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2026 年普通高等学校招生选择性考试临考预测卷 数学
注意事项
1. 往年战绩不代表今年必然押中，预测本身具有不确定性，请大家不要抱有不切实际的非理性期待。 2. 建议大家限时作答此卷，以模拟高考的答卷心态和答卷流程。
3. 与预测有关的所有内容均为公益分享(目前其它的内容也都是公益分享)，请大家不要受骗。
4. 如果有部分题目与高考题目契合纯属意外.
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个 选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知向量 ，若 ，则 ( )
A. 3 B. 5 c. D.
4. 如图，设抛物线 的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的点 ， ， ，其中点 ， 在抛物线线上,点 在 轴上,则 与 的面积之比是
A. B. c. D.
5. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 ( )
A. 64 B. 42 C. 32 D. 22
6. 若正三棱台 的体积为 ，且 ，则侧棱 的长度为( )
A. B. 2 C. D. 3
7. 已知 ，则 ( ).
A. 8. C. D.
8. 设双曲线 的右焦点为 ，右顶点为 ，过 作 的垂线与双曲线交于 ， 两点，过 ， 分别作 AC，AB 的垂线交于点 D. 若 D 到直线 BC 的距离小于 ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A. B. C. D.
二、多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符 合题目要求.全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知数据 的平均数为 ,标准差为 ,中位数为 ,极差为 . 由这组数据得到新数据 ,其中 ,则下列命题中正确的是 ( )
A. 新数据的平均数是 B. 新数据的标准差是
C. 新数据的中位数是 D. 新数据的极差是
10. 已知函数 ,则下列结论正确的是( )
A. 函数 在 上单调递减 B. 函数 既有极大值，也有极小值
C. 方程 有 2 个不同的实数解 D. 在定义域内，恒有
11. 设数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，则( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若 的展开式的二项式系数和为 32，则其展开式的第四项系数为_____.
13. 已知函数 在区间 上是增函数，若函数 在 上有且仅有一个最大值， 则 的范围为_____
14. 如图，从点 作 轴的垂线交曲线 于点 ，曲线在 点处的切线与 轴交于点 ，再从 作 轴的垂线交曲线于点 ，依次重复上述过程得到一系列点: 记 点的坐标为 ，则 _____(用含 的式子表达)
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求
(2)若 的角平分线交 于 ，求 .
16. 如图，在直三棱柱 - 中，D，E 分别为 ， 的中点，点 在侧棱 上，且 ， .
(1)求证:直线 平面
(2)若 ，且三棱锥 于 的体积为 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
17. 已知函数 ，当 时，
(1)求 在 处的切线方程；
(2)求证: ；
(3)若 恒成立，求实数 的取值范围.
18. 人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、 方法、技术及应用系统的一门新的技术科学. 很多学校已经推出基于 AI 的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新. 某探究小组利用 AI 解答了一些模拟试卷. 收集其准确率, 整理得到如下频率分布直方图. 已知准确率在[80,85) 内的试卷数为 10.
(1)求图中a的值，并求出试卷总数；
(2)“如何利用 AI” 是 AI 能否更好的造福人类的关键，基于此该小组进行了 AI 运用比赛，即用 AI 进行问题解答， 并通过正确率来评定结果。甲、乙两名小组成员进行 AI 运用比赛，规定每局比赛胜者得 1 分，负者得 0 分，平局双方均得 0 分, 比赛一直进行到一方比另一方多两分为止, 多得两分的一方赢得比赛. 已知每局比赛中, 甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,两人平局的概率为 ,且每局比赛结果相互独立.
(I) 若 ，求进行 4 局比赛后甲同学赢得比赛的概率；
(II) 当 时,
①若比赛最多进行 5 周，求比赛结束时比赛最数 的分布列及期望 的最大值；
②若比赛不限制局数，求“甲同学赢得比赛”的概率(用 表示).
