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杭州二中2025级高一下数学周末练7
一、单选题
1、复数 表示虚数单位)在复平面内对应的点为 ( )
A. B. C. D.
2、已知点 ，则 ( )
A. -1 B. 0 C. 2 D. -2
3、已知定义在R上的奇函数f(x)，满足.f(x-4)=-f(x)，且在区间[0,2]上是增函数若方程 在区间 上有四个不同的根 ,则 ( )
A. -10 B. -8 C. 8 D. 10
4、四棱锥S-ABCD所有棱长都为: ,底面 是正方形,以点 为球心的球 与底面只有一个公共点, 球S被该四棱锥所有面截得的弧长之和为 ( )
A. B. C. D.
5、如图，在长方体 中， =2，点 分别为 的中点，点 为长方形 内一动点 (含边界),若直线 平面 ，则点 的轨迹长度为 ( )
A. 2 B.
C. D.
6、如图所示，在平面四边形 中， 为正三角形，则 面积的最大值为 ( )
A. B.
C. D.
7、已知三棱锥 P-ABC 中 PA=PB=2PC=2,△ABC是边长为 的正三角形，则三棱锥 P-ABC 的外接球半径为 ( )
A. B.
C. D.
8、设函数 在区间 上恰好有两个零点，则 的取值范围是
( )
A. B. c. D.
9、对于函数 和 ,设 ,若存在 使得 ，则称 和 互为 “友邻函数”，若函数 与 tx 互为“友邻函数”，则实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
10、已知函数 ,若方程 有 5 个不同的实数解, 则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
11、已知 是定义域为 的奇函数， 时， ，若关于 的方程 f[f(x)]=a有5个不相等的实数根，则实数a的可能取值是 ( )
A. B. c. D.
12、如图，正方体 的棱长为2，点 是其侧面 上的一个动点 (含边界),点 是线段 上的动点,则下列结论正确的是 ( )
A. 存在点 ,使得二面角 大小为
B. 存在点 ,使得平面 与平面 平行
C. 当 为棱 的中点且 时,则点 的轨迹长度为
D. 当 为 中点时,四棱锥 ABCD外接球的体积为
13,若 ,且 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为 2
C. 的最大值为 2 D. 的最小值为 4
14、已知函数f(x)定义域为R，则下列选项中的等式不可能在x ∈ R时恒成立的有 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题
15、如图，棱长为 1 的正方体 中，E，F 分别为 ，AB的中点，点 G在上底面 A’B’C’D’(含边界)上运动，若满足 BC′// 平面 EFG，则点G的轨迹长度为_____.
16、某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是6dm，则石凳的体积为_____ .
17、如图, 矩形 A’B’C’D’是水平放置的平面四边形 ABCD 用斜二测画法画出的直观图, 其 中 A’B’=3, B’C’=5, 则原四边形 ABCD 中最长边的长度为_____.
18,已知 且 ，则 的最小值为_____.
19、关于实数 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围为_____.
20、已知正三棱锥S-ABC的底面边长为 分别是棱 的中点，若 是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为_____.
21,设 ,若 ,则称 为离实数 最近的整数,记作 ,即 ,如 . 另外,定义 表示不超过 的最大整数,如 -3. 令 ,当 时,如果存在; , , n)满足. ,那么 _____.
22、定义集合 的“长度”是 ，其中 . 已知集合 ,且 都是集合 的子集,若集合 的“长度”大 ，则 的取值范围是_____.
四、解答题
23、已知函数 .
(1)若 是奇函数，且在区间 上是增函数，求 的值；
(2)若关于 的方程 在区间 内有两个不同的解 ，求 的取值范围,并求 的值
24、已知二次函数 .
(1) 若 ，求不等式 的解集；
(2)若 ，且 ，证明:函数 在 内至少有一个零点；
(3)若对任意 ，不等式 恒成立，求 的最大值.
