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福建省厦门第一中学 2025-2026 学年度 第二学期期中考试 高一年数学试卷
满分:150 分 考试时间:120 分钟
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若球的表面积扩大到原来的 9 倍，那么该球的体积扩大到原来的多少倍
A. 9 B. 27 C. 81 D. 729
2. 如图所示，已知正方形 的边长为 1，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为
A. 4 B. 8
C. D.
3. 已知平面 ,直线 满足 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 复数 的值是
A. -1 B. 1 C. -i D. i
5. 已知向量 ，且向量 在向量 上的投影向量为 ，则
A. 1 B. 2 C. D.
(第 6 题图)
6. 如图, 和 分别为圆台上下底面中心,且 ,在轴截面 中, 为正三角形. 若 ，则圆台的表面积为
A. B. C. D.
7. 在 中, 是 中点,中线 ,则 面积的最大值是
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
8. 如图，点 在以 为直径的圆上，其中 ，过 向点 处的切线作垂线， 垂足为 ,则 的最大值是
(第 8 题图)
A. 9 B. 16 C. 25 D. 36
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要 求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
(第 9 题图)
9. 如图,正四棱台 中,下列说法正确的是
A. 和 异面 B. 和 共面
C. 平面 平面 D. 平面 与平面 相交
10. 一货轮在 处,测得灯塔 在它的北偏东 方向,之后它以每小时 的速度继续沿正北方向匀速航行,40 分钟后到达 处,此时测得货轮与灯塔 相距 ,则灯塔 可能在 处的
A. 北偏东 方向 B. 南偏东 方向
C. 北偏东 方向 D. 南偏东 方向
11. 满足下列条件的四面体存在的是
A. 1 条棱长为 ，其余 5 条棱长均为 1 B. 1 条棱长为 1, 其余 5 条棱长均为 1
C. 2 条棱长为 ，其余 4 条棱长均为 1 D. 2 条棱长为 1，其余 4 条棱长均为 √3
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 是虚数单位，3-2i是关于 的方程 (其中 )的一个根，则 _____▲_____.
13. 某校学生兴趣小组想要测量校内一座雕像的高度, 他们选取与雕像底部 在同一平面内的三个在一条直线上的测量基点 ，且在 处测得雕像顶点 的仰角分别为 ， ， ， 米，则雕像高 为_____▲ 米.
(第 13 题图)
(第 13 题图)
14. 蜜蜂将巢造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择，旨在最大化资源的利用，同时确保蜂巢的结构稳定性和功能性，小明作出它的部分平面图(三个全等的正六边形)，若 ，则 ▲_____；若 ，则 _____▲_____
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在复平面内,复数 对应的点为 .
(1)若 为纯虚数，求 的值；
(2)设 为坐标原点， 为虚轴负半轴上任意一点，若向量 与 的夹角为锐角，求 的取值范围.
16. 如图，在正四棱柱 中， 分别为 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
17. 现有一几何体由上,下两部分组成,上部是正四棱锥 ,下部是正四棱柱 (如图所示), 分别是上、下底面的中心,且满足 .
(1)若 ，求该几何体的体积.
(2)若正四棱锥的侧面是正三角形
① 求正四棱锥 的侧面积.
②若 分别是线段 上的动点,求 的最小值.
18. 在通用技术课上,老师给同学们提供了一个如图所示的木质四棱锥模型 为正三角形, 为线段 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)过点 的平面 交 于点 ，沿平面 将木质四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割, 请你完成以下两件事情:
①在木料表面应该怎样画线 (在答题卡的图上画线要保留辅助线，并写出作图步骤) ②在木质四棱锥模型中确定 点的位置，求 的值.
19. 在平面几何中,三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点,其定义如下: 记 的内角 所对的边分别为 ，三角形内一点 到三边 的距离 满足 ，称点 为 的“莱莫恩点”.
(1)若在 中， ， ， ，求常数 的值；
(2)求证: ；
(3)若 ，试判断 的形状，并说明理由.
厦门一中 2025-2026 学年第二学期高一年期中考试 数学参考答案
一、单项选择题: 1.B 2.B 3.A 4.A 5.C 6.D 7.C 8.C
6. 因为 为正三角形， ，所以 ，又因为 ，所以 ， 即圆台的上底面半径为 1,下底面半径为 2,圆的高为 ,可得圆台的母线长为 , 所以圆台的表面积为 . 故选:D.
7. 解法 1: 令 ，在 内由余弦定理，可知 ，化简得: ,故 的面积 ,令 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以
解法 2: 如图,做 ,垂足为 ,交 于 ,则 是 的重心, , 设 ,所以 ,故 的面积等于 , 的面积
解法 3: 如图,做 ,垂足为 ,以 为原点, 为 轴建系. 设 , 则 的面积
8. 解法 1: 如图所示,易知 ,
过点 作 于点 ,则四边形 为矩形,
则 ,
又 所以 ,即 的最大值为 25, 故选: C.