19. 已知椭圆 的短轴长为2√3，且离心率 的右焦点，已知斜率存在的直线 与椭圆交于 两点， 为 上一个动点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)当 过 时，设直线 ，过点 作 ，垂足为 。证明:直线 过定点.
(3)且F为 的重心，判断 ， ， 是否成等差数列，若是请求出其公差，若不是，请说明理由.
2026 年普通高等学校招生选择性考试临考预测卷 数学
注意事项
1. 往年战绩不代表今年必然押中，预测本身具有不确定性，请大家不要抱有不切实际的非理性期待。
2. 建议大家限时作答此卷，以模拟高考的答卷心态和答卷流程。
3. 与预测有关的所有内容均为公益分享 (目前其它的内容也都是公益分享), 请大家不要受骗。
4. 如果有部分题目与高考题目契合纯属意外.
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是正 确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合 ,则 ( )
A. {5} B. C. D.
【答案】C
由题意知 因为 ,所以 .
2. 已知 ，则 ( )
A. 6+2i B. 4-2i C. 6-2i D. 4+2i
【答案】C
因为 ,所以: . 故选: C.
3. 已知向量 ，若 ，则
A. 3 B. 5 C. D.
【答案】B
因为 ,所以 ,又 ,所以 0 . 解得 ,
则 ,故 ,故选: B
4. 如图，设抛物线 的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的点 . 其中点 在抛物线上，点 在 轴上，则 与 的面积之比是
A. B. C. D.
【答案】A
点数 A.
5. 已知等比数列 的前 项和为 ,且 ,则
A. 64 B. 42 C. 32 D. 22
【答案】D
等差数列等比数列基本量的计算。即通过两个等量关系列出方程组并解出 或
解: 设数列 的公比为 ,依题意可得 解得 ,所以 故选:D
6. 若正三棱台 的体积为 ，且 ，则侧棱 AA. 的长度为( )
A. C. D. 3
【答案】A
正三棱台 中，已知 ，所以 ceABC 的面积为 ，
的面积为
,设 0、 处 分别是 的中心，则 为正三棱台 的高，故 ，设 、 分别是 、 的中点，所以 、 、 三点共线， 点共线. 且 ,则 ，所以 ，易知四边形_____ 为直角梯形. 且( ) ，过点 在平面 内作 ，垂足为点 . 如下图所示:
因为 ,故四边形 为矩形,所以 ,
,则 ,由勾股定理可得
. 故选: A.
7. 已知 ,则 .
A. B. D. -7/9
因为 ,而 ,因此 ,则 ,所以
故选: B
8. 设双曲线 的右焦点为 ，右顶点为 ，过 作 的垂线与双曲线交于 两点. 过 分别作 AC, AB 的垂线交于点 D. 若 D 到直线 BC 的距离小于 ,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()
D.
【答案】A
由题意 ,根据双曲线的对称性知 在 轴上. 设 ,则由 BD AB 得: ,因为 D 到直线 的距离小于 ,所以 ,则 ,所以双曲线渐近线斜率 ,故选 A.
二、多项选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求. 全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知数据 的平均数为 . 标准差为 ,中位数为 ,极差为 ,由这组数据得到新数据 ,其中 ,则下列命题中正确的是 ( )
A. 新数据的平均数是 B. 新数据的标准差是
C. 新数据的中位数是 D. 新数据的极差是
【答案】ACD
对于 ，因为 ，所以 ，故 正确；对于 ，因为 ,所以 ,故 B 错误: 对于 CD,不妨设 ,所以 ,而 , 所以 ,故 正确: 因为 ,所以 ,故 D 正确. 故选: ACD.