25、如图，已知 中， . 设 ， ，它的内接正方形 DEFG 的一边EF在斜边AB上，D、G分别在AC、BC’上，假设 ’的面积为S，正方形 DEFG的面积为 .
(I) 用 表示 的面积 和正方形DEFG的面积 ;
(II) 设 ,试求 的最大值 ,并判断此时 的形状.
26、记锐角 的内角 的对边分别为 .
(1) 若 ,求 证 : ;
(2)当 时，求 面积的最大值；
(3) 若 ，且 ，其中符号 表示不大于 的最大整数,求 的值.
27、已知函数 的定义域分别为 ,若对任意的 ,总存在 , 使得. 成立,则称 为 的 “可归零函数”. 已知函数
(1)若函数 ，判断 能否为 的“可归零函数” 并说明理由；
(2)若函数 ，且 是 的 “可归零函数”，证明: ;
(3)当 时，若函数 ， ，且 是 的 “可归零函数”, 求实数a的取值范围.
杭州二中2025级高一下数学周末练7
一、单选题
1、复数 1表示虚数单位)在复平面内对应的点为 ( )
A. (-1, 2) B. (1, -2) C. D.
【答案】C
因为 ,
所以在复平面内对应的点为 ,故选: C
2、已知点 ，则 ( )
A. 1 B. 0 C. 2 D. 2
【答案】D
因 为 ,
所以 ,
所以 . 故选:D.
3、已知定义在 上的奇函数 ,满 足 ,且在区间 上是增函数, 若方程 在区间 上有四个不同的根 ,则 ( )
A. -10 B. 8 C. 8 D. 10
【答案】c
由题意,此函数 ,又是奇函数,
,
,
函数是周期为 8 的周期函数,
在 上为增函数,
函数在 上也为增函数,即函数在 上为增函数,
函数在 上为减函数,
综合条件,得出该函数的部分示意图,由图看出,
四个交点中两个交点的横坐标之和为
另两个交点的横坐标之和为 ,
所以 .
故选: C.
4、四棱锥S-ABCD所有棱长都为: ,底面 是正方形,以点 为球心的球 与底面只有一个公共点, 球S被该四棱锥所有面截得的弧长之和为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
设正方形ABCD的中心为O,
由于四棱锥S-ABCD所有棱长都相等,
所以 底面 .
.
球S与底面只有一个公共点,
就是球 的半径,长为 3 .
四个侧面均为等边三角形,
且四个侧面所在平面都经过球心 ,故截面圆半径为 3,且所截的弧所对圆心角为 ,
故球 被每个侧面截得的弧长为 ,
所以球 被该四棱锥所有面截得的弧长之和为 .
故选: B
5、如图，在长方体 中， ， ，点P，Q分别为 的中点，点 为长方形 内一动点 (含边界),若直线 平面 , 则点 的轨迹长度为 ( )
A. 2 B. C. D.
【答案】c
在长方体 中，取 的中点 ，连接 ， BH,
由点 为 的中点，得 ，则四边形 是平行四边形，
，又 ，则四边形 是平行四边形，
于是 ，取 中点 ，在 上取点 ，使得 ，连接 , QF,
而 ,则四边形 为平行四边形, ,而 平面 平面 ,
于是 平面 ，由 为 的中点，得 ，而 平 面 ， 平面 ，
则 平 面 ，又 平 面 QEF，因此平面 平面 ,
由直线 平面 ,点 平面 ,则点 在平面 与平面 的交线上,
从而点 的轨迹是线段 ,而 ，
所以点 的轨迹长度为 .
故选:
6、如图所示，在平面四边形 中， 为正三角形，则 BCD面积的最大值为 ( )
A.
B. C. D.
【答案】D
在 中,设 ,
由余弦定理得: ，
为正三角形,
,
在 中，由正弦定理: ，
,
,
,
为锐角, ,
,
当 时， .
