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重庆南开中学高 2028 届高一数学练习(5.3)
数学试卷
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 满分 150 分，考试时间 120 分 钟. 第 I 卷和第 II 卷都答在答题卷上.
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项 是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 在复平面内,若 ,则 的共轭复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知向量 是平面内的一组基底，则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 在 中， ，若 ，则 ( )
A. B. C. 1 D. -1
4. 已知 ，点 在直线 上，且 ，则点 的坐标为( )
A. B. C. D. 或
5. 太行山在河南的最高峰——济源斗顶，远近闻名. 如图，某校高一年级数学实践小组为了测其高度. 在山脚 测得山顶 的仰角为 ,沿倾斜角为 的斜坡向上走 到达 处,在 处测得山顶 的仰角为 ,若 , ，则山高 为( )(图中的点 ，
均在同一个铅直平面内)
A. 2000m B. C. D.
6. 在 中，若 ，则 一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰三角形
7. 在 中，角 所对的边分别是 ，且 . 若角 的角平分线交 于点 ，则 长度的最大值为( )
A. B. C. D. 3
8. 在菱形 中， ， ， 为菱形 所在平面内的动点，且 ，则 的最小值为( )
A. 4 B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若 为复数，则( )
A. 若 ，则 为实数
B.
C. 若复数 满足 ，则 的最大值和最小值的和为
D. 若 ,则
10. 下列关于向量的说法正确的是( )
A. 若 ，则
B. 若动点 满足 ,则点 为 的重心
C. 若 且 ，则
D. 若非零向量 满足 ，则
11. 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ，则下列说法正确的是 ( )
A. 若 ，则 的外接圆的面积为
B. 若 ，且 有两解，则 的取值范围为
C. 若 ，且 为锐角三角形，则 的取值范围为
D. 若 ，且 ， 为 的内心，则 的面积为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知单位向量 满足 ，则向量 与 的夹角为_____.
13. 记 的内角 所对的边为 ，已知 ，则 _____.
14. 已知平面内的三个非零向量 ，满足: ， ， ，则当 取得最大值时，
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 是复数， 为实数， 为纯虚数( 为虚数单位)
(1)求复数 ；
(2)求 的模.
16. 已知 ,向量 .
(I)若 为锐角，求 的取值范围；
(2)若 ，且 ，求 和 在 方向上的投影向量的坐标.
17. 如图，在 中， 为 边上的一点，满足 ，且 ，
(1)求 ；
(2)若 ，求 的值.
18. 如图，在等腰梯形 中， , ， 交 于 .
(1)当 时，
(i) 用 和 表示 ；
(ii) 求 ;
(2)设 ，求 的取值范围.
19. 在 中,角 所对的边分别是 .
(1)已知 .
(i) 求角 ;
(ii) 若 ，且 为锐角三角形，求 面积的取值范围.
(2)设 为 内一点，满足 ，若 ， ，求实数 的最小值.
重庆南开中学高 2028 届高一数学练习 (5.3) 参考答案
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A D A D C B
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
题号 9 10 11
答案 ACD BD BC
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. ;
13. ; 14. .
8. 如图, 以菱形的对角线交点为坐标原点建立平面直角坐标系
,
设 点坐标为
由 得 ,化简得 ,过 的中点 及
,又因为三角形 是等边三角形,所以 是 的垂直平分线,所以 , 白两点之间直线段最短,得 的最小值为 ， 的最小值为 .
11. 因为 ,所以 ,解得 : 因为 ,所以 ,设 的外接圆的半径为 ,则 ,所以 ，所以 的外接圆的面积为 ， 不正确；
由正弦定理可得 有两解等价于 有两个不同值,
所以 ,解得 , B 正确:
因为 ,所以 ,整理得 ,
因为 为锐角三角形,所以 ,解得 ,所以 ,
所以 的取值范围为 正确;
因为 , ,所以 ,
,解得 ,
由于 为锐角，所以 ，即 ， ；
因为 ,由直角三角形知识可得 ,由等面积法可求内切圆的半径为 ,
所以 ， 不正确.
14. 设 分别为 的终点， 为 中点，由 ，得 ，
又 ，故 的终点 在 的中垂线上，且由勾股定理得
. 公共起点 (即 )
在 中，由正弦定理可得 ， 为 外接圆半径，故 ， 故圆心到 距离为 1
,几何意义为 在 方向上的投影数量,由图可知,取最大值时, 与 外接圆相切,故此时
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.
15. (1)设 ，则 ，又 为实数，所以 ，则 ； 又 ，且 为纯虚数，所以 ，解得 ，
(2)因为 ，所以 的模为 .
16. (1)因为 ，
若 与 的夹角为锐角,则 且 与 不共线,则满足 ,解得 且 , 实数 的取值范围为 .
(2)由 ，可得
因为 ,可得 ,解得 或
又因为 ,所以 ,此时 ,可得 且 , 所以 在 方向上的投影向量 .
17.(1)在 中，由正弦定理可得 ，则 ，
在 中，由正弦定理可得 ，则 ，
故 ,
由 ，则 ，
则 ，故 ；
(2)设 ，则 ， ，
在 中,由余弦定理可得 ，
在 中，由余弦定理可得
，由(1)知 ，则 ，
故 ,解得 .
18.(1)(i)依题意 ，
,所以 ;
(ii) 设 ,由 共线可得 ①, 又 三点共线,所以 ,则 ②,联立①②解得: , 所以 ,故 ,所以 ;
(2)因为 ，所以 又因为 ,所以根据条件 . 又因为 ,所以根据条件 , 又因为 ,所以有 ,可得: , 所以 , 因为函数 在 上单调递减,且 ,所以 .
19. (1) (i) 因为 ,
所以由正弦定理得 ,
又 ,所以 ,
由 ,所以 ,
即 ,又 ,所以 ,得 .
(ii) 因为 是锐角三角形,且 ,所以 ,又 ,所以 , 则 ,因为 ,所以 ,则 ，从而 ，故 面积的取值范围是 .
(2)因为 ，所以 ，所以 ,所以 ,所以 为直角三角形, .
,设 ,
则由 ,得 ,
由余弦定理得 ,
故由 ,得 ,
即 ,而 ,故 ,
当且仅当 ,结合 ,解得 时,等号成立,
又 ,所以 ,解得 或 (舍去).
故实数 的最小值为 .

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