10. 已知函数 ,则下列结论正确的是( )
A. 函数 在 上单调递减
B. 函数 既行极大值，也有极小值
C. 方程 有 2 个不同的实数解
D. 在定义域内,恒有
【答案】BCD
易知 的定义域为 ,对于选项 . 由 ,得到 ,且 ，所以 以区间为 ， ，故选项 的误. 对于选项 ，由 ，得到 。以上 ，当 时， ，当 时: ，当 ，当 时， ，所以 的极大值为 ，极小值为 ，故选项 B 正确，对于选项 . 由选项 知, 的增区间为 , 故区间为 , 当 时, ,且 时, 1. 当 从左边-1时, ,当 从右边-1时, ,且 时, ,当 时, 图象如图所示，由图知。 只有一个零点 ，且 ，令 ，由 ，得到 ，所以 ，令 由图知， 与 有且仅有两个交点，所以选项 C 正确。
对于选项 D. 令 ,易知 的图象关于点 中心对称. 所
以 ,即 ,得到 ,故选项 正确。故选: BCD.
【答案】
对于 ,因为 ,根据二次函数的性质,所以 ,所以 ,故 A 正确; 对于 B, ,所以 ,所以 ,故 B 正确; C. ,累聚对于
所以可得:所以 ，故 C 错误；
对于 . 因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,数列 的前 项和为 ,所以 ,故 D 正确.
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.若 的展开式的二项式系数和为 32，则其展开式的第四项系数为_____.
【答案】-80
由题意可得 ,故 ,
故展开式的第四项为 ,故系数为 -80,故答案为: -80
13. 已知函数 在区间 上是增函数. 若函数 在 上有且仅有一个最大值. 则 的范围为_____
【答案】
因为 ,所以 ,因为函数 在区间 上单调递增，所以 ，而令 ，解得 结合 ，可得 ，由正弦函数的性质得 的最大值为 2,令 ,得到 ,
则 在 上取得的第一个最大值的横坐标为 ,而取得的第二个最大值的横坐标
为 ,可得 ,解得 ,综上所述,得到 ,即
14. 如图,从点 作 轴的垂线交曲线. 于点 ,曲线在 点处的切线与 轴交于点 ,再从 作 轴的垂线交曲线于点 ,依次重复上述过程得到一系列点: 2 ;……; Pn, Qn记 点的坐标为 ,则 (用含 的式子表达)
【答案】
设点 的坐标是 ,在点 处的切线方程是 ,令 ,则 ,于是有 ,即
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 的角平分线交 于 ，求 .
(1):
1. ;
( 2 )由余弦定理可得， ，
因为 ，解得: .
由 可得,
解得:
16. 如图，在直三棱柱 中，D，E 分别为 ， 的中点，点F 在侧棱 B、 上，且 ，
(1)求证:直线 ；
(2)若 ，且三棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 所成，锐二面角的余弦值.
(1)在直三棱柱 中， ，
在三角形 中，因为 D，E 分别为 的中点，
所以 . 于是 .
又因为 平面 平面
所以直线 平面
(2)以 分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
因为三棱锥 的体积为
所以 ，解得 。
因为 ,且 延 的中点
所以
所以B1B=8,则F 因为B为BC的中点，AB=AC. 所以AB⊥BC.
所以 平面 ，
所以平面 的法向量为
设平面 的法向量为
因为
由 得 令 ,则 .
故 ,则
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
17. 已知函数 ,当 时,
(1) 求 在 处的切线方程；
(2)求证: ；
(3)若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3) .
解: (1) ,故在 处的切线方程为 . (2)证明: ① 当 时, ,
令 , 则 . 当 时， ,
在 上是增函数. 即 .
② 当 时， 令 则 .
当 时, 在 单调递增,
,综上可知: ;
(3)解: 设
.
令 ,则 ,
令 ，则 .
当 时， . 可得 是 上的减函数.
,故 在 单调递减,
.
当 时, 在 上恒成立.
下而证明当 时, 在 上不恒成立.
令 . 则
当 时， ，故 在 上是减函数，
.
当 时， 存在 ，使得 ，此时， . 即 在 不恒成立. 综上实数 的取值范围是 .