7、已知三棱锥P 中 是边长为 的正三角形，则三棱锥 P-ABC 的外接球半径为 ( )
A. B.
C. D.
【答案】A
由题意， ,即 ,
由 面 ,故 PC 平面 ,
以PC为一条侧棱, 为底面把三棱锥P一ABC补成一个直棱柱,
该直棱柱的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球, 该直棱柱上下底面的外接圆圆心的中点就是球心,
因为底面外接圆的半径 ,
所以三棱锥 P-ABC 的外接球半径为 .
故选: A
8、设函数 在区间 上恰好有两个零点，则 的取值范围是
( )
A. B. C. D.
【答案】C
当 时, ,
结合余弦函数 的图象,可得 ，解得 .
9、对于函数 和 ,设 ,若存在 使得 ，则称 和 互为 “友邻函数”，若函数 与 tx 互为 “友邻函数”,则实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
解: 因为 ,所以定义域为 ,且在定义域上为单调递增函数.
令 ,解得 ,
又因为 互为 “友邻函数”,
所以 ,同 有 ,
即 在区间 上有零点.
因为 恒过点 .
所以 ,或 ,
解得 或 .
综上可得: .
故选: D.
10、已知函数 ，若 方 程 有 5 个不同的实数解， 则 的取值范围是 ( )
A.
B. C. D.
【答案】B
由解析式得函数大致图象如下,由 ,令 ,可得 或 ,
令 ,当 或 时有 1 个解; 当 或 时有 2 个解;
当 时有 3 个解; 当 时无解;
要使 有 5 个不同的实数解,
若 ，则 ，此时方程有1解；
若 ，则 有2个解， 有1解，此时方程共有3个解；
若 ,则 有 1 个解, 有 3 解, 有 1 解,
此时方程共有 5 个解;
若 ,则 有 1 个解, 有 3 解, 有 2 解,
此时方程共有 6 个解;
若 ,则 有 1 个解, 有 3 解, 有 3 解,
此时方程共有7个解;
若 ,则 有 3 个解, 有 3 个解,此时方程共有 6 个解;
若 ,则 有 3 个解,此时方程共有 3 个解;
若 ,没有对应 ,此时方程无解;
综上, .
故选: B
关键点点睛:根据函数图象研究t=f(x)对应根的个数，再数形结合讨论f(t)=a范围研究根的个数.
二、多选题
11、已知 是定义域为 的奇函数， 时， ，若关于 的方程 有 5 个不相等的实数根,则实数 的可能取值是 ( )
A. B. c. D
【答案】ABC
因为 是定义域为 的奇函数， 时， ,
画出函数 的图像如下:
令 ，又 ，
当 时，由图像可得 与 有一个交点，且 ，由图像可得 只有一个根,不满足题意;
当 时，由图像可得， 与 有两个不同交点，交点横坐标记作 ， 不妨令 ,则 ,则 与 共有两个根; 不满足题意;
当 时,由图像可得 与 有三个不同的交点,记作 , 不妨令 ,由图像可得, ,
则 与 各有一个根, 有一个或两个根,共三个或四个根,不满足题意;
当 时,由图像可得 与 有三个不同的交点,记作 ,不妨令 ,由图像可得, ,则 与 以及 共有五个根; 满足题意;
根据函数图像的对称性,当 时,为使关于 的方程 有 5 个不相等的实数根,只需 ,
综上,满足条件的 的范围是 ,
因此ABC都有可能取到, D不能取到.
故选: ABC.
