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2025 学年第二学期 S9 联盟期中联考 高一年级数学学科 试题
考生须知:
1. 本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；
3. 所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4. 考试结束后, 只需上交答题纸.
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每题只有一项是符合要求的.
1. 设集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知点 与点 ，则 ( )
A. B. C. D. 5
3. 已知 的内角 所对的边分别是 ,若 , 则 ( )
A. 1:4:9 B. 1:2:3 C. D.
4. 函数 的零点所在的大致区间是( )
A. B. C. D.
5. 已知一个正方体的所有顶点在同一个球面上,若球的体积为 ,则正方体的棱长为( )
A. B. 2
C. D.
6. 如图， 是水平放置的 的直观图，其中 ， ，则 的周长是 ( )
A. 12 B. 24
C. D.
7. 已知定义域为 的偶函数满足 ，且 时 ， 则 ( )
A. 2 B. -2
C. D. 0
8. 在 所在平面内有一点 ,满足 ,则 与 的面积之比是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 每题给出的选项中, 有多项符合题 目要求，全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分.
9. 关于复数 与其共轭复数 ,模 ,下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 若 ，则 的最大值是 3
10. 已知 的内角 的对边分别为 ，以下判断正确的是( )
A.
B. 若 ，则
C. 若 ,则符合条件的 有两个
D. 若 为锐角三角形,则
11. 如图, 为圆锥 的底面圆 的直径,点 是圆 上异于 的动点， ，则下列结论正确的是( )
A. 圆锥 的侧面积为
B. 圆锥 截面 面积取值范围为
C. 三棱锥 体积的最大值为 1
D. 若 ， 为线段 上的动点，则 的最小值为
三、填空题:本题 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知复数 满足 ，则复数 的虚部为_____.
13. 已知 ，向量 ，且 ，则 的最小值为_____.
14. 若函数 在 上恰好存在 2 个不同的 满足 , 则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 个小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图所示，在长方体 中， .
(1)求此长方体的表面积与体积；
(2)求图中棱锥 的体积与长方体的体积之比.
16. 已知向量 .
(1)当 时，求 的值；
(2)当 时，求 的值；
(3)若向量 且 ，求实数 ， 的值
17. 记 的内角 的对边分别为 .
(1)若 ，试判断三角形形状，并说明理由；
(2)若 ，求 的面积；
(3) 若 ，求 .
18. 已知函数 .
(1)求 的最小正周期及 的单调递增区间；
( 2 )求 在区间 上的最大值和最小值，以及取最值时 的值.
(3)已知 ,求 的值.
19. 在锐角 中,内角 所对的边分别为 . 已知 .
(1)求角 ；
(2)若 ，点 在边 上， 为 的平分线，且 ，求边长 的值.
(3)若 ，求 的周长取值范围.
高一期中试卷参考答案
一, 单选题 (40 分)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 D C D A C C A B
7. A 解析: 由题意知周期 ,所以
又为 偶函数,所以
8. B 解析:
设 中点为 中点为 . 则 ,
四边形 为平行四边形, 过点 .
二、多选题(18分)
题号 9 10 11
答案 ABD BCD AC
10. 解析: 对 由诱导公式知 ,错误;
对 ,由 和正弦定理可得 ,由大边对大角可知 ,正确;
对 ,若 ,则 ,
即 ,所以符合条件的 有两个,正确;
对 ,正确.
故选: ABC
11. AC
解析: 在 Rt 中, ,则圆锥的母线长 ,半径 ,
对于 ,圆锥 的侧面积为: ， 正确；
对于 ,轴截面最大时 ,所以面积最大为 错误
对于 ,当 时, 的面积最大,此时 ,
则三棱锥 体积的最大值为: ， 正确；
对于 ,由 ,得 ,
有 为等腰三角形，将 以 为轴旋转到与 共面的位置，
得到 为等腰三角形， ，
于是 ,
所以 最小为 , D 错误.
三、填空题(15 分)
12. 2 13. 14. [9,17]
13. 解析:
14. 解析: 时
四、解答题
15.(1)表面积 3 分
体积 3 分
(2) 分
3 分
16. 解 (1) 由 得 . 4 分
(2) .
(3)
分 . 4 分
17. (1) 由 得
为等腰三角形. 4 分
(2)因为 ，
由余弦定理可得 ,
因为 ,所以 , 2 分
故 的面积为 分
(3) _____解 5 (3) ，所以 ， 由 可知 为锐角,即 ,
又因为 且余弦函数 在 上单调递减,
由正弦定理得 ，即 ，
所以 ,故 分
所以
， 2 分
由正弦定理 得
2 分
18.(1) ; 2 分
令 ,得 ,
故 的单调递增区间为 ; 3 分
(2) 时 有最大值 2； 时 有最小值 . 6 分
(3)
分
分如学生直接得出 ,求得结果也给满分.
19.
解析: (1) ,由正弦定理得 分
又 ,
所以 ,即 ,
因为 ,所以 ,故 ,即 分
又 ,所以 ;
(2)由(1)知， ，
又 为 的平分线,故 ,
其中 ，由三角形面积公式得 ，
又 ，
显然 ,即 分
解得 . 2 分
(3)
2 分
分
由 是锐角三角形得
二周长 2 分
第三问利用图像做也可以.

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