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高三(4月)调研模拟考试 数 学
本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟.
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知复数 满足 ,则
A. -1-i B. -1+i C. 1+i D. 1-i
2. 已知集合 ，集合 ，则
A. B. C. D.
3. 记 为等比数列 的前 项和. 若 ,则
A. 10 B. 14 C. 18 D. 24
4. 已知随机变量 服从正态分布 ,下列四个命题:
甲: ; 乙: ;
丙: ; 丁: ,
如果有且只有一个是假命题,那么该命题是
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5. 已知圆 上有不同的三点 ,其中 ,则实数 的关系为
A. B. C. D.
6. 已知 的展开式中第 2 项与第 6 项二项式系数相等,则 的系数为
A. 12 B. -20 C. -16 D. -12
7. 已知函数 . 若 ,则 的最小值为
A. B. C. D.
8. 设 分别是函数 与 的正零点,则 的最大值为
A. B. C. 6 D. 9
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多 项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在一次歌唱比赛中,11 位评委给某位选手打分分值从小到大排列依次为 , ,这组分值的中位数和平均数均为 ,方差为 . 现从中去掉一个最低分 ,再去掉一个最高分 后,将剩下的 9 个分值从小到大排列为 ,方差为 . 下列说法中一定正确的是
A. B. 的中位数为
C. 的平均数为 D.
10. 在四面体 中, 是边长为 2 的等边三角形, 均为等腰直角三角形，则该四面体的体积可能是
A. B. C. D.
11. 若直线 与两条曲线 和 共有四个不同的交点,设从左到右四个交点的横坐标分别为 ,则
A. B.
C. 成等比数列 D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若 ，则 _____.
13. 已知抛物线 的焦点为 ，第一象限内的两点 在抛物线上，且满足 ,若线段 中点的纵坐标为 5,则 _____.
14. 类比圆的标准方程,我们很容易知道: 在空间直角坐标系中,以坐标原点为球心, 为半径的球面方程为: . 现有一个底面半径为 2,高为 3 的圆锥,以底面圆圆心为坐标原点,顶点在 轴上,则圆锥侧面的方程为_____,现用一个与 轴平行的平面截这个圆锥, 截面与圆锥表面交线为双曲线的一部分, 则该双曲线的离心率为_____.
四、解答题:共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本题满分 13 分)
各棱长均相等的正三棱柱 柱中， 为 中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
16. (本题满分 15 分)
已知椭圆 过点 ,其焦距为 ,直线 交椭圆 于 两点.
(1)求 的标准方程；
(2)求 面积的最大值.
17. (本题满分 15 分)
在 中内角 的对边分别为 ，且 .
(1)若 的平分线 交 于点 的面积为 ，求 长；
(2)若 ，求当 周长最小时 的值.
18. (本题满分 17 分)
已知函数 .
(1)若 对 恒成立,求 的取值范围;
(2)若函数 有 2 个零点
(i) 求 的取值范围;
(ii) 求证: .
19. (本题满分 17 分)
一个不透明的口袋中放有完全相同的 2 个红球、 2 个黄球. 现每次从口袋中随机抽取一球,确定颜色后又放回口袋中.
(1)若摸球 10 次，求摸到红球个数的期望；
(2)若连续摸到 2 个红球时停止，否则继续摸球. 记恰好第 次摸球时结束的概率为 .
(i) 求 ;
(ii) 求 .
高三(4 月)调研模拟考试数学答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。
1. B 2.A 3.B 4.D 5.A 6.D 7.C 8.C
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9.BD 10.BCD 11.ABD
11. ,即 在 上单调递减, ,在 上单调递增, ,即 在 上单调递减, ,在 上单调递增, ; 从而有 ,故 A 正确; 结合图象可知, , 结合单调性可知, ,即 故 B 正确; 同理可得 ,由 知 不可能构成等比数列,故 C 错误; 由前面分析可知 ,故 D 正确. 故选: ABD.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 14.
14.圆锥方程即为 ,考虑到对称性,不妨设截面与 轴垂直,从而双曲线上每点的纵坐标为常数，不妨设为 ，则双曲线方程即为 ，易得离心率为 .
四、解答题: 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(1)证: 连 ,交 于点 ,连 . 因为正三棱柱各棱长均相等,
所以侧面 为正方形， 为 中点，又 为 中点，
所以 ,而 平面 平面 ,
平面 . 6 分
(2)依题意有 ，以 为原点以 ， 分别为轴轴建立如图直角坐标系， 设正三棱柱各棱长为 2,则 , , , ,
8 分
设平面 的法向量为 ,则 取 ,
设平面 的法向量为 ,则 取 ,
令二面角 为 .
故平面 与平面 的夹角余弦值为 . 13 分
16.(1)依题意 ，焦点坐标为 ， ，
.
. 椭圆方程为 . 5 分
(2) 设 ,联立 ,得 .
由 得 , 7 分
. 9 分
点 到直线 的距离为 . 10 分
12 分
设 ,易知 在 上单调递增,
在 上单调递减, 面积的最大值为 . 15 分
17. 解(1)依题意有 ,即 ,
又由余弦定理有 .
,又 为 中内角 . 5 分
又 ,而 ,
因为 的面积为 .
在 中, . 10 分
(2) 由(1)知 .
设 周长为 ,则 ,令 ,
,当且仅当 时周长取最小值.
故当 周长的最小时 . 15 分
18. ,
当 时, 在 上单调递增, 恒成立;
当 时,令 ,得 ,则 ,
当 时, 在 上单调递减, ,不合题意.
的取值范围为 . 5 分
(2)(i) .
若 有 2 个零点,即方程 有 2 个根.
令 在 上单调递增,在 上单调递减,且 时 ,解得 . 10 分
(ii)由(i) 知 ,
,
,即 .
欲证 ,即证 .
令 ,
在 上单调递增, . 即证 . 17 分
19.(1)设摸到红球的个数为 ,依题意有 . 3 分
(2)(i)依题意 ,
第 5 次时结束,即第 4,5 次必须是红球,第 3 次为黄球,前 2 次至少一次黄球,其概率为 7 分
(ii)若恰好第 次时结束,则第 次为黄球,第 次为红球,且第 次没有结束,记第 次摸球没有结束的概率为 ,即 , 9 分
又第 次时结束可分为: 当第 次为黄球时,则第 次为黄球红球均可以,之后连三次为黄球、红球、 红球,第 次结束,
当第 次为红球 (且摸求没有结束) 时,则第 次为黄球,之后连三次为黄球、红球、红球,第 次结束,
综上 .
经验证: 满足上式,
12 分
令 ,得 .
解得 ,或 , 13 分
或
14 分
又 ,
②
①-②得 ,
当 时也成立, . 17 分
注: 本题结论有许多不同的等价表达式, 化简结果相同均给满分.

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