方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象, 利用数形结合的方法求解
12、如图，正方体 的棱长为2，点 是其侧面 上的一个动点 (含边界),点 是线段 上的动点,则下列结论正确的是 ( )
A. 存在点 ，使得二面角 大小为
B. 存在点 ， ，使得平面 与平面 平行
C. 当 为棱 的中点且 时,则点 的轨迹长度为
D. 当 为 中点时,四棱锥 外接球的体积为
【答案】BC
在正方体 中,可得 平面 , 因为 平面 平面 ,所以 , 所以二面角 的平面角为 ,其中 ,所以 错误;
如图所示,当 为 中点, 为 中点时,
在正方体 中,可得 ,
因为 平 面 BDP,且 BDC 平 面 BDP,所以 平 面 BDP,
又因为 ,且 平 面 BDP,且 平 面 ,所以, 平 面 BDP, 因为 ，且 平 面 ，所以平面 平 面 ， 所以B正确；
如图所示,取 中点 ,连 接 ,
在正方体 中， 平面 ，且 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，可得 ，
则 ,
则点 在侧面 内运动轨迹是以 为圆心、半径为 2 的劣弧,
分别交 于 ，如图所示，则 ，
则 ，劣弧 的长为 ，所以 正确
当 为 中点时,可得 为等腰直角三角形,且平面 平面 , 连接 与 交于点 ,可得 ,
所以四棱锥 外接球的球心即为 与 的交点 ,
所以四棱锥 - 外接球的半径为 ，其外接球的体积为 ， 所以D错误.
故选: BC.
13，若 ，且 ，则下列说法正确的是 ( )
A. ab的最大值为 B. 的最大值为 2
C. 的最大值为 2 D. 的最小值为 4
【答案】ACD
对于 ,
,即 ,当且仅当 时,等号成立, 此时 取得最大值 ,故 正确;
对于 ,由 选项可得:
当且仅当 时取得最小值 2,即 有最小值 2,故B错误,
对于 ,
当且仅当 时,等号成立, 取最大值 2,故 正确;
对于 ,由 ,得
当且仅当 ,即 时等号成立,
即 取得最小值 4,故 正确.
故选: ACD.
14、已知函数 定义域为 ,则下列选项中的等式不可能在 时恒成立的有 ( )
A. B.
C. D.
【答案】ACD
对于 ,当 时, ,当 时, ,与函数的定义矛盾, 则 不可能在 时恒成立,故 正确；
对于 ,令 ,
则 ,则 为 上的偶函数,
令 ,则 ,
则 为 上的偶函数,
任取 ,则
因 ,则 ,则 ,
则 在 上单调递增,
不妨设 ，则有: 或 ，则 ，则 符合函数定义， 则 可能在 时恒成立,故 错误;
对于 ,令 ,则 ,
令 ，则 ，与函数的定义矛盾，
则 不可能在 时恒成立，故 正确；
对于 ,假设存在函数 使得 成立,
令 ,则 的根为 ,
令 ,则 可 变 形 为 ,
则 ,
则 ,
则 (否则会有 )
则 ,则 ,同理 ,
若 ,则 ,矛盾;
若 ,则 矛盾;
若 ,则 ,矛盾;
若 ,则 ,与 ,推出矛盾;
综上可知, ,推出矛盾,故满足 的函数不存在,故 正确.
故 选 : ACD
三、填空题
15、如图，棱长为 1 的正方体 中，E，F 分别为 的中点，点 G 在上底面 (含边界) 上运动,若满足 平面 ,则点 的轨迹长度为
【答案】
取 的中点分别为 ,
连 接 BD, B’D’, FQ, QM, MN, NP, PE,
因为E, F 分别为AD, AB的中点,所以EF//BD,
同理可得 ，
因 为 ，所以四边形 是平行四边形，可得 ， 所以 ,同理可证明 ,
所以 共面,
因 为 面 EFQMNP, 面 EFQMNP,
所以 平面 EFQMNP,
若 平面 ,则点 在平面 内,
又因为点 在上底面 (含边界),
所以点 在面 与面 的交线上,
所以点 在线段 上,则点 轨迹长度为 .
故答案为: .
16、某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是6dm，则石凳的体积为_____ .