18. 人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量. 是研究、开发用于掞拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学. 很多学校已经推出基于 AI 的人工智能通识课程. 帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用. 培养跨学科思维. 推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新. 某探究小组利用 AI 解答了一些模拟试卷. 收集其准确率, 整理得到如下频率分布直方图. 已知准确率在 [80, 85) 内的试卷数为 10 .
(1)求图中 的值，并求出试卷总数；
(2)“如何利用 ’是 能否更好的选福人类的关键，基于此该小组进行了 运用比赛，即用 进行问题解答，并通过正确率来评定结果。甲、乙两名小组成员进行 AI 运用比赛，规定每局比赛胜者得 1 分，负者得 0 分，平局双方均得 0 分。比赛一直进行到一方比另一方多两分为止。多得两分的一方赢得比赛. 已知每局比赛中, 甲获胜的概率为 , 乙获胜的概率为 ,两人平局的概率为 . 且每局比赛结果相互独立.
(i) 若 ,求进行 4 局比赛后甲同学赢得比赛的概率;
(ii) 当 时,
①若比赛最多进行 5 周，求比赛结束时比赛局数 % 的分布列及期望 E (X)的最大值；
②若比赛不限制局数，求“甲同学赢得比赛”的概率(用 ， 表示).
统计与概率结合一统计; 频数分布直方图. 概率; 复杂事件的处理、无限概率.
(1)
由频率分布直方图可得 ，解得 ；而准确率在 内的试卷数占样本总数的 所以共有 100 套试卷
(2)(i)用事件 A、B、C 分别表示每局比赛“甲获胜”、“乙获胜”，“平局”，则
,记“进行 4 局比赛后甲同学赢得比赛”为事件 N.则事件 N 包括事件:ABA 共 5 种,所以 .
(ii) ①因为 ，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”，和“乙获胜”， 即 ,由题意得 的所有可能取值为:
,所以 X 的分布列为:
x 2 4 5
P
all: 1 的助力
因为 ,所以 ,等号成立时, ,所以
所以 , 故 的最大值为: .
(ii) 记 “甲同学赢得比赛” 为事件 ,则 ,前两局比赛结果可能有:AA, BB, AB, BA, 其中事件 AA 表示 “甲同学赢得比赛”，事件 BB 表示“乙同学赢得比赛”，事件 AB，BA 表示“甲、乙两名同学各得 1 分”, 当甲、乙两名同学得分总数相同时, 甲同学赢得比赛的概率与比赛一开始甲同学赢得比赛的概率相同,
所以
所以 . 得 ,因为 . 所以
19. 已知椭圆 的短轴长为 ,且离心率 . 设 为 的右焦点,已知斜率存在的直线 1 与椭圆交于 两点, 为 E 上一个动点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)当1过F时，设直线 ，过点 作 ，连足为 . 证明:直线 过定点.
(3)且F为 的重心，判断 是否成等差数列。若是请求出其公差，若不是，请说明理由.
(1)因为椭圆 的离心率为 ，短轴长为 ，
所以 ,所以 .
又 ,所以 ,解得 ,
所以椭圆 的方程为 .
(2)由对称性，若直线 过定点 ，则该定点 必在 轴上，由题得 ，设直线 .
设 ,联立方程 ,得 ,
所以有 ,因为 ,所以直线 的方程为 ,
令 ,得 ,由得
,
将 代入 (*) ,则
,故直线 过定点 ,即定点 为 .
(3)由于 为 的重心，由三角形重心坐标公式可得 ，即 . 由点 在椭圆上，把坐标代入方程解得 ，即 . 设 斜率为 ，则 两式相减，并由 得 ,由题设知 ,于是 ,直线 的方程为 ,将其与椭圆方程联立消去 得 ,求得 . 不妨设 ,所以 问题可得. ,所以 3,而 ,故 . 即该数列的公差为 或 .

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