解法 2: 同解法 1 可知, ,设 ,则 . 在 中, ,故 , 当且仅当 时等号成立.
二、多项选择题: 9.ABD 10.BC 11.BCD
11. 选项 A:设四面体有 1 条棱长为 条棱长为 1,
如图 1,四面体 满足 ,
取 的中点 ,连接 ,则 ,
由三角形的三边关系知, ,
所以 ,即 ,故 A 错误;
图2
选项 B:与选项 A 同理可得，当四面体有 1 条棱长为 ，5 条棱长为 时， 因为 ,所以 B 正确;
选项 C:设四面体有 2 条棱长为 ，4 条棱长为 1，分两种情况:
①当长为 的两条棱为相对棱时，
如图 2,不妨设为 ,
取 的中点 ,连接 ,则 ,
由三角形的三边关系知, , 所以 ,解得 ,不符合题意;
图3
② 当长为 的两条棱有公共顶点时,如图 3,不妨设
取 的中点 ,连接 ,
则 ,
由三角形的三边关系知， ，
所以 ,解得 ;
综上可知, .
因为 ，所以 C 正确；选项 D:与选项 C 同理可得，
当四面体有 2 条棱长为 条棱长为 时, ,因为 ,所以 D 正确. 故选: BCD.
三、填空题:12.
14. 7 -2
观察图形可知， 三点共线，且 ，因为 ，
且 ,则 ,
所以 ,即 ;
由正六边形的性质可得 ，
所以
. 故答案为:7 :-2
四、解答题
15.(1)由已知得 ，
为纯虚数, ,解得 . 5 分
(没有不等式, 也没有检验的, 扣 1 分)
(2)设 ，则 ，又 ，
由 夹角为锐角得: ，且 与 不共线， ，
解得 且 ,故 的取值范围为 . 13 分 (遗漏 “不共线” 条件,缺少 的扣 2 分)
16. ( 1 )连接 ，因为四边形 是正方形，且 ， 分别为 ， 的中点
所以 且 ,又 且 ,
2 分
3 分
6 分
所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ,
又 平面 平面 ,
所以 平面 ;
(2)由题设 ，
在 中 , 7 分
得 ,
, 11 分
设点 到平面 的距离为 ，又 ， 13 分
所以 ，则 ，从而 . 15 分
(能运用等体积思想，计算错误的要酌情给分，最高不超过第 2 间的一半；用其他方法求解的亦可)
17. ( 1 )由条件可知，正四棱柱的高 ，
2 分
5 分
所以正四棱柱的体积为 ,
三棱锥 的体积为 ,
所以该几何体的体积为 ;
(2)① 设 ，因为 ，所以 ， 正四棱锥 侧面的高为 ，
所以正四棱锥的侧面积为 ; 9 分
②将长方形 ， 和 展开在一个平面，
,
记 ,所以 12 分
当 在 时, 最短, 13 分
所以 的最小值为 15 分
(若未注意到展开后的角度超过 ,则计算的结果为 ,酌情扣 1 分.)
18.(1)记 为 的中点，连接 ， ，如图，
2 分
因为 分别为 的中点，所以 为 的中位线，
所以 ，因为 平面 平面 ，所以 平面 ；
又因为 为正三角形，所以 ，
又 为 中点，所以 ，
又 为等腰三角形， ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，又 平面 平面 ，所以 平面 ； 4 分
又 ， 平面 ， 平面 ，
故平面 平面 ， 6 分
又因为 平面 ,故 平面 . 7 分
(2)①延长 、 相交于点 ，连接 交 于点 ，连接 ， ②过点 作 交 于点 ，如图，
10 分
12 分
因为 平面 平面 ,平面 平面 ,
所以 ，此时 四点共面，
由( 1 )可知: ，
得 14 分
故 ，又因为 ，所以 ， 16 分
则有 ,故 . 17 分
19. ( 1 )因为 ，所以 ，
所以 ，
连接 ,将 分割为 ,
根据“莱莫恩点”的定义，点 到三边的距离分别为 .
所以
代入已知数据，得 ，故 . 5 分
(2)由(1)可知，点 到三边的距离分别为 ， 则 .
如图,延长 交 于点 ,根据面积法可知 ,
所以 . 8 分
另一方面,因为 与 同底，所以 到 的距离之比等于三角形面积之比，
即 ,所以 . 10 分
所以 . 11 分
(本题中用平行四边形法则, 结合解三角形的相关知识也可以求解)
(3) 为等腰三角形或直角三角形，理由如下: 13 分
由 可知 ，
由(2)知 ，所以 ，
展开得 ,
又因为 ,所以 . 15 分因为 ,所以有以下两种情况:
当 时,即 ,此时 为等腰三角形; 16 分
当 时,即 ,此时 为直角三角形. 17 分
综上所述， 为等腰三角形或直角三角形.

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