平面 ,得到两平面相互垂直，故 D 正确.
故选 ABD.
11. ACD因为 ,所以 ,代入可得 .
由二项式定理可得 , 则 ,代入 可得 ,
又因为二项分布的数学期望 ,所以 恒成立，故 A 正确；
,代入 可得 1) ,因为二项分布的方差 , 若 恒成立,则 . 恒成立，因为 且 ，等式两边同除以 可得 ，化简可得 ， 此等式不可能对任意满足 且 的 , 恒成立，故 错误；
令 ,取 ,则 ,
此时 ,代入 ,易知
则 ,且函数连续,由函数零点存在定理,存在 使得 ,即存在
使得 在区间 内有解,故 正确; ,取 , 此时 ,当 时, 恒成立,此时导函数恒小于零,函数 在区间 内单调递减,满足题意,故 D 正确.
故选 ACD.
12.3由 得 ,又因为 ,于是 ,即 ,故 ,解得 .
13. 由题意可得 . ,可得 .
14.16当首位是 1 时,前三张可以是1,2,3 或1,3,5,剩余两张随机排列,故共有 种可能. 当首位是 2 时,前三张必为2,3,4,剩余两张随机排列,故共有 种可能. 结合对称性可知首位不是 3 时共 种可能. 当首位是 3 时,前三张为3,2,1或3,4,5,剩余两张随机排列,故共有 种可能,综上,共有 16 种可能.
15. 解: (1) , (1 分)
又 ,两式相减,得 ,即 ,(3 分) 记数列 的前 项和为 ,
故 . (5 分)
(2)显然 ，可得 是等差数列， (8 分)
而 时, ,
故 , (10 分)
此时 ,故 ,(12 分故 . (13 分)
16. 解: (1) 证明: 由 知 为 的垂直平分线,故 , (2 分)
由直四棱柱性质知 平面 ,由 平面 得 , (4 分)
由 平面 平面 , ,得 平面 . (6 分)
(2)记 ，以 为坐标原点，以 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 , (7 分)
则 , ,
易知平面 的一个法向量为 , 5), (11 分)
记平面 的法向量为 ,则 即 可取 , (13 分)
记平面 与平面 的夹角为 ,
则 . (15 分)
17. 解: (1)
, (3 分)
(4 分)
于是
(7 分)
( ii ) . (9 分)
(2)注意到 ，故 , (11 分)
,
故销售利润在 的概率为 0.8186. (15 分) 18. 解: (1) 由 可得 ,
可得 的标准方程为 . (4 分)
(2)(j)证明:设 ， ,
联立 消去 可得 , 故 . (6 分)
斜率之积
,为定值. (10 分)
(ii) 设直线 斜率为 ,此时 ,故 , (11 分)
可得 ,
(12 分)
不妨设 ,可得 ,
于是 ,
于是 , (13 分)
故设外接圆方程为 ,其中 .
显然有 (15 分)
解得 故外接圆的标准方程为
(16 分)
此时 ,故点 不在该圆上. (17 分)
19. 证明: (1) 由 得 ,即证 .
设 ,其中 , (1 分)
当 时, ,故 在 上单调递增, (2 分)
又因为 ,所以当 时, , (3 分)
即 ,从而 . 即 成立. (4 分)
(2)(i)由点 在曲线 上，且纵坐标为 1，结合 可知 . (5 分)
设 且 ,其中 ,且 ,
由 是等腰三角形且 为底边,可知 ,
即 . (6 分)
设 ,则有 ,
当 时, 且 0,故 ,即 在 上单调递减.
同理可证 在 上单调递增,(7 分)
又
所以 ,即函数图象关于直线 对称,综上所述,若 且 ,则 与 必然关于 对称.
因此,点 关于定直线 对称.
( 1 )由( 1 )可知，可设点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，其中 .
此时 的纵坐标均为 ,
点 到 的距离,也即三角形的高,为 ,则由几何关系可得 .
令 ,则 . (11 分)
先证明 ,是关于 的函数,设 , 其中 ,
则
由 (1) 可知 ,即 在 上单调递减,
故 . (13 分)
对于任意 ,取 .
当 时,设 ,因为 ,令 ,故 单调递增, ,故 单调递增,故 , 即 . 因此 . 综上, 的值域为 .
由于 存在,所以必有 . 由于 单调递减,且值域覆盖该范围,方程 在 内有唯一解 ,则 是关于 的函数 . (15 分)
再证明该函数 单调递减, . 令 ,则 ,其中 .
易知 ,即 单调递增.
则当 增大时, 增大, 增大.
由于 ,且 是关于 的单调递减函数,所以 增大时, 减小.
又 是关于 的单调递增函数,当 减小时, 随之减小. 综上, 是关于 的单调递减函数. (17 分)

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