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深圳高级中学 (集团) 2025-2026 学年第二学期期中测试题 高一数学
满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并填涂相应的考号信息点。
2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清楚。
3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效；在草稿纸、 试题卷上答题无效.
4. 保持卡面清洁, 不要折叠、不要弄破。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的。
1. 若复数 满足，则 ( )
A. 1 B. 2 C. D.
2. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ,则 是异面直线
D. 若 是异面直线, ,则
3. 如图所示是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分), 若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是 1 和 3 , 且 ，则该圆台的表面积为( )
A. B. C. D.
4. 在三棱柱 中， 是棱 的中点， 是棱 上一点， ， ， 若 平面 ，则实数 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 在平行四边形 中, . 用向量 来表示 . 则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 深圳高级中学高一年级迎来了 2026 年春季数学活动周, 同学们都积极参加各种数学活动. 深圳大梅沙海滨公园以其绵长的海岸线和“愿望塔”闻名，某个数学兴趣小组计划测量愿望塔的高度. 他们在愿望塔正东方向的沙滩上选取了观测点 ,在点 处测得愿望塔顶端 的仰角为 ,又在沙滩上选择了观测点 和塔底 在同一个水平面上),愿望塔底端 位于点 的北偏西 ，已知 两点的距离为 100 米，测得点 位于点 的南偏西 ，则愿望塔的高度约为( )(参考数据: ， )
A. 60 米 B. 71 米 C. 85 米 D. 100 米
7. 在 中内角 所对边分别为 ,若 ,角 的角平分线 交 于点 ,则 ( )
A. B. C. D.
8. 为平面内的定点， 的夹角为 ，则 的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 设复数 的共轭复数为 为虚数单位,则下列命题正确的是( )
A. 若复数 ,则 在复平面内对应的点在第三象限
B. 若复数 ,则 的虚部为
C. 若 ,则 的最大值为 2
D. 若 ，则
10. 已知 分别为 内角 的对边,以下结论正确的是( )
A. 若 ,则
B. 在锐角 中，不等式 恒成立
C. 若 ，且 只有一解，则 的取值范围是
D. 若 ,则
11. 已知圆锥顶点为 ,高为 1,底面圆 的直径 长为 . 若 为底面圆周上不同于 的任意一点, 则下列说法中正确的是( )
A. 圆锥 的侧面积为
B. 过顶点 作圆锥的截面,截面面积的最大值为
C. 若 为 的中点，过 作平面 与底面圆周交于 、 ，且 ，则 的周长的最大值为
D. 若 为线段 上的动点，则 的最小值为
三、填空题: 本题共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 水平放置的 的直观图如图所示,其中 , 那么原 周长是_____.
13. 已知向量 ，若 在 上的投影向量为 ，则 与 的夹角为_____.
14. 在 中,角 所对的边分别是 ,已知 . 若 存在最大值，则正数 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分) 已知正四棱台 两底面边长分别为 10 和 20 ，高为 12.
(1)求此棱台的侧面面积；
(2)若截去三棱锥 ，求截去的三棱锥 和剩余的几何体 的体积之比.
16. (15 分) 已知等腰梯形 中, 为 边上的中点.
(1)若 与 共线，求 的值；
(2)若 为 边的中点， 与 交于 ，求 ；
(3)若 为 边上的动点，求 的最小值.
17. (15 分) 已知 的内角 所对的边分别为 ,且 边上一点 满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积.
18.(17分)如图所示，在正方体 中，点 分别是棱 的中点， 为线段 上一动点, .
(1)若平面 交平面 于直线 ，求证: ；
(2)当直线 时,求三棱锥 的体积；
(3)是否存在一点 ，使得直线 平面 若存在，求出此时线段 与 的比值；若不存在，请说明理由.
(1)
(2)
19.(17分)已知 分别为 三个内角 的对边， .
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围；
(3)若 为锐角三角形， 为 的垂心，且满足 ，求 的最小值.
深圳高级中学 (集团) 2025-2026 学年第二学期期中测试题 高一数学参考答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C D D B B B A C AC ABD ACD
填空题
12.6
13. 14.
解答题
15.(1)正四棱台 中， ，
取 的中点 的中点 ,则 为侧面底边上的高.
设 分别是上、下底面的中心, ,则四边形 为直角梯形.
在直角梯形 中, .
. 4 分
6 分
(2)该正四棱台的体积为
9 分
11 分
几何体 的体积
两部分体积之比为 2:5 13 分
16.如图建立直角坐标系,则
(1)
与 共线 5 分
(2)
10 分
(3)设
当 时， 的最小值为5 . 15 分
17.( 1 )因为 ,由正弦定理得 1 分即 .
所以
所以 , 3 分
4 分
5 分
(2)由(1)知 ，而 为等边三角形.
由于 是 的一个外角，所以 .
在 中,由正弦定理得 ,
即 ，所以 . 8 分
由余弦定理得, ,
即 ,所以 . 12 分
故 ， ，
所以 . 15 分
18. (1)在正方体 中，
因为平面 平面 ,平面 平面 ,平面 平面
(1)(2)
所以 , 2 分
因为点 分别是棱 的中点,所以 ,
所以 . 4 分
(2)连接 .
是 的中点 又
又 为 的中点,即 为正方体的中心 6 分
9 分
(3)存在 使得 平面 ，此时点 是线段 的三等分点(靠近 )
连接 ,设平面 ,则 是满足条件的点, 10 分
下面证明:
点 分别为棱 的中点
又 平面 平面
平面 11 分
在正方体 中,
四边形 是平行四边形
点 分别是 的中点，
又 平面 平面
平面 12 分
又 平面EFM
平面 平面
又 平面
13 分
平面
设平面 与 ,交于点
平面 与正方体的截面是正六边形
点 是正方体的中心,即 为 的中点
连接 ,分别交 于 ,连接
平面 平面
OR 15 分
17 分
19.(1)由正弦定理，
可变成 , 1 分
又
则 ,又 ,
则 3 分
即 ,又 ,则 , 4 分 (没有角的范围需扣掉这一分) 从而 ,所以 . 5 分
(2)由正弦定理可得
7 分
因为 为锐角三角形,所以 ,所以 8 分
所以 . 又因为
所以 ,所以 10 分
(3) 为 的垂心， ，则 ，所以
所以 .
注意: 这里根据垂心得到关于 和边 的等式,酌情给 1-2 分; 若得到最终 的等式就给 4 分。
同理, ,
所以
所以 .
从而可得 ,即有 ,化简得 14 分由 为锐角三角形,得 ,
而 ,得 ,从而 , 15 分
函数 在 上单调递减，
则 的最小值为 . 17 分

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