【答案】180
正方体体积 ,
石凳体积为正方体体积减去8个被截去的正三棱锥体积, 每个被截去的正三棱锥三条侧棱长为 ,
则一个正三棱锥体积为 ,
所以石凳的体积为 .
17、如图，矩形 是水平放置的平面四边形 用斜二测画法画出的直观图， 其 中 ，则原四边形 中最长边的长度为_____.
【答案】 9
将直观图还原为原图，如图:
在直观图中， ，则 ，
故在原图中， ，
所以 ,
而 ，所以原四边形 中最长边的长度为9.
18,已知 且 ,则 的最小值为_____.
【答案】 0
: 已知 且
设 ,联立 可得
,解得
原式 可转化为
由均值不等式,对 ,有 ,当且仅当 时取等号
又 函数 在区间 上单调递增
当 时， 取得最小值，最小值为
此 时 ,满足 且 的条件
的最小值为0.
19、关于实数 的不等式 在 上有解,则实数 的取值范围为_____.
【答答】
由 得 ,
则问题等价于 小于 在 上的最大值,
又因为 ,所以当 时, 取得最大值 2,
所以 ，解得 或 ，所以 的取值范围为 .
故答案为: .
20、已知正三棱锥S-ABC的底面边长为 ，P，Q，R 分别是棱 SA，AB，AC 的中点, 若 是等腰直角三角形, 则该三棱锥的外接球的表面积为_____.
【答案】
在正三棱锥S-ABC中, P, Q, R分别是棱 SA, AB, AC的中点,
则 ,而 是等腰直角三角形,即 ,
因此， , ,即有正三棱锥 的侧棱 两两垂直，
以SA, SB, SC为棱的平行六面体是正方体, 这个正方体与正三棱锥S ABC有相同的外接球,
因正三棱锥 的底面边长为 ,则侧棱 ,
于是得正三棱锥 外接球半径 ,
所以三棱锥的外接球的表面积为 .
故答案为:
结论点睛:球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
21,设 ,若 ,则称 为离实数 最近的整数,记作 ,即 ,如 . 另外,定义 表示不超过 的最大整数,如 -3. 令 ,当 时,如果存在 , , n)满足. ,那么 _____.
【答案】 2024
由题意 与 为偶函数,只需考虑 的情形,
设 ,
时,由 定 义 知 ,
时，
时， ,
所以 ,
由偶函数对称性可知, .
故答案为: 2024.
方法点睛:本题考查函数新定义，关键是正确理解新定义并进行转化应用，解题方法是根据新定义对 的值进行分类讨论,从而确定函数值并判断是否有 .
22、定义集合 的 “长度” 是 ,其中 . 已知集合 ,且 都是集合 的子集,若集合 的“长度”大于 ，则 的取值范围是_____.
【答案】
因为 都是集合 的子集,
所以 ，解得 ，
又 ,可知集合 的 “长度” 为
要使集合 的 “长度” 大于
若 ,则 ,所以 ,
又 ,所以 ;
若 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 ；
则 的取值范围是 .
故答案为:
四、解答题
23、已知函数 .
(1)若 是奇函数，且在区间 上是增函数，求a的值；
(2)若关于 的方程 在区间 内有两个不同的解 ,求 的取值范围,并求 的值
【答案】
,故 , a .
当 时, 在 上先减后增,排除;
当 时, 在 上单调递增,满足,故 .
(2) ，即 ，画出函数图像，如图所示:
故 .
,故 ,即 .
24、已知二次函数 .
(1) 若 ，求不等式 的解集；
(2)若 ，且 ，证明:函数 在 内至少有一个零点；
(3)若对任意 ,不等式 恒成立,求 的最大值.
【答案】(1)(2,10) (2)证明见解析 (3)
(1) 当 时, ,
不等式 ,即 ,即 ,解 得 ,
所以不等式 的解集为 ;
(2)因为 且 ,
所以 ,则 ,
所以 ,
当 时, ,
因为函数 的图象是连续不断的且 ,
所以根据函数零点的存在性定理可知,函数 在 内至少有一个零点,
而 ,所以函数 在 内至少有一个零点;
当 时, ,
因为函数 的图象是连续不断的且 ,
所以根据函数零点的存在性定理可知，函数 在 内至少有一个零点，
而 ,所以函数 在 内至少有一个零点; 综上,函数 在 内至少有一个零点.
(3)若对任意 ，不等式 恒成立，
整理得 恒成立，显然 ，
所以 ,则 ,
所以 .
令 ,因为 ,所 以 ,
若 时,此时 .
若 时,
当且仅当 时,即 时,上式取得等号,
综上: 的最大值为
25、如图，已知 中， . 设 ，它的内接正方形 DEFG 的一边EF在斜边AB上，D、G分别在AC、BC上. 假设 的面积为S，正方形 DEFG 的面积为 .
(I) 用 表示 的面积 和正方形DEFG的面积 ;
(II) 设 ,试求 的最大值 ,并判断此时 的形状.
【答答】(I) (II) 最大值为 为等腰直角三角形
【解析解:(I):在 中， ，
设正方形DEFG边长为 ,则 ,
.
,
(II)解: 由 (I) 可得
令
在区间 上是减函数
当 时, 取得最小值,即 取得最大值.
的最大值为
此时
为等腰直角三角形
26、记锐角 的内角 的对边分别为 .
( 1 )若 ，求 证: ；
( 2 )当 ， 时，求 面积的最大值；
(3) 若 ,且不大于 的最大整数，求 的值.
【答案】1)证明见解析 (2) (3)
(1) 由 是锐角三角形,得 ,
则 ,
因为 在 上单调递增,所以 ,
又 在 上单调递减,所以 .
(2) 由 ,得 ,
则 ,
又 ,所以 .
由余弦定理得, ,
所以 ,当且仅当 时取等号,
所以 ，
即 面积的最大值为 .
(3) 因为 ,所 以 ,
又 因 为 ,
所以 ,
所以 均为整数.
因为 ,所以 ,
所以 ，所以 ， ，所以
27、已知函数 的定义域分别为 ,若对任意的 ,总存在 , 使得 成立，则称 为 的 “可归零函数”. 已知函数
(1)若函数 ，判断 能否为 的“可归零函数” ？并说明理由；
(2)若函数 ，且 是 的 “可归零函数”，证明: ;
(3)当 时,若函数 ，且 是 的 “可归零函数”, 求实数a的取值范围.
【答案】(1)不能 (2)证明如下 (3)
(1)不能，理由如下，
因 为 ,
所以 ,
当 时， ,故 [-2,2];
因为 ,定义域为 ,值域为 ,
对于任意的 ,
要使 ,即 成立,则 ,
这与已知 矛盾,
所以不存在 ,使得 成立,
故 不能称为 的 “可归零函数”.
2) ,
因为二次项系数 ,所以二次函数 开口向上,
对称轴为 ,所以 在 上单调递增,
因为 是 的 “可归零函数”,
所以对任意的. ,总存在 ,使得 ,即 成立,
所以 ,
所以 ,解 得 ,
因 为 ,所以 ;
因 为 ,所以 ,
要使 值域包含 ,则 ,解得 ;
因 为 ,所 以 ;
因此 得证.
(3) 当 时,
则
所以 的值域为 ,则 的值域为 ,
因为 是 , . “可归零函数”,
所以对任意 ,都有 ,
即 恒成立,
所以 在 上恒成立,
即 在 上恒成立,
当 时，显然不成立，
当 时,令 ,则 ,此时 恒成立,
等价于 恒成立①,
且 恒成立②,
由①得 ，解得 ，所以 ，
由 ② 得 (4t+1)(at 1) ≥0 恒成立,
因 为 ,所以 恒成立,所以 ,
综上,实数 的取值范围为